Диссертация (1097736), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Òåì ñàìûì, ñóììàðíûé âêëàääèàãðàìì ðàññìîòðåííîãî òèïà îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì I1 /IL l/d (òàêæå ïðèâåäåíû â òàáëèöå 3.2). Ìîæíî âèäåòü, ÷òî ïî êðàéíåé ìåðå äëÿ âåðõíèõ ðàáî÷èõäèàïàçîíîâ äåéñòâóþùèõ ëîêàòîðîâ óêàçàííûé âêëàä, íàðóøàþùèé ñïðàâåäëèâîñòü ïðèáëèæåíèÿ íåçàâèñèìîãî ðàññåÿíèÿ ñëîÿìè â îäíîìåðíîé ñðåäå, ìîæåòñ÷èòàòüñÿ ìàëûì.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ìîæåò áûòü îöåíåíî âëèÿíèå äðóãèõäèàãðàìì êîãåðåíòíîãî ïåðåðàññåÿíèÿ ìåæäó ñëîÿìè. Òàêèì îáðàçîì, ìàêðîñêîïè÷åñêèå ïàðàìåòðû óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â ñðåäå ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà ìîãóò âû÷èñëÿòüñÿ ÷åðåç èíäèâèäóàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè ðàññåÿíèÿ149ïëîñêîãî ñëîÿ ìåæäó äâóìÿ ïîëóïðîñòðàíñòâàìè [243]. Ñîîòâåòñòâóþùèå ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû ïðèâåäåíû â ðàáîòàõ [241, 242].Ïðàêòè÷åñêè, ðåçóëüòàò íåïîñðåäñòâåííîãî ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèéýëåêòðîäèíàìèêè ñëîèñòîé ñðåäû äëÿ ðàññìîòðåííîãî ñëó÷àÿ [145] óäîâëåòâîðèòåëüíî ñîãëàñóåòñÿ ñ àñèìïòîòè÷åñêèìè ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ [242, 241]. ñåéñìîëîãèè âñòðå÷àåòñÿ ïðèáëèæåííîå îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ òåîðèèïåðåíîñà λ è κ íà îñíîâå ôîðìóëû O'Doherty-Anstey [244].
 ýòîé ðàáîòå áûëè ïðèíÿòû áîëåå ñèëüíûå îãðàíè÷åíèÿ, ÷åì â ðàáîòå [241], ÷òî ïðèâîäèò êïåðåîöåíêå èíòåíñèâíîñòè ðàññåÿíèÿ íà âûñîêèõ ÷àñòîòàõ. Äëèíà ñâîáîäíîãîïðîáåãà îïðåäåëÿåòñÿ êàêls =< l1 >,8 k22 l22 < |Rj2 | >(3.8)ãäå < |Rj2 | > ñðåäíèé êâàäðàò êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ îò ãðàíèöû ðàçäåëà ñëîÿ è ñðåäû, N/L - ñðåäíåå êîëè÷åñòâî ñëîåâ íà åäèíèöó ãëóáèíû ñðåäû.Ñðåäíèé êâàäðàò êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ îò ãðàíèöû < |Rj2 | > îïðåäåëÿåòñÿïî ôîðìóëå⟨< |Rj2 | > =ãäå Z1,2 =√(Z1 − Z2 )2,(Z1 + Z2 )2⟩(3.9)n1 /n2 ýëåêòðè÷åñêèé èìïåäàíñ äëÿ íîðìàëüíîãî ïàäåíèÿ. Òàêèìîáðàçîì, ìîæíî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû îáúåìíîãî ïîãëîùåíèÿ è ðàññåÿíèÿ[242] κa = la−1 è κs = ls−1 , à òàêæå àëüáåäî λ è êîýôôèöèåíò îñëàáëåíèÿ κκ = κa + κs ,λ=κs.κ(3.10)(3.11)3.3 Óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â îäíîìåðíîé ñðåäå (äâóõïîòîêîâîå ïðèáëèæåíèå).3.3.1Ïîëóáåñêîíå÷íàÿ ñðåäà.Ðàññìîòðèì ïàäåíèå íà ïîâåðõíîñòü ïîëóáåñêîíå÷íîé îäíîìåðíîé ñëîèñòîé ñðåäû èìïóëüñà èçëó÷åíèÿ ñ ïëîñêèì ôðîíòîì, ïàðàëëåëüíûì ãðàíèöå.150Êàê èçâåñòíî [203], â îäíîìåðíûõ è äâóìåðíûõ ñëó÷àéíûõ ñðåäàõ â ðåçóëüòàòå êîãåðåíòíûõ ýôôåêòîâ ïðè ðàññåÿíèè íà äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõíåèçáåæíî íàñòóïàåò ëîêàëèçàöèÿ.
Îäíàêî, íà ðàññòîÿíèÿõ, íå ïðåâûøàþùèõäëèíó ëîêàëèçàöèè [203], ðàñïðîñòðàíåíèå èçëó÷åíèÿ óäîâëåòâîðèòåëüíî îïèñûâàåòñÿ òåîðèåé ïåðåíîñà. Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàñïðîñòðàíåíèå èìïóëüñà â ñðåäå ïîä÷èíÿåòñÿ îäíîìåðíîìó íåñòàöèîíàðíîìó óðàâíåíèþ ïåðåíîñà[203, 88]. Åñëè íå òðåáóåòñÿ îòäåëüíûé ó÷åò êîãåðåíòíîé ñîñòàâëÿþùåé èçëó÷åíèÿ â èìïóëüñå, îñëàáëåííîå â ñðåäå ïðîõîäÿùåå èçëó÷åíèå è ðàññåÿííîå âïåðåäèçëó÷åíèå â îäíîìåðíîé ìîäåëè ñðåäû íåðàçëè÷èìû. Òàêèì îáðàçîì, ñëàãàåìîåâ óðàâíåíèè ïåðåíîñà, ñîîòâåòñòâóþùåå ðàññåÿíèþ âïåðåä, ìîæåò áûòü îáðàùåíî â íóëü ïåðåíîðìèðîâêîé êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ:∂I + (θ, τ ) ∂I + (θ, τ )+= −I + (θ, τ ) + λI − (θ, τ ) ,∂θ∂τ(3.12)∂I − (θ, τ ) ∂I − (θ, τ )−= −I − (θ, τ ) + λI + (θ, τ ) ,(3.13)∂θ∂τãäå dτ = κdz îïòè÷åñêàÿ òîëùèíà, dθ = κc dt íîðìèðîâàííîå áåçðàçìåðíîåâðåìÿ, z ãëóáèíà â ñðåäå, κ îáúåìíûé êîýôôèöèåíò îñëàáëåíèÿ, λ àëüáåäî îäíîêðàòíîãî ðàññåÿíèÿ, I + ïîòîê èçëó÷åíèÿ â ïðÿìîì (ïîëîæèòåëüíîì)íàïðàâëåíèè îñè z ), I − ïîòîê èçëó÷åíèÿ â îáðàòíîì (îòðèöàòåëüíîì) íàïðàâëåíèè îñè z , è c ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ èçëó÷åíèÿ â ñðåäå.
Áóäåì ñ÷èòàòüñðåäó îäíîðîäíîé, òî åñòü åå îïòè÷åñêèå ïàðàìåòðû ïîñòîÿííûìè κ = const,c = const, λ = const. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ îáîèõ ïîòîêîâI ± (0, τ ) = 0.(3.14)Íà áåñêîíå÷íîé ãëóáèíå ñðåäû òðåáóåòñÿ îãðàíè÷åííîñòü ðåøåíèÿI ± (θ, ∞) < ∞ .(3.15) ìîìåíò âðåìåíè t = t0 íà ãðàíèöó ñðåäû ïàäàåò êîðîòêèé èìïóëüñ èçëó÷åíèÿ.Ïðåíåáðåãàÿ îòðàæåíèåì îò ïîâåðõíîñòè ñðåäû,I + (θ, 0) = δ(t − t0 ) = κ c δ(θ − θ0 ),151(3.16)ãäå δ(·) äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà. Çàäà÷è ñ îòðàæàþùèìè ãðàíèöàìè áóäóòðàññìîòðåíà äàëåå. Ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà∫∞F (s) =f (θ)e−sθ dθ(3.17)0ïî âðåìåíè θ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé (3.12,3.13) ñ íà÷àëüíûìè (3.14) è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (3.15,3.16), ïîëó÷èì ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé äëÿ ëàïëàñîâñêèõ îáðàçîâ I ± :∂(1 + s) I˜+ (s, τ ) + I˜+ (s, τ ) = λ I˜− (s, τ ),∂τ(3.18)∂(1 + s) I˜− (s, τ ) − I˜− (s, τ ) = λ I˜+ (s, τ ),∂τ+I˜ (s, 0) = κ c e−s θ0 ,(3.19)I˜± (s, ∞) < ∞.(3.21)(3.20)Ìîìåíò âðåìåíè ïðèáûòèÿ èìïóëüñà íà ãðàíèöó ñðåäû θ0 áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïîëàãàåì ðàâíûì íóëþ.
Ðåøåíèå óðàâíåíèé (3.18-3.19), óäîâëåòâîðÿþùååãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, (3.20-3.21), åñòü:I˜+ (s, τ ) = κ c e−Q τ ,I˜− (s, τ ) = κ cãäåQ=λe−Q τ ,1+s+Q√1 − λ 2 + 2 s + s2 .(3.22)(3.23)(3.24)Âûõîäÿùåå ÷åðåç ãðàíèöó ñðåäû èçëó÷åíèå I − (θ, 0), ìîæåò áûòü íàéäåíî îáðàùåíèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà:1I − (θ, 0) =2πiII˜− (s, τ )esθ ds(3.25)ãäå èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ïðÿìîé (γ −i∞, γ +i∞), ëåæàùåé â êîìïëåêñíîé˜ τ ) êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3.2.ïëîñêîñòè ïðàâåå âñåõ îñîáûõ òî÷åê ðåøåíèÿ I(s,Åäèíñòâåííûìè îñîáûìè òî÷êàìè ðåøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ åãî òî÷êè âåòâëåíèÿs = −1 ± λ, òàê ÷òî êîíòóð ìîæíî äåôîðìèðîâàòü, âûäåëÿÿ ïåòëþ âîêðóã ðàçðåçà ìåæäó òî÷êàìè âåòâëåíèÿ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3.2. Êâàäðàòíûé êîðåíü Q152контур интегрированияIm s0,0-1-λRe s-1+λÐèñ. 3.2: Êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà.ïðèíèìàåò ïðîòèâîïîëîæíûå çíàêè íà áåðåãàõ ðàçðåçà.
Àíàëèòè÷åñêè âû÷èñëèòü èíòåãðàë íåâîçìîæíî, íî ìîæíî îöåíèòü àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ íà ìàëûõè áîëüøèõ âðåìåíàõ:I4I˜− (s, 0)esθ ds ≈ κ c θλ2 ,3θ → 0,(3.26)Iθ−3/2 −(1−λ)θ−sθ˜√e, θ → ∞.(3.27)I (s, 0)e ds ≈ κ c2πλÍåîáõîäèìî èìåòü â âèäó, ÷òî â ñëó÷àå ïðèñóòñòâèÿ â èìïóëüñå êîãåðåíòíîéêîìïîíåíòû èçëó÷åíèÿ ðåøåíèå (3.26) íà ìàëûõ âðåìåíàõ íåïðàâîìåðíî, ïîñêîëüêó êîãåðåíòíîé êîìïîíåíòîé èçíà÷àëüíî ïðåíåáðåãëè â èñõîäíûõ óðàâíåíèÿõ.
Ñøèâàÿ àñèìïòîòèêè, ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèåθ e(−1+λ) θ√I (θ, 0) ≈ κ c 352 πλ θ 2+24λ−(3.28)ñòðåìÿùååñÿ ê (3.26) è (3.27) íà ìàëûõ è áîëüøèõ âðåìåíàõ, ñîîòâåòñòâåííî. Âðàáîòå [244] ïîëó÷åíî ðåøåíèå äëÿ áåñêîíå÷íîé ñðåäû, îòëè÷àþùååñÿ îò ðåøåíèÿ äëÿ ïîëóáåñêîíå÷íîé ñðåäû ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè t.3.3.2Ñðåäà ñ îòðàæàþùåé ãðàíèöåé.Ðàññìîòðèì ïëîñêîïàðàëëåëüíûé ñëîé ñðåäû òîëùèíû τ0 ñ çåðêàëüíî îòðàæàþùåé çàäíåé ãðàíèöåé ñ êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ R ïî èíòåíñèâíîñòè.153Èíòåíñèâíîñòè ïîòîêîâ èçëó÷åíèÿ I ± ïîä÷èíÿþòñÿ óðàâíåíèÿì (3.12-3.13) ñãðàíè÷íûì óñëîâèåì (3.16) íà ïåðåäíåé ãðàíèöå è íà÷àëüíûì óñëîâèåì (3.14).Òðåáîâàíèå îãðàíè÷åííîñòè ðåøåíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè (3.15) çàìåíÿåòñÿ óñëîâèåì îòðàæåíèÿI − (θ, τ0 ) = RI + (θ, τ0 ),(3.29)íà çàäíåé ãðàíèöå.Ñîîòâåòñòâåííî, I˜± (s, τ0 ) óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå óðàâíåíèé (3.18, 3.19, 3.20)èI˜− (s, τ0 ) = RI˜+ (s, τ0 ),(3.30)Èíòåðåñóþùåå íàñ ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå ïîñòàâëåííûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, íà ïåðåäíåé ãðàíèöå ñëîÿ ðàâíî()2 Q τ0−RQ+e(Q−σ)+σ+ λ − λ e2 Q τ0−˜I (s, 0) = κ c,σ − Q − R λ − (Q + σ − R λ) e2 Q τ0(3.31)ãäå σ = s + 1 è Q îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (3.24).
 ïðåäåëå τ0 → ∞ è R = 0â (3.31), ïîëó÷àåòñÿ ðåøåíèå äëÿ ïîëóáåñêîíå÷íîé ñðåäû (3.23). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âûðàæåíèå (3.31) íå çàâèñèò îò çíàêà Q → (−Q), ñëåäîâàòåëüíî, îíîíå èìååò òî÷åê âåòâëåíèÿ. Îäíàêî, ýòî âûðàæåíèå èìååò ïîëþñà, óäîâëåòâîðÿþùèå òðàíñöåíäåíòíîìó óðàâíåíèþexp(2Qτ0 ) =σ −Q−Rλ.σ +Q−Rλ(3.32)Âñå ýòè ïîëþñà ëåæàò â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè Res < 0, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.3.3 .
Ïîëþñà s±n àñèìïòîòè÷åñêè ãðóïïèðóþòñÿ âáëèçè äâóõ ýêñïîíåíöèàëüíûõâåòâåéRλexp (2 τ0 (−1 − Re s±n )) .(3.33)2Ïîëþñ ñ íàèìåíüøåé ïî ìîäóëþ îòðèöàòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ s0ëåæèò íà äåéñòâèòåëüíîé îñè. Äåôîðìàöèåé êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ â (3.25)ìîæíî ïåðåíåñòè åãî ëåâåå âñåõ ïîëþñîâ. Òàêèì îáðàçîì, àñèìïòîòèêà ïîâåäåíèÿ I − (θ, 0) íà áîëüøèõ âðåìåíàõ θ >> τ0 îïðåäåëÿåòñÿ âû÷åòîì (3.25) âãëàâíîì ïîëþñå s0Im s±n ≈ ±[]I − (θ, 0) ≈ κ c Res e sθ I − (s, 0) s=s0 .154(3.34)ImReÐèñ. 3.3: Ïîëþñà âûðàæåíèÿ (3.31).Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà àñèìïòîòèêà ñïðàâåäëèâà äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõâðåìåí θ > 2τ0 , ò.å.
ïîñëå òîãî, êàê èìïóëüñ îòðàçèòñÿ îò çàäíåé ãðàíèöû,ïðîéäåò ñðåäó â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè è ïîêèíåò åå. Íà áîëåå êîðîòêèõ âðåìåíàõ θ < 2τ0 ñïðàâåäëèâî ðåøåíèå äëÿ ïîëóáåñêîíå÷íîé ñðåäû (3.22,3.23). Äëÿäîñòàòî÷íî òîëñòûõ ñëîåâ (τ0 ≈ 1 è áîëåå) ïîëþñ s0 ñòðåìèòñÿ ê −1 − λ.
 ýòîìñëó÷àå, ðåøåíèå òàêæå ïðèáëèæàåòñÿ ê (3.22,3.23).Ñõîäèìîñòü ðÿäà âû÷åòîâ ìîæåò áûòü óñòàíîâëåíà íåïîñðåäñòâåííî. Ïðè|s| → ∞, óðàâíåíèå (3.32) àñèìïòîòè÷åñêè ñòðåìèòñÿ êe2τ0 σ ≈ −Rλ2σ(3.35)ãäå σ = s + 1. Ïîäñòàâëÿÿ σ = x + iy , ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ ìîäóëÿe2τ0 x ≈Rλ2|x + iy|.(3.36)Ôîðìóëà (3.33) âûðàæàåò ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå (3.36) äëÿ áîëüøèõ |y|. Èñïîëüçóÿ (3.33) è (3.36), ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âû÷åòû ρn = Res [I − (sn , 0)] âûðàæåíèÿ (3.31) â ïîëþñàõ sn ïðè áîëüøèõ |s| àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàþòñÿê s θ sn .|ρn | ∝ e nλτ0 (3.37)Òàêèì îáðàçîì, ñóììà ðÿäà âû÷åòîâ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿìàæîðèðóåòñÿ âûðàæåíèåì∑sn esn θ .Σ̂ =(3.38)nÏîäñòàâëÿÿ (3.33) â (3.38), ñõîäèìîñòü ðÿäà θ > 2τ0 ìîæíî óñòàíîâèòü ïî ïðèçíàêó Ä'Àëàìáåðà.1553.3.3Ñðåäà ñ äâóìÿ îòðàæàþùèìè ãðàíèöàìè.Ðàññìîòðèì ñëîé îïòè÷åñêîé òîëùèíû τ0 ñ êîýôôèöèåíòàìè îòðàæåíèÿ ïî èíòåíñèâíîñòè R1 è R2 íà ïåðåäíåé è çàäíåé ãðàíèöàõ, ñîîòâåòñòâåííî.
Êîýôôèöèåíòû ïðîïóñêàíèÿ ðàâíû T1 = 1 − R1 è T2 = 1 − R2 , íåçàâèñèìî îò íàïðàâëåíèÿ ïîòîêà.  ìîìåíò âðåìåíè θ = 0, íà âíåøíþþ ãðàíèöó ïàäàåò èìïóëüñèçëó÷åíèÿ. Âûäåëèì íåðàññåÿííóþ ÷àñòü èçëó÷åíèÿ èç îáùåãî ðåøåíèÿ. Ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ â ñðåäå âïåðåä è íàçàä δ -èìïóëüñ, îòðàæàþùèéñÿ îò îáåèõãðàíèö, åñòüI0+ (θ, τ ) = T1 (R1 R2 )n e−τ −2 n τ0 δ(τ + 2 n τ0 − θ), 2nτ0 < θ < (2n + 1)τ0 ; 0 otherwise;(3.39)I0− (θ, τ ) = T1 R2 (R1 R2 )n eτ −2(n+1) τ0 δ(τ −2 (n + 1) τ0 +θ), (2n + 1)τ0 < θ < 2(n + 1)τ0 ;(3.40)0 otherwise .Íà÷àëüíîå óñëîâèå äëÿ I ± (θ, τ ) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (3.14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
