Диссертация (1097698), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Энергетическая щель, разделяющая состояния нейтрино созначениями = ±1 в среде, располагается выше по сравнению с ее положением в вакууме (ср. рис. 6.2а и 6.2б). В этих условиях на границе междувакуумом и средой могут происходить некоторые интересные явления.Предположим, что нейтрино в среде находится в состоянии с = −1 и движется по направлению к границе с вакуумом. Если при этом энергия нейтрино удовлетворяет условию − < < , что отвечает запрещенной энергетической зоне в вакууме (см. рис. 6.2б), то такое нейтрино не сможет проникнуть в вакуум и будет отражаться от границы раздела «среда–вакуум».Это явление интерпретируется, как захват антинейтрино средой.
Если жеэнергия нейтрино в среде находится в пределах < < − + (см.рис. 6.2), то в этом случае нейтрино сможет продолжить свое движение ввакууме, однако теперь оно будет находиться в состоянии с = +1. Одновременно в среде появляется «дырка» среди состояний с = −1. Это явлениеинтерпретируется, как рождение нейтрино-антинейтринной пары на границе между средой и вакуумом. Данный механизм рождения пары нейтриноантинейтрино в присутствии среды аналогичен механизму спонтанного рождения электрон-позитронной пары в электрическом поле (парадокс Клейна).Заметим, что различные аспекты явлений захвата и отражения нейтрино,а также рождения и аннигиляции нейтрино-антинейтринных пар в присут-171ствии среды рассматривались в [453, 459–461, 463, 467–470] (см.
также [471]).Полученные нами выше решения модифицированного уравнения Дирака для ДН в среде (6.23)–(6.25) легко обобщаются на случай более сложногокомпонентного состава среды и на другие ароматы распространяющихся нейтрино. Например, если среда состоит из электронов, протонов и нейтронов(характеризующихся соответственно плотностями , и ), то параметрплотности среды (6.24) для нейтрино различных ароматов ( = , , )имеет вид)()]1 [ ( = √ 4 sin2 − 1 + 2 + 1 − 4 sin2 − , (6.28)2 2 где{ =1, если = ,0, если = , .В заключение данного раздела заметим также, что энергетический спектр(6.23), обобщенный при помощи (6.28) на случай нейтрино различных ароматов, позволяет корректно описать флейворные и спин-флейворные резонансные осцилляции нейтрино в среде.
Действительно, разность энергий в средедля релятивистских ( ≫ , ≫ ) электронного и мюонного нейтрино(при = +1, = −1) равна√=−12 ,(6.29)Δ = = =−1−≃что соответствует известному результату теории МСВ [56, 58, 271], см. (6.2).При рассмотрении спин-флейворных осцилляций ( ↔ ) соответствующая разность энергий имеет вид√=+12 ( − /2) ,(6.30)Δ = =−1−≃и это полностью согласуется с работами [220, 221].6.2.3. Уравнение для майорановского нейтриноРассмотрим теперь кратко основные идеи, которые приводят к получению модифицированного уравнения Дирака в среде для майорановского нейтрино (МН). Как и в разделе 6.2.1, мы будем предполагать наличие толькоодного аромата нейтрино (электронное нейтрино) и отсутствие смешивания172нейтрино.
Будем также считать, что среда состоит только из электронов.Рассмотрим вначале рассеяние МН на единичном электроне среды. Как и вслучае ДН, майорановское электронное нейтрино будет взаимодействовать сэлектронами среды как через заряженный, так и через нейтральный ток.Ограничиваясь, как и в разделе 6.2.1, контактным четырехфермионнымпределом Стандартной модели и используя выражение (6.6), видим, что вкладзаряженного тока (CC) в процесс рассеяния МН на электроне описываетсяследующим эффективным лагранжианом:√(())5())¯()1+(),(6.31)2(¯()ℒCC=− где () и () – полевые операторы электрон-позитронного поля и поляМН.
Существенное отличие лагранжиана (6.31) от соответствующего выражения для ДН (см. (6.6)) состоит в том, что разложение майорановскогополевого оператора () по плоским волнам включает операторы рожденияи уничтожения одного сорта (см. формулу (2.51)), поскольку майорановскоенейтрино тождественно своей античастице (ср. с аналогичным разложениемполевого оператора для ДН (2.37)).Используем разложения (2.51) и (2.37) и будем считать, что 4-импульсэлектрона не изменяется в результате взаимодействия с нейтрино (это отвечает условиям когерентного рассеяния, см. раздел 6.2.1). Тогда, учитывая(6.31), получаем следующее выражение для вклада заряженного тока в амплитуду рассеяния МН:∫√CC4 (4) ′ = ⟨ ∣ 4 ℒCC()∣⟩=− 2 ¯ ¯ (2) ( − )×(())× [ (¯ (′ ) ()) − (¯ () (′ ))] ¯ ( ) 1 + 5 ( ) , (6.32)где () = C¯T () = () – зарядово-сопряженный свободный спинор (в соответствии с (2.51)), и ′ – 4-импульсы начального и конечного нейтрино,остальные обозначения приведены выше (см.
(6.6), (6.7)).Амплитуда (6.32) представляет собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое, пропорциональное (¯ (′ ) ()), в точности воспроизводит вкладзаряженного тока в амплитуду рассеяния дираковского нейтрино на электроне (6.7), который определяется диаграммой на рис. 6.1а. Если учесть соотношение () = C¯T () = (−), то становится ясно, что второе слагаемое173в правой части (6.32) описывает вклад заряженного тока в амплитуду рассеяния дираковского антинейтрино на электроне (см., например, [472,473]). Соответствующая диаграмма изображена на рис.
6.3а. Майорановское нейтринотождественно совпадает со своей античастицей, и поэтому может участвоватьв процессе рассеяния, «как частица» и «как античастица». Обе эти возможности учитываются одновременно в амплитуде (6.32).С учетом известного соотношения (которое следует из (А.10) и (А.11))() T ′()5′ 1 5−1 1 1+C¯()=¯()1− ()¯ () (′ ) = −T()C22(6.33)выражение (6.32) можно привести к следующему окончательному виду:√CC2 ¯ ¯ (2)4 (4) (′ − )×=−()(())× ¯ (′ ) 5 () ¯ ( ) 1 + 5 ( ) . (6.34)Рассмотрим теперь вклад нейтрального тока в процесс рассеяния МН наNCэлектроне. Соответствующая амплитуда реакции после преобразований,аналогичных проведенным в (6.31)–(6.32), принимает видNC4 (4) ′ (′ ) ()) − (¯ () (′ ))] × = √ ¯ ¯ (2) ( − ) [ (¯2([ ()])× ¯ ( ) 1 − 4 sin2 + 5 ( ) ,(6.35)где использованы те же обозначения, что и в формуле (6.32).Рис.
6.3. Диаграммы, описывающие рассеяние дираковского антинейтрино наэлектронах среды: (а) вклад заряженного тока, (б) вклад нейтрального тока.В случае рассеяния майорановского нейтрино данные диаграммы учитываютсясовместно с диаграммами на рис. 6.1.Из выражения (6.35) следует, что амплитуда, отвечающая вкладу нейтрального тока в рассеяние МН на электроне также представляет собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое, пропорциональное (¯ (′ ) ()), описывает вклад нейтрального тока в рассеяние дираковского нейтрино на электроне (рис.
6.1б) и полностью совпадает с (6.8). Второе слагаемое, пропорциональное (¯ () (′ )), отвечает вкладу нейтрального тока в рассеяние174дираковского антинейтрино на электроне [472, 473] (соответствующая диаграмма изображена на рис. 6.3б). Учитывая соотношение (6.33), приводимвыражение (6.35) к видуNC4 (4) ′ = √ ¯ ¯ (2) ( − )×2()([ ()])× ¯ (′ ) 5 () ¯ ( ) 1 − 4 sin2 + 5 ( ) , (6.36)Полная амплитуда когерентного рассеяния МН на электроне определяется суммой выражений (6.34) и (6.36), то есть√ =+= − 2 ¯ ¯ (2)4 (4) (′ − )×([ ()])()11× ¯ (′ ) 5 () ¯ ( ) + 2 sin2 + 5 ( ) . (6.37)22CCNCВ выражении (6.37) мы проведем усреднение электронного тока по статистическому распределению электронов среды полностью аналогично тому, какэто было проделано в разделе 6.2.1 для ДН. В итоге получаем окончательное выражение для эффективного лагранжиана, описывающего когерентноевзаимодействие МН со средой:)1 ( 5()¯(),ℒ=−eff2(6.38)где – 4-вектор, который в случае взаимодействия электронного нейтриносо средой, состоящей только из электронов, определяется формулой (6.14).Обобщение четырехмерного вектора на случай среды, состоящей из электронов, протонов и нейтронов (а также и на другие нейтринные ароматы)дается формулами (6.17)–(6.18).Эффективный лагранжиан ℒeff , описывающий когерентное взаимодействие МН со средой, необходимо рассмотреть совместно со лагранжианомсвободного МН (2.48).
В результате мы приходим к окончательному выражению для лагранжиана МН, взаимодействующего со средой1) :↔)1 (ℒ = ¯ ∂ −¯ − ¯ 5 .4221)(6.39)Множитель 1/2 в выражении (6.38) помогает избежать ненужного удваивания числа слагаемых, полу-чающихся при варьировании лагранжиана (6.39), поскольку в теории Майораны поля и ¯ не являютсянезависимыми ( = , см. (2.45)).175Варьирование лагранжиана (6.39) приводит нас к модифицированномууравнению Дирака для МН, взаимодействующего со средой [471]:{} ∂ − 5 − Ψ() = 0,(6.40)причем волновую функцию Ψ() здесь необходимо понимать в смысле формулы (2.52), т.
е., как матричный элемент полевого оператора МН (r, )между вакуумом ∣0⟩ и одночастичным состоянием ∣p,⟩.Уравнение (6.40) отличается от уравнения (6.16) для дираковского нейтрино удвоением потенциала взаимодействия и отсутствием в нем векторнойчасти. Поэтому, зная энергетический спектр уравнения для ДН в покоящейсянеполяризованной среде (см.
формулу (6.23)), можно сразу получить спектруравнения для МН (6.40) в аналогичном случае [460, 471]:√ ()2(6.41)+ 2 . = p2 1 − 2Данное выражение существенно отличается от (6.23), и это может приводитьк значительным различиям в поведении частиц в среде. Например, в отличиеот ДН для майорановского нейтрино не может иметь места эффект захватачастиц плотной средой (см. также [460, 461]).Заметим, что несмотря на то, что уравнения для ДН и МН (6.16) и (6.40)отличаются друг от друга, тем не менее, следующие из них выражения дляразности энергий электронного и мюонного нейтрино в среде дают одинаковые величины (см.
(6.29)–(6.30)), следовательно, будут одинаковыми и все основные параметры, характеризующие нейтринные осцилляции в среде [471].Это согласуется с известным выводом о том, что в осцилляционных экспериментах невозможно определить природу массы нейтрино.Закон дисперсии МН в среде (6.41) обсуждался ранее в работе [460], атакже в работах [474–476] (см. также [377, 477]), посвященных исследованиюразличных распадов в среде с участием майорановских нейтрино и майорона (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
