Диссертация (1097736), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Äëÿ ýòîãî âûäåëèì â ãðàíè÷íîì óñëîâèè (2.214) âêëàä èçëó÷åíèÿ èñòî÷íèêà â íàïðàâëåíèÿõ, áëèçêèõ ê íàïðàâëåíèþ íà òî÷êó íàáëþäåíèÿ(ϕ = 0). Ýòà ÷àñòü èçëó÷åíèÿ èñòî÷íèêà ïîðîæäàåò â òî÷êå íàáëþäåíèÿ ñèëüíîàíèçîòðîïíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòè, ñîäåðæàùåå óãëîâóþ îñîáåííîñòü δ(ϕ), èìû íàéäåì ýòó ÷àñòü ïîëÿ L0 â ìàëîóãëîâîì ïðèáëèæåíèè ñ ó÷åòîì äèñïåðñèè.
Ïðèìåíèì ðàçáèåíèå åäèíèöû ê ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (2.214). Ïðåäñòàâèìðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòè íà ýòîé ãðàíèöå â âèäåL(0, y, ϕ) = M (ϕ)L(0, y, ϕ) + (1 − M (ϕ))L(0, y, ϕ) ,115(2.217)ãäå M (ϕ) óãëîâàÿ ôóíêöèÿ-ìíîæèòåëü, ðàâíàÿ åäèíèöå â çàäàííîì íàïðàâëåíèè (ϕ = 0) è óäîâëåòâîðÿþùàÿ èçâåñòíûì óñëîâèÿì íà ãëàäêîñòü è ò.ä. [160].Äëÿ ïðèáëèæåííîé ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ðàçáèåíèÿ åäèíèöû óäîáíî âûáðàòüôóíêöèþM (ϕ) = exp(−a + a cos ϕ) ,(2.218)ãäå a íåêîòîðûé ÷èñëîâîé ïàðàìåòð, ðåãóëèðóþùèé ýôôåêòèâíóþ óãëîâóþøèðèíó âûäåëÿåìîé òàêèì îáðàçîì àíèçîòðîïíîé ÷àñòè â ãðàíè÷íîì óñëîâèè.Íåòðóäíî ïîëó÷èòü ôîðìóëó ðàçëîæåíèÿ M (ϕ) ïî êðóãîâûì ãàðìîíèêàìexp(−a + a cos ϕ) = exp(−a)∞∑Im (a) exp(imϕ) ,(2.219)m=−∞ãäå Im (·) ìîäèôèöèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà [150].
Ôîðìóëà(2.219) ôàêòè÷åñêè îïðåäåëÿåò ýëåìåíòû ìàòðèöû M̂ , ñîîòâåòñòâóþùåé óìíîæåíèþ íà M (ϕ) â ïðîñòðàíñòâå ãàðìîíè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ Cn . Ïðàêòè÷åñêè óäîáíûì äëÿ ðàñ÷åòîâ ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèå ïàðàìåòðà a = 1/(2 − 2g).Ñëåäóÿ ðàáîòå [51], ðàçäåëèì óðàâíåíèå (2.203) íà µx è çàìåíèì âåëè÷èíóµ−1x å¼ ðàçëîæåíèåì â ðÿä Òåéëîðà âáëèçè µx = 1:I∂∂−−− ΛL0 (x, y, ϕ))x(ϕ, ϕ′ )dϕ′ ,L0 + µx µy L0 = −µx L0 + µx∂x∂y2π(2.220)−1ãäå µ−x ≈ µx = 1 − (µx − 1) + . . .
. Ïîäñòàâèì èíòåãðàë Ôóðüå (2.216) äëÿ L0 âóðàâíåíèå (2.220 ). Óìíîæèì ýòî óðàâíåíèå íà ñîïðÿæåííóþ áàçèñíóþ ôóíêöèþ exp(−inϕ) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî÷ëåííî ïî âñåé îêðóæíîñòè 0 < ϕ < 2π .Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå äëÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåí(1)òîâ ãàðìîíèê Cn (x, ky ) of L0∂ ⃗ (0)⃗ (0) = −µ̂− C⃗ (0) + µ̂− Λx̂C⃗ (0) ,C + µ̂−x µ̂y iky Cxx∂x(2.221)⃗ (0) (x, ky ) âåêòîð-ñòîëáåö êîýôôèöèåíòîâ ãàðìîíèê äëÿ L0 , x̂ äèàãîíàëüãäå Cíàÿ ìàòðèöà ñ êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ èíäèêàòðèñû (2.207), µ̂x and µ̂y ìàòðèöû îïåðàòîðîâ óìíîæåíèÿ íà cos ϕ è sin ϕ ñîîòâåòñòâåííî, µ̂−x ìàòðèöà116îïåðàòîðà òåéëîðîâñêîé àïïðîêñèìàöèè µ−1x . Ìàòðèöû µ̂x è µ̂y èìåþò âèäè···1 ······µ̂x =2··· ······ ···1 0 1 ··· ··· ······ 1 0 1 ··· ······ ··· 1 0 1 ······ ··· ··· 1 0 1 ···(2.222)······i···µ̂y =2··· ······−1·········(2.223)···0 1 ··· ··· ···−1 0 1 · · · · · ·· · · −1 0 1 · · ·· · · · · · −1 0 1 · · ·ñîîòâåòñòâåííî, ìàòðèöà µ̂−x ïåðâîãî ïîðÿäêà òåéëîðîâñêîé àïïðîêñèìàöèè âû-ˆˆðàæàåòñÿ â âèäå is µ̂−x = 2I − µ̂x , ãäå I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, è òàê äàëüøå.
Ñäåëàííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ôàêòè÷åñêè îçíà÷àþò ïðåíåáðåæåíèå îáðàòíûì ðàññåÿíèåì â ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ, è ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.221) ýêñïîíåíöèàëüíîóáûâàþò ñ ðîñòîì x. Ïîýòîìó ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ ðåøåíèÿ ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ óãëîâ ϕ íåîáõîäèìî ïîñòàâèòü íà ãðàíèöå x = 0. Òàêèì îáðàçîì, áóäåìèñêàòü àíèçîòðîïíóþ ÷àñòü ðåøåíèÿ, âêëþ÷àþùóþ â ñåáÿ îñîáåííîñòè, êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (2.221) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ïðè x = 0L(0, y, ϕ) = M (ϕ)δ(y) .(2.224)Ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è äëÿ ïîëÿ èñòî÷íèêà â ñðåäå ìîæåò áûòü íàéäåíîâ âèäå ñóììû àíèçîòðîïíîé ÷àñòè L0 è íåèçâåñòíîé äèôôóçíîé ÷àñòè ïîëÿLD . Ïîäñòàâëÿÿ íåèçâåñòíîå ïîëå â âèäå ñóììû L0 + LD â óðàâíåíèå (2.203) èãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2.214), (2.215), ïîëó÷èì íåîäíîðîäíóþ êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿLD .Ðåøàòü êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ LD óäîáíî ìåòîäîì äèñêðåòíûõ îðäèíàò.
 ïðîñòðàíñòâå óãëîâ ϕ äâóìåðíîé çàäà÷è ââåäåì êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó ïîðÿäêà NIf (ϕ)dϕ ≈N−1∑am f (ϕm ) ,(2.225)m=0ãäå îðäèíàòû è âåñà êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû ðàâíû ϕm = 2πm/N and am =2π/N , ñîîòâåòñòâåííî. Ýëåìåíòû ìàòðèöû ðàññåÿíèÿ â äèñêðåòíûõ îðäèíàòàõ117áóäóò âûðàæàòüñÿ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû óãëîâûõ ãàðìîíèê èíäèêàòðèñû ðàññåÿíèÿ ïî ôîðìóëàìÂ(DO)1 ∑i, j =xm eim(ϕi −ϕj ) .N m(2.226)Ïåðåõîäÿ â óðàâíåíèè äëÿ LD è ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ îò óãëîâûõ ãàðìîíèê êäèñêðåòíûì îðäèíàòàì ïðè ïîìîùè ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö ïåðåõîäà, ïîëó÷èì çàäà÷ó â äèñêðåòíûõ îðäèíàòàõ, ðåøåíèåì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ íåèçâåñòíàÿãëàäêàÿ ÷àñòü ïîëÿ èçëó÷åíèÿ â ñðåäå. Åãî ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ êàêîéëèáî ðàçíîñòíîé ñõåìû [87]. Íàéäåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ôàêòè÷åñêè ÿâëÿþòñÿ ñïåêòðàëüíûìè êîìïîíåíòàìè èíòåãðàëîâ Ôóðüå òèïà ñîäåðæàùèå ñîîòâåòñòâóþùèé âîëíîâîé ìàñøòàá ky â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà.
Îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå âîññòàíîâèì óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòè â òî÷êå íàáëþäåíèÿx = X, y = 0.100.20.40.6µx0.8Lτ= 40.1Ðèñ. 2.39: Óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè òî÷å÷íîãî èçîòðîïíîãî (ÒÈ)èñòî÷íèêà â òî÷êå íàáëþäåíèÿ. Λ = 0.99, g = 0.9, X = 4. Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ ÷èñëåííîå ðåøåíèå, ïóíêòèðíàÿ êðèâàÿ àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìåòîäîìõàðàêòåðèñòèê.Òèïè÷íûé ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ ïîëÿ ÒÈ èñòî÷íèêà íà âåðõíåé ãðàíèöå2Ì ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäû ïðèâåäåí íà ðèñ.
2.39. Ïóíêòèðíîé êðèâîé ïîêàçàíîàñèìïòîòè÷åñêîå ìàëîóãëîâîå ðåøåíèå ìåòîäîì õàðàêòåðèñòèê (2.209),(2.213),ñïëîøíîé êðèâîé ÷èñëåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà â äâóìåðíîé ñðå-118äå ïî ôîðìóëàì ðàçäåëà 2.5.1.  îáëàñòè ìàëûõ óãëîâ (µx ≃ 1) ïîëó÷åííîå÷èñëåííîå ðåøåíèå õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ìàëîóãëîâîé àñèìïòîòèêîé.2.5.2Ðàñïðîñòðàíåíèå óçêèõ ïó÷êîâ â äâóìåðíîé ñðåäåÁóäåì èñêàòü ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòè â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå ïî y -êîîðäèíàòå(2.216) [53]. Ïîäñòàâëÿÿ (2.216) â óðàâíåíèå (2.203), ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîåóðàâíåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ãàðìîíèê Cn (x, ky ) â âèäå()1∂Cn−1 (x, ky ) ∂Cn+1 (x, ky )ky Cn−1 (x, ky ) − ky Cn+1 (x, ky ) ++= −(1−Λxn )Cn (x, ky ) .2∂x∂x(2.227)Ïðèáëèæåííî ïðèíèìàÿ çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòîâ ãàðìîíèê Cn (x, ky ) îò èíäåêñà n íåïðåðûâíîé [26], ïîëó÷èì∂∂Cn (x, ky ) − ky Cn (x, ky ) = −(1 − Λxn )Cn (x, ky ) .∂x∂n(2.228)Ïåðåõîäÿ â (2.228) ê õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïåðåìåííûì p , q = (ky x ± n)/2, ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ãàðìîíèê â âèäåky∂C(p, q, ky )= −(1 − Λxp−q )C(p, q, ky ) ,∂q(2.229)ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ 1 ∫qC(p, q, ky ) = exp −(1 − Λxp−q ) dq ky(2.230)q0(ïóòü èíòåãðèðîâàíèÿ ñõåìàòè÷åñêè ïîêàçàí íà ðèñ.
2.40). Äëÿ ìîäåëüíûõ ðàñ÷åòîâ ðàññìîòðèì èíäèêàòðèñó Õåíüè-Ãðèíñòåéíà (2.205).119n2- ky/q=путьинтегрированияq=/2+ kyp=+p=-xky/2ky/22Ðèñ. 2.40: Ê âû÷èñëåíèþ âûðàæåíèÿ (2.230) (ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå õàðàêòåðèñòèê).Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ñâåòîâîì ïîëå íà ãðàíèöå ñâåòà è òåíè â ìóòíîé ñðåäå. Çàäàäèì íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè íà ãðàíèöå x = 0 â âèäåñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè Õåâèñàéäà ïî ïîïåðå÷íîé êîîðäèíàòåL(0, y, ϕ) = θ(y)δ(ϕ) ,(2.231)ãäå θ(y) ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà{θ(y) =1, y > 0.0, y < 0(2.232)Óäîáíî ïðåäñòàâèòü ðåøåíèå â âèäå ñóììû ñèììåòðè÷íîé è àíòèñèììåòðè÷íîé÷àñòåé L(x, y, ϕ) = L+ (x, y, ϕ) + L− (x, y, ϕ), òàê ÷òî∞1 ∑ 1L (0, y, ϕ) = δ(ϕ)/2 =exp(inϕ)2 n=−∞ 2π+è−L (0, y, ϕ) ={δ(ϕ)/2, y > 0.−δ(ϕ)/2, y < 0(2.233)(2.234)Ïåðâîå ñëàãàåìîå â (2.233) ÿâëÿåòñÿ ôàêòè÷åñêè èçëó÷åíèåì ÏÌ-èñòî÷íèêà,ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ äëÿ êîòîðîãî íàéòè íåòðóäíî.
 ñàìîì äåëå, ïîñêîëüêóêîýôôèöèåíòû ñóììû (2.233) íå çàâèñÿò îò ky , èõ ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî íàéòèèç óðàâíåíèÿ (2.228) Ïîëàãàÿ â (2.228) ky = 0, ïîëó÷àåì, ÷òî∞1 ∑ 1L (x, y, ϕ) = δ(ϕ)/2 =exp(−(1 − Λxn )x + inϕ) .2 n=−∞ 2π+120(2.235)Âòîðîå ñëàãàåìîå (2.234) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî èíòåãðàëîì Ôóðüå1L− (0, y, ϕ) =2π∫∞−∞∞dky ∑ 1exp(iky y)exp(inϕ) ,iky n=−∞ 2π(2.236)êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿþò êðàåâîìó óñëîâèþ Cn− (0, ky ) = (2πiky )−1ïðè x = 0 . Âû÷èñëèì ðàñïðåäåëåíèå ïîëíîé (èíòåãðàëüíîé) èíòåíñèâíîñòèïîëÿ ïî âñåì óãëàì â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà (x, y). Î÷åâèäíî, îíàðàâíà êîýôôèöèåíòó ïðè íóëåâîé êðóãîâîé ãàðìîíèêå C0 .
Äëÿ èíäèêàòðèñûðàññåÿíèÿ (2.205) ðåøåíèå äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðîñòðàíñòâåííîãî ñïåêòðà(2.216) âûðàæàåòñÿ èíòåãðàëîì (2.230), ãäå p = ky x/2, q0 = −p, q = p, xp−q =exp((p − q) ln g). Âûïîëíÿÿ èíòåãðèðîâàíèå, ïîëó÷èì1−ky∫q(1 − Λxp−q ) dq =Λg ky xΛ−x−.ky ln gky ln g(2.237)q0Ïðè ñèëüíî àíèçîòðîïíîì ðàññåÿíèè (ln g → 0) äëÿ ïðèáëèæåííîé îöåíêè ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëüíîé èíòåíñèâíîñòè â ýòîì âûðàæåíèè äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ ïåðâûì ÷ëåíîì ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà ïî ln g :1−ky∫q1(1 − Λxp−q ) dq ≈ ky Λx2 ln g − (1 − Λ)x .2(2.238)q0Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â (2.216),(2.230), èçìåíèì ïîðÿäîê îïåðàöèé ñóììèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ.
Òîãäà, âû÷èñëÿÿ èíòåãðàë ïî ky â (2.216)â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ (v.p.) ñ ó÷åòîì êðàåâîãî óñëîâèÿ (2.231), íàéäåìàíòèñèììåòðè÷íóþ ÷àñòü ðåøåíèÿ12π∫C0− (x, ky ) exp(iky y)dky1= 2 exp((1 − Λ)x) arctg2π(2yx2 Λ ln g).(2.239)Ñêëàäûâàÿ (2.239) ñ ïåðâûì ñëàãàåìûì â (2.235), ïîëó÷èì èñêîìîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåãðàëüíîé èíòåíñèâíîñòè12π∫(())112y(L+ + L− )dϕ = exp(−(1 − Λxn )x)+arctg. (2.240)4π 2π 2x2 Λ ln g121Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó î òî÷å÷íîì ìîíîíàïðàâëåííîì (ÒÌ) èñòî÷íèêå.Íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòè íà ãðàíèöå x = 0 èìååò âèä1L(0, y, ϕ) = δ(ϕ)δ(y) =2π∫∞exp(iky y)dky ,(2.241)−∞ò.å. Cn (0, ky ) = (2π)−1 .
Âû÷èñëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëüíîé èíòåíñèâíîñòèïî ïðîñòðàíñòâó ïî ôîðìóëàì (2.230), (2.238) è (2.241) ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþC0 (x, y) = −2x2 Λ ln gexp(x(Λ − 1)) .π (Λ2 x4 ln g 2 + 4y 2 )(2.242)Êðèâûå ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëüíîé èíòåíñèâíîñòè C0 (x, y) â çàâèñèìîñòè îòy äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé îïòè÷åñêîé òîëùèíû x (Λ = 1, g = 0.99) ïîêàçàíûíà ðèñ.
2.41.L76354435271 10y0.050.10.150.20.25Ðèñ. 2.41: Ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëüíîé ÿðêîñòè C0 (x, y) òî÷å÷íîãî ìîíîíàïðàâëåííîãî èñòî÷íèêà â äâóìåðíîé ñðåäå (ïðîèçâîëüíûå åäèíèöû). Λ = 1, g = 0.99. Îïòè÷åñêèå òîëùèíû óêàçàíû öèôðàìè ïðè êðèâûõ.2.5.3×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è î ïîëå ÒÌ èñòî÷íèêà âñëîå äâóìåðíîé ðàññåèâàþùåé ñðåäû.Ðàññìîòðèì ïëîñêîïàðàëëåëüíûé ñëîé (ïîëîñó) îäíîðîäíîé ìóòíîé 2Ì ñðåäû0 < x < X ñ àíèçîòðîïíîé ôóíêöèåé ðàññåÿíèÿ. Òî÷åíûé ìîíîíàïðàâëåííûé(ÒÌ) èñòî÷íèê, èçëó÷àþùèé â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè x, ðàñïîëîæåíâ íà÷àëå êîîðäèíàò. ðåçóëüòàòå ñèëüíîé àíèçîòðîïèè ðàññåÿíèÿ çíà÷èòåëüíàÿ÷àñòü ïîëÿ ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ, â òîì ÷èñëå ìíîãîêðàòíî ðàññåÿííîãî, òàêæå122ñèëüíî àíèçîòðîïíà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
