Диссертация (1097698), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Явные выражения для 4-векторов и можнополучить из формул (6.11) и (6.12) с помощью замены → , → иv → v . Множитель в (6.18) позволяет рассматривать распространениенейтрино различных ароматов: электронного ( ), мюонного ( ) и тауонного( ).6.2.2. Квантовые состояния дираковского нейтрино в средеНиже мы будем предполагать, что электронное нейтрино ( = ) распространяется в неполяризованной среде ( = 0), состоящей только из электронов ( = ). В этом случае 4-вектор (см. формулы (6.14) и (6.17))приобретает вид˜ = √ {, v} ,(6.19)2˜ = (1 + 4 sin2 ), – плотность среды (ср. с (6.11)).где В системе покоя среды модифицированное уравнение Дирака (6.16) можно переписать в гамильтоновой форме:∂Ψ(r, ) = Ĥmed Ψ(r, ),∂(6.20)причем гамильтониан ДН в среде имеет видĤmed = (p̂) + 0 + V̂med ,˜ ()V̂med = √ 1 + 5 .2 2(6.21)166Здесь p̂ – оператор импульса нейтрино, далее, как и обычно, будет использоваться дираковское представление для - и -матриц (см.
(А.6), (А.13)).Интегралами движения в данном случае являются три компоненты оператора импульса p̂ (поэтому решения представляют собой плоские волны), атакже оператор продольной поляризации (оператор спиральности) (Σp)/∣p∣,где p – импульс нейтрино. Таким образом, мы подчиняем волновую функциюдополнительному условию(Σp)Ψ(r, ) = Ψ(r, ),∣p∣(6.22)где = ±1 – спиральность нейтрино. В релятивистском пределе ( ≫ )состояния с положительной (=+1 ) и отрицательной (=−1 ) спиральностьюдолжны переходить соответственно в правое ( ) и левое ( ) киральныесостояния безмассового нейтрино.Стационарные решения уравнения (6.20) имеют видΨ(r, ) = −( −pr) (p, ),где (p, ) – не зависящий от времени и координат биспинор.
Условие существования нетривиального решения для уравнения (6.20) приводит к энергетическому спектру нейтрино, движущегося в среде [277]:√ ()2+ 2 + ,(6.23) = p2 1 − где мы ввели безразмерный параметр, характеризующий внешнюю среду1) :1 ˜ = √ .2 2(6.24)Число = ±1 в (6.23) расщепляет решения на две ветви, которые в пределеисчезающе малой плотности среды ( → 0) переходят в решения свободного уравнения Дирака с положительным и отрицательным знаком энергии(положительно- и отрицательно-частотные решения). Из закона дисперсии(6.23) следует, что уровни энергии ДН во внешней среде явно зависят оториентации спина нейтрино по отношению к направлению его импульса,1)В некоторых случаях (см., например, раздел 6.3.4) вместо параметра удобнее использовать размер-ный параметр ˜ = .167т.
е. – от спиральности нейтрино (ср. с законом дисперсии ДН в магнитномполе (3.16)). Заметим, что закон дисперсии (6.23) разрешает электромагнитное излучение ДН при спонтанных переходах нейтрино между состояниямис различной ориентацией спина (см. раздел 6.3) – это и есть спиновый светнейтрино в веществе (SL).Совместное решение уравнений (6.20) и (6.22) приводит к следующемувиду волновой функции ДН в среде:⎛⎞[()()]1/21 + −1 + ⎜⎟⎜⎟)([()]1/2⎜ ⎟−( −pr) ⎜ 1 + −1− ⎟⎜⎟,√(6.25)Ψ, p, (r, ) =)()][(1/2⎜⎟2 ⎜ 1 − ⎟1+ −⎜⎟)()]1/2[(⎝⎠1− 1 − −где энергия нейтрино описывается формулой (6.23), – нормировочный()объем, а также использованы обозначения: = sgn 1 − , tg = / .Заметим, что в пределе исчезающе малой плотности среды ( → 0) волноваяфункция (6.25) переходит в известное решение свободного уравнения Дирака(см., например, [228, 230]).Соотношение (6.23), определяет при = +1 энергетические уровни нейтрино (т.
е. частиц), а при = −1 – энергетические уровни антинейтрино(античастиц), причем уровни энергии антинейтрино получаются из (6.23),как и обычно, путем изменения общего знака энергии для случая = −1( → ¯ = −). Таким образом, при фиксированном значении импульса из выражения (6.23) мы можем получить два значения энергии в среде длянейтрино с положительной и отрицательной спиральностью ( = ±1):√ ()2+ 2 + ,(6.26) = p2 1 − а также два значения энергии для антинейтрино со спиральностью = ±1:√ ()2¯ = p2 1 − + 2 − ,(6.27)Решения модифицированного уравнения Дирака для нейтрино в среде(6.25) впервые были получены нами в работе [277], а закон дисперсии ней-168трино в среде (6.23) обсуждался и ранее (см. [458–460]).
В частности, формулы (6.26) и (6.27) воспроизводят дисперсионные соотношения, найденныев [458,459] (если опустить в (6.26), (6.27) вклад нейтральных токов), а формула (6.23) дает дисперсионное соотношение работы [460] (если в (6.23) опуститьвклад заряженных токов).Анализ формул (6.23), (6.26), (6.27), описывающих энергетический спектрнейтрино, позволяет сделать вывод о том, что нейтрино в среде должно обладать рядом весьма специфических свойств, которые можно проиллюстрировать при помощи рис. 6.2.
На данном рисунке изображены дисперсионныесоотношения в среде для правоспиральных нейтрино ( = +1), отвечающиезначениям = ±1 (рис. 6.2а), а также (для сравнения) дисперсионные соотношения для нейтрино в вакууме при → 0 (рис. 6.2б).Рис. 6.2. Дисперсионные соотношения для дираковского нейтрино в среде (а)и в вакууме (б). Сплошная линия отвечает массивному нейтрино ( ∕= 0),штриховая линия – безмассовому нейтрино ( = 0).
Использованы условные единицы: = 1, = 3.На рис. 6.2а хорошо видно, что дисперсионное соотношение в среде длябезмассовых нейтрино ( = 0) характеризуется «пересечением уровней энергии». Наличие ненулевой массы нейтрино приводит к тому, что пересеченияуровней не происходит благодаря их взаимному «отталкиванию», котороесопровождается смешиванием соответствующих квантовых состояний. В результате оказывается (см.
рис. 6.2а), что минимальное значение энергии ней-169трино в среде достигается при = , т. е. при ненулевом значении импульса (в отличие от вакуумного случая, см. рис. 6.2б). По этой причинепри 0 < < групповая скорость нейтрино гр = ∂/∂ < 0, то естьона направлена в сторону, противоположную направлению импульса (см.также [459, 460]).При больших значениях импульса ( ≫ , ≫ ) для нейтрино с положительной спиральностью ( = +1) из соотношения (6.23) можно получитьследующие приближенные значения энергии (соответственно для = ±1):()=+1, =+1+ 2 .=+1 ≃ +=−1 ≃ − +22Данный результат показывает, что дисперсионное соотношение (6.23) в релятивистском пределе обеспечивает корректный переход к гипотетическомуслучаю безмассовых нейтрино: правокиральное антинейтрино (¯ ≈ ¯=+1 )получает поправку к энергии в среде, а правое нейтрино ( ≈ =+1 ) остается стерильным (см.
рис. 6.2). Однако в случае 0 < < корректныйпереход к случаю безмассового нейтрино в выражении (6.23) не получается:правое нейтрино не остается стерильным (см. [465]). Это происходит именноиз-за того, что состояния нейтрино в среде характеризуются особенностью,о которой говорилось выше: при 0 < < групповая скорость нейтринонаправлена против его импульса.Когерентное взаимодействие нейтрино со средой обычно является весьмаслабым. В частности, в рассматриваемом здесь случае среды, состоящей изэлектронов, имеем() = 6,1 ⋅эВ,1038 см−3поэтому (при разумных физических предположениях1) ) импульсы нейтрино,ограниченные условием 0 < < , также являются очень малыми. Тем неменее, корректный предельный переход к безмассовому нейтрино можно восстановить и в этом случае, если определить спиральность нейтрино способом,отличным от нашего.В самом деле, мы определяем спиральность нейтрино, как собственноезначение оператора продольной поляризации (Σp)/∣p∣, т.
е. проекции спина1)0 = 1,6 ⋅ 1038 см−3 = 0,16 фм−3 – так называемая нормальная ядерная плотность – плотностьнуклонов, характерная для внутренней области нейтронной звезды [247, 466], см. также раздел 6.3.4.170на направление импульса (см. (6.22)). Точно таким же образом спиральностьнейтрино определяется и в работах [458–460].
Можно, однако, определяя спиральность, спроектировать спин нейтрино не на направление импульса, ана направление так называемого кинетического импульса нейтрино, пропорционального групповой скорости (такой подход последовательно проводитсяв [278,420]). При таком определении значение спиральности нейтрино (в рассматриваемом выше случае 0 < < ) оказывается противоположнымнашему, и корректный переход к безмассовому нейтрино восстанавливается.Заметим, что оба способа определения спиральности дают одинаковые результаты при расчете вероятности и мощности спинового света нейтрино всреде (см. раздел 6.3.1 и [278, 420]), и поэтому выбор одного из них для конкретных расчетов является, скорее, вопросом личных предпочтений авторов.Кратко опишем другие примечательные особенности поведения нейтрино в среде, которые следуют из анализа дисперсионных соотношений (6.23),(6.26) и (6.27).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
