Диссертация (1097736), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(2.196)4 (lθ0 )2/3(qlθ0 )2/30Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé èíäèêàòðèñû ðàññåÿíèÿ (2.193) ïàðàìåòðàñèììåòðèè ïðèáëèæåííî ðàâåí g ≈ 1 − 3θ02 , è èñïîëüçóÿ (2.182) è(2.196), èçóñëîâèÿ ïðîÿâëåíèÿ ýôôåêòà ãàëî I(0)/I(ltr ) < 1 ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèéêðèòåðèé(√)(1 − g)7/3 α2 + 1 − 1σb√<√∝ (1 − g)7/3(2.197)34/32σ3 π(q0 l)α + 1 Γ (4/3)äëÿ êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ ñå÷åíèÿ îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ σb /σ . Ýòîò ñòåïåííîéçàêîí 7/3 òàêæå ïîêàçàí íà ðèñ 2.33 ñïëîøíîé òîíêîé êðèâîé. Î÷åâèäíî, èíäèêàòðèñà Õåíüè-Ãðèíñòåéíà íå óäîâëåòâîðÿåò ñôîðìóëèðîâàííîìó êðèòåðèþ,ïîñêîëüêó σb /σ ∝ (1 − g) >> (1 − g)7/3 ïðè g → 1, êàê ìîæíî âèäåòü è íà ðèñ.2.33.2.4.3Ðàñ÷åòû ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî.
Îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ. öåëÿõ ïðîâåðêè ïðåäëîæåííîãî êðèòåðèÿ, ïðîâåäåíî ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî. Áûëà âûáðàíà ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ{dσσ , µ≤µ ,(µ) = σb , µ > µ0 ,(2.198)f0dΩãäå µ = cos θ, dΩ = sin θdθdϕ, µ0 ïàðàìåòð ìîäåëè.  ñèëó íîðìèðîâêèIdσdΩ = 2π(1 + µ0 )σb + 2π(1 − µ0 )σf = 1(2.199)dΩñå÷åíèÿ ïðÿìîãî è îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ σf è σb â âûáðàííîé ìîäåëè ñâÿçàíûñîîòíîøåíèåì1 + µ01−σb .(2.200)σf =2π(1 − µ0 ) 1 − µ0Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïàðàìåòð àñèììåòðèè ðàññåÿíèÿ g =< cos θ > ðàâåíIg=dσµ (µ) dΩ = 2πσbdΩ∫µ0∫1µ dµ = π(1 − µ20 )(σf − σb ) ≈µ dµ + 2πσf−1µ01071 + µ0,2(2.201)ïðè σb << σf , ÷òî òèïè÷íî äëÿ ñðåä, ðàññìàòðèâàåìûõ â ýòîé ðàáîòå.
Òèïè÷íûå ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ èíòåãðàëüíîãî ïîòîêà èçëó÷åíèÿ, âûõîäÿùåãî ÷åðåçãðàíèöó ñðåäû [192]∫F (ρ) =Ω̂·ẑ<0()Ω̂ · (−ẑ) I(Ω, ρ)dΩ(2.202)z=0ïîêàçàíû íà ðèñ. 2.38. Òðè òèïè÷íûõ ñèòóàöèè: îòñóòñòâèå ãàëî, ñëàáîå ãàëî(ëîêàëüíûé ìàêñèìóì F (ρ) ïðè ρ ≈ ltr ) è ñèëüíîå ãàëî (ãëîáàëüíûé ìàêñèìóìF (ρ) ïðè ρ ≈ ltr ñîãëàñíî (2.183) ) ïîêàçàíû ñïëîøíîé, øòðèõîâîé è ïóíêòèðíûìè êðèâûìè, ñîîòâåòñòâåííî. Ïàðû çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ (g , σb ) òàêæåïîêàçàíû íà ðèñ.
2.33 òðåóãîëüíûìè, êâàäðàòíûìè è êðåñòîâûìè ìàðêåðàìè,ñîîòâåòñòâåííî. Ìîæíî âèäåòü, ÷òî âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïðîÿâëåíèÿ ñèëüíîãî ýôôåêòà ãàëî â ðåçóëüòàòàõ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êèíà ãðàôèêå ëåæàò íèæå êðèòè÷åñêîé êðèâîé. Ýòî çíà÷èò, ÷òî êðèòåðèé ñåìèòðåòåé (2.197) îáåñïå÷èâàåò íàäåæíîå ïðåäñêàçàíèå ïðîÿâëåíèÿ ñèëüíîãî ýôôåêòà ãàëî, ò.å. âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ I(0) < I(ltr ), äëÿ êîòîðîãî è áûë ïîëó÷åíêðèòåðèé (2.197).Âñå ðàññìîòðåííûå çäåñü ôàçîâûå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ìîäåëüíûìè, ò.å.
íåâïîëíå ñîîòâåòñòâóþùèìè îïòè÷åñêèì ñâîéñòâàì ðåàëüíûõ ìóòíûõ ñðåä, â îñîáåííîñòè ïðè íå ìàëûõ óãëàõ ðàññåÿíèÿ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå, äëÿ ðåàëüíîé ñðåäû íåîáõîäèìû îöåíêè ââåäåííûõ çäåñü êðèòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ íà îñíîâåñòðîãèõ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ. Íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû äëÿ îäíîðîäíûõ ñôåðè÷åñêèõ ÷àñòèö (ëàòåêñ, n = 1.59, â âîäå, n = 1.33 ) ïî òåîðèèÌè [195] ïîêàçàíû íà ðèñ. 2.34 (êîìïüþòåðíûå êîäû îáùåäîñòóïíû ïî ññûëêåhttp://atol.ucsd.edu/scatlib/scatterlib.htm ).
Ìîæíî âèäåòü íåñêîëüêî ãëóáîêèõìèíèìóìîâ ñå÷åíèÿ îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ, äîñòèãàþùèõ óðîâíÿ íèæå êðèòè÷åñêîãî. Íà ýòèõ äëèíàõ âîëí ñëåäóåò îæèäàòü ïðîÿâëåíèÿ ýôôåêòà â ýêñïåðèìåíòå. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû äëÿ ñôåðè÷åñêèõ ÷àñòèö ëàòåêñà â ãëèöåðèíåïîêàçàíû íà ðèñ. 2.36.
Íåîáõîäèìûå êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö, ñîîòâåòñòâóþùèåçíà÷åíèþ òðàíñïîðòíîé äëèíû 5 ìì (ðàäèóñ êþâåòû) â çàâèñèìîñòè îò äëèíûâîëíû äëÿ ñôåðè÷åñêèõ ÷àñòèö ëàòåêñà â âîäå è ãëèöåðèíå ïîêàçàíû íà ðèñ.2.35 è 2.37, ñîîòâåòñòâåííî.108 äàííîé ðàáîòå ïîëó÷åíû îöåíêè äëÿ êîíñåðâàòèâíîé ðàññåèâàþùåé ñðåäû áåç ïîòåðü. Ïðè íàëè÷èè ïîòåðü, ñëåäóåò îæèäàòü îñëàáëåíèÿ ïðîÿâëåíèÿýôôåêòà, â ñâÿçè ñ áîëüøåé äëèíîé òðàåêòîðèé äèôôóçíîé êîìïîíåíòû ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ êâàçèîäíîêðàòíî îáðàòíî ðàññåÿííîé, èñîîòâåòñòâåííî áîëüøèì ïîãëîùåíèåì èçëó÷åíèÿ íà ýòîé äëèíå.
Ïî òåì æåñîîáðàæåíèÿì, ýôôåêò ìîæåò áûòü îñëàáëåí â ñëó÷àå ñèëüíîé ëîêàëèçàöèè,ïðåïÿòñòâóþùåé ðàñïðîñòðàíåíèþ èçëó÷åíèÿ íà áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ [194].I(ρ)ρÐèñ. 2.32: Ê ïîÿñíåíèþ ýôôåêòà ãàëî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ (ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå).2.5 Ìîäåëü äâóìåðíîé ðàññåèâàþùåé ñðåäû.Îïðåäåëåííûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ìîäåëü äâóìåðíîé ðàññåèâàþùåé ñðåäû,íàïðèìåð â âèäå ñëó÷àéíî ðàñïîëîæåííûõ ïàðàëëåëüíûõ âîëîêîí [196, 197, 198,199, 200, 201, 202, 56]. Èíòåðåñ ê äâóìåðíûì ñðåäàì îáóñëîâëåí êàê àíàëèòè÷åñêèì è ÷èñëåííûìè ðàñ÷åòàìè ïåðåíîñà ðàäèàöèè â ñðåäàõ ñ îðèåíòèðîâàí1090.9 0.93 0.95 0.97-20.99 0.993 0.995g-3-4-5-6-7log10 σb /σÐèñ. 2.33: Òîëñòàÿ øòðèõîâàÿ êðèâàÿ ÷èñëåííûå îöåíêè êðèòè÷åñêîãî íîðìèðîâàííîãî ñå÷åíèÿ îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ σb /σ (2.183) äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîéèíäèêàòðèñû ðàññåÿíèÿ (2.193), ñïëîøíàÿ êðèâàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ îöåíêà ñîãëàñíî êðèòåðèþ ñåìè òðåòåé (2.197). Ïóíêòèðíàÿ êðèâàÿ ñå÷åíèå îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ èíäèêàòðèñû Õåíüè-Ãðèíñòåéíà (2.185).
Ìîäåëèðîâàíèå ÌîíòåÊàðëî: òðåóãîëüíûå ìàðêåðû ýôôåêò ãàëî îòñóòñòâóåò, êâàäðàòíûå ìàðêåðû ñëàáîå ãàëî (ëîêàëüíûé ìàêñèìóì èíòåíñèâíîñòè âáëèçè ρ ≈ ltr ), êðåñòû ñèëüíîå ãàëî (ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì âáëèçè ρ ≈ ltr ).íûìè ñèëüíî íåñôåðè÷åñêèìè ðàññåèâàòåëÿìè [199, 200, 201], òàê è çàäà÷àìèëîêàëèçàöèè âîëí â ñëó÷àéíûõ ñðåäàõ [196, 197, 198, 201]. Ýêñïåðèìåíòû ñ ìíîãîêðàòíûì ðàññåÿíèåì â òàêèõ ñðåäàõ ïðîâîäèëèñü ñ îïòè÷åñêèìè âîëîêíàìè[196] è àíèçîòðîïíûìè ðàññåèâàòåëÿìè, íàïðèìåð ñòåðæíåâûìè [197].Ñ îäíîé ñòîðîíû, äâóìåðíàÿ ñðåäà ÿâëÿåòñÿ àäåêâàòíîé ôèçè÷åñêîé ìîäåëüþ íåêîòîðûõ òèïîâ ñðåä, ðàññåÿíèå â êîòîðûõ ïðîèñõîäèò ïðåèìóùåñòâåííîâ íàïðàâëåíèÿõ, áëèçêèõ ê íåêîòîðîé ïëîñêîñòè [56].
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíàïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëåííóþ ìîäåëü, óäîáíóþ äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ â êà÷åñòâåòåñò-îáúåêòà ïðè ðàçðàáîòêå àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ ÓÏÈ. Èçâåñòíî, ÷òî íà ðàññòîÿíèÿõ, íå ïðåâûøàþùèõ äëèíó ëîêàëèçàöèè, â îäíîìåðíûõ è äâóìåðíûõñðåäàõ ìîæíî ñ÷èòàòü ñïðàâåäëèâûì óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ [203].Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â äâóìåðíîé ñðåäå∂Λ∂µx L + µy L = −L +∂x∂y2πIL(x, y, ϕ)x(ϕ, ϕ′ )dϕ′ + f ,110(2.203)lgσb/σn=1.33 d = 1000 nm-1.5-2-2.5-3-3.5λ, nm5007501000 1250 1500 1750 2000-4.5Ðèñ. 2.34: Ïóíêòèðíàÿ êðèâàÿ íîðìèðîâàííîå ñå÷åíèå îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿìîíîäèñïåðñíûõ ÷àñòèö σb /σ , ñïëîøíàÿ êðèâàÿ òî æå, ðàçáðîñ äèàìåòðîâ ÷àñòèö 5%, øòðèõîâàÿ êðèâàÿ êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ñå÷åíèÿ îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ ïðè ðàññ÷èòàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà àñèììåòðèè (ñôåðè÷åñêèå ÷àñòèöûëàòåêñà â âîäå, òåîðèÿ Ìè [195])ãäå L = L(x, y, ϕ) óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòè â äâóìåðíîé ñðåäå, x =x(ϕ, ϕ′ ) äâóìåðíàÿ èíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ, µx = cos ϕ and µy = sin ϕ íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû.Ðåøåíèå ìîæíî èñêàòü â âèäå ñóììû ðÿäà ïî êðóãîâûì ãàðìîíèêàì eiϕ .Èíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ òàêæå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ðÿäà′x(ϕ, ϕ ) =∞∑′xn (r)ein(ϕ−ϕ ) .(2.204)n=−∞ ÷àñòíîñòè, äëÿ èíäèêàòðèñû âèäà√x(ϕ) =1 − a2,1 − a cos ϕãäå(2.205)2g,(2.206)1 + g2g ïàðàìåòð àíèçîòðîïèè, èìåþùèé ñìûñë ñðåäíåãî êîñèíóñà ðàññåÿíèÿ, íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ èíäèêàòðèñû (2.205) ïîa=111n, m-3 n =1.33 d = 1000 nm ltr = 5 mm3 ´ 10152.5 ´ 10152 ´ 10151.5 ´ 1015Λ, nm500750 1000 1250 1500 1750 2000Ðèñ.
2.35: Êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö â ñóñïåíçèè, ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèþ òðàíñïîðòíîé äëèíû 5 ìì (ñôåðè÷åñêèå ÷àñòèöû ëàòåêñà â âîäå, òåîðèÿ Ìè [195])êðóãîâûì ãàðìîíèêàì exp(inϕ) ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì ñòåïåíÿì ïàðàìåòðàg1xn =2π∫2πexp(inϕ)x(ϕ)dϕ = g |n| ,(2.207)0òî åñòü èíäèêàòðèñà (2.205) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóìåðíûé àíàëîã èíäèêàòðèñûÕåíüè-Ãðèíñòåéíà [176].2.5.1Ðåøåíèå çàäà÷è ÓÏÈ ñ ÒÈ èñòî÷íèêîì â äâóìåðíîéñðåäå.Ñëåäóÿ [26], ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è, îïèñûâàþùåå ïîëå ÒÈèñòî÷íèêà â 2Ì ìóòíîé ñðåäå ïðè ìàëûõ óãëàõ.
 ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàòÓÏÈ óðàâíåíèå (2.203) ïðèíèìàåò âèä [62]sin θ ∂Λ∂L = −L +cos θ L −∂rr ∂r2πILxdϕ .(2.208)Ðàññìîòðèì ïîëå òî÷å÷íîãî èçîòðîïíîãî (ÒÈ) èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ â äâóìåðíîé ñðåäå. Áóäåì èñêàòü ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòè â âèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿäû êðó-112lgσb/σn=1.46 d = 1000 nm-2-3-4-5λ, nm50075010001250150017502000Ðèñ.
2.36: Ïóíêòèðíàÿ êðèâàÿ íîðìèðîâàííîå ñå÷åíèå îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿìîíîäèñïåðñíûõ ÷àñòèö σb /σ , ñïëîøíàÿ êðèâàÿ òî æå, ðàçáðîñ äèàìåòðîâ ÷àñòèö 5%, øòðèõîâàÿ êðèâàÿ êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ñå÷åíèÿ îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ ïðè ðàññ÷èòàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà àñèììåòðèè (ñôåðè÷åñêèå ÷àñòèöûëàòåêñà â ãëèöåðèíå, òåîðèÿ Ìè [195])ãîâûõ ãàðìîíèê∞1 ∑L(r, ϕ) =Cn (r)einϕ .r n=−∞(2.209)Ïîäñòàâëÿÿ (2.209),(2.204) â óðàâíåíèå 2.208 è èíòåãðèðóÿ ïî ϕ ñ ñîïðÿæåííîéáàçèñíîé ôóíêöèåé exp(−inϕ), ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ãàðìîíèê Cn (r)nn1 ∂1 ∂1ΛCn−1 (r)+ 2 Cn+1 (r)+Cn−1 (r)+Cn+1 (r) = − Cn (r)+ xn (r)Cn (r) .22r2r2r ∂r2r ∂rrr(2.210)Îãðàíè÷èâàÿñü ìàëîóãëîâûì ðàññåÿíèåì, ìîæíî ïðèáëèæåííî ïðèíÿòü íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ Cn (r) îò èíäåêñà n [34]. Òîãäàïîëó÷èì1 ∂n ∂1ΛCn (r) + 2 Cn (r) = − Cn (r) + xn (r)Cn (r) .(2.211)r ∂rr ∂nrr−113n, m-3 n =1.46 d = 1000 nm ltr = 5 mm1.4 ´ 10161.2 ´ 10161 ´ 10168 ´ 10156 ´ 1015Λ, nm500750 1000 1250 1500 1750 2000Ðèñ.
2.37: Êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö â ñóñïåíçèè, ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèþ òðàíñïîðòíîé äëèíû 5 ìì (ñôåðè÷åñêèå ÷àñòèöû ëàòåêñà â ãëèöåðèíå, òåîðèÿ Ìè[195])Ñëåäóÿ [26] è öèòèðóåìûõ òàì ðàáîòàì, ðåøèì ýòî óðàâíåíèå ìåòîäîì õàðàêòåðèñòèê. Ïîëàãàÿ q = n/r, ïðèâåäåì óðàâíåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó∂C(q, r) = −(1 − Λxqr (r))C(q, r) ,∂r(2.212)ðåøåíèåì êîòîðîãî, êàê íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÿâëÿåòñÿ ∫rC(q, r) = C(q, 0) exp − (1 − Λxqr (r))dr .(2.213)0Ðàññìîòðèì ïëîñêîïàðàëëåëüíûé ñëîé (ïîëîñó) îäíîðîäíîé ìóòíîé 2Ì ñðåäû 0 < x < X ñ àíèçîòðîïíîé èíäèêàòðèñîé ðàññåÿíèÿ.  íà÷àëå êîîðäèíàò(0, 0) íàõîäèòñÿ òî÷å÷íûé èçîòðîïíûé èñòî÷íèê èçëó÷åíèÿ. Äðóãèå èñòî÷íèêè èçëó÷åíèÿ îòñóòñòâóþò.
Ïîëå ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ ÒÈ èñòî÷íèêà â ñðåäå,òàêèì îáðàçîì, óäîâëåòâîðÿåò êðàåâîé çàäà÷å äëÿ óðàâíåíèÿ (2.203) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèL(0, y, ϕ) = δ(y), cos ϕ > 0(2.214)èL(X, y, ϕ) = 0, cos ϕ < 0114(2.215)log10F(ρ)4321log10 ρ12-1Ðèñ. 2.38: Ðàñïðåäåëåíèå èíòåãðàëüíîé èíòåíñèâíîñòè îáðàòíî ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ F (ρ), âûõîäÿùåãî ÷åðåç ãðàíèöó ñðåäû (Ìîíòå-Êàðëî, µ0 = 0.9, ïðîèçâîëüíûå åäèíèöû). Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ σb /σ ≈ 8·10−3 (ãàëî îòñóòñòâóåò), øòðèõîâàÿ êðèâàÿ σb /σ ≈ 8·10−5 (ñëàáîå ãàëî), ïóíêòèðíàÿ êðèâàÿ σb /σ ≈ 8·10−10(ñèëüíîå ãàëî).íà ãðàíèöàõ ñðåäû x = 0 è x = X ñîîòâåòñòâåííî. Ðàçëîæèì ïîëå â èíòåãðàëÔóðüå ïî y è ðÿä ïî êðóãîâûì ãàðìîíèêàì einϕ :1L(x, y, ϕ) =2π∫1exp(iky y)Ly (x, ky ) dky =2π∫exp(iky y)∞∑Cn (x, ky )einϕ dky .n=−∞(2.216)Áóäåì èíòåðåñîâàòüñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ÿðêîñòè ïîëÿ, ñîçäàííûì èñòî÷íèêîì âòî÷êå x = X, y = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
