Диссертация (1097698), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Разработке квантовой теории данного явленияпосвящена глава 6 настоящей диссертации.Как указывалось в обзоре [240], для проведения корректного анализа физических явлений, происходящих в различных астрофизических условиях,принципиальное значение приобретает необходимость одновременного учетавлияния внешнего поля [231, 233, 290] и конечной плотности среды. Такойподход был предпринят нами в работе [397], однако в данной работе былвычислен только плазменный вклад в вероятность радиационного распаданейтрино во внешнем поле.
Одновременный учет влияния интенсивного магнитного поля и внешней среды на вероятность процесса → + (тормозноеизлучение нейтрино в среде) производился в работе [398] в случае высокихэнергий начальных нейтрино 0 > 2 . Основной вывод, сделанный авторамиэтой работы состоял в том, что присутствие плотной среды уменьшает вероятность процесса по сравнению с вероятностью распада в магнитном поле.Заметим, что наши результаты [399, 400] (см. раздел 5.3.3) указывают на то,что в области умеренных энергий нейтрино (0 < 2 ) реализуется обратная138ситуация: наличие среды (вырожденного электронного газа) существенноувеличивает вероятность распада нейтрино в магнитном поле.В данном разделе диссертации мы проводим вычисление вероятности радиационного распада массивного дираковского нейтрино в замагниченномэлектрон-позитронном газе, используя теорию радиационных эффектов в горячей и плотной среде в присутствии внешнего калибровочного поля [399,400].
В дальнейшем будем предполагать, что электрон-позитронный газ полностью вырожден, и напряженность внешнего магнитного поля удовлетворяет условию2 > 2 − 2 ,(5.6)где – химический потенциал электронного газа. При этом электроны среды занимают только основной уровень Ландау с главным квантовым числом = 0.
Условие (5.6) эквивалентно следующему ограничению на плотностьэлектронов:√( )3/2( )3/22 3 30≃ 2,4 ⋅ 10см−3 .(5.7) < 2 00()Отсюда следует, что для полей с напряженностью ∼ 10−6 −102 0 электроны заполняют только основной уровень, если их плотность удовлетворяет)(условию < 1020 −1031 см−3 .Как отмечалось выше, условия (5.6)–(5.7) являются, с одной стороны,вполне реальными при наблюдении физических процессов в компактныхзвездных образованиях, таких как нейтронные звезды, а с другой стороны,требуют одновременного учета влияния внешнего поля, конечной температуры и плотности среды на распространение фотонов и электронов.5.2.
Вероятность радиационного распада нейтриноВ однопетлевом приближении Стандартной модели Вайнберга–Салама–Глэшоу со смешиванием лептонов при условиях ( / )2 ≪ 1, справедливых для всех известных на сегодня заряженных лептонов ( = , , ), главный вклад в амплитуду процесса → + будет давать диаграмма свиртуальным -бозоном. Полагая выполненными условия ≪ , ≪ 0 ( / )2 = ≃ 1,1 × 1024 Гс,(5.8)139мы можем пренебречь температурной частью временной функции Грина бозона и значительно упростить причинную функцию Грина -бозона (2.5),оставив в ней зависимость от внешнего поля только в трансляционно-неинвариантном множителе (см.
также [230]). Тогда в контактном приближениивыражение для матричного элемента процесса распада тяжелого нейтриноможно представить в виде∫4 ∑ ∗ 4 4 ′ () × = − √2 =,,[]× Tr (, ′ ) (′ ) (′ , ) () , (5.9)()где = 1 + 5 /2, (, ′ ) – временнáя функция Грина идеального лептонантилептонного газа, позволяющая точно учесть влияние среды и внешнего поля на вероятность рассматриваемого процесса, – константа Ферми, (), () – волновые функции начального и конечного нейтрино с массами и , – унитарная матрица смешивания лептонов.Мы будем использовать в наших расчетах следующее представление длявременнóй функции Грина электрона [240, 269] (см. (1.59), а также [270]): (, , ) = (, = = 0) + (, , ) ,(5.10)где первое слагаемое определяет обычную причинную функцию Грина (пропагатор) электрона в постоянном магнитном поле1 (, = = 0) = −2∫+∞∑ () (r) () (r′ )′ exp [ ( − )], (5.11) + (1 − ), =±1−∞а второе слагаемое представляет собой температурную часть временнóй функции Грина:() (, , ) = ∑, =±1() (r) (r′ )exp [− ( − ′ )] ,exp [ ( − )] + 1(5.12)где = −1 – обратная температура, – химический потенциал.Таким образом, временная функция Грина (5.10) является суммой фейнмановского пропагатора при нулевой температуре и плотности среды и чисто температурной части (, , ).
Суммирование в (5.10)–(5.12) проводится по всем квантовым числам {} положительно-частотных ( = +1) и140()отрицательно-частотных ( = −1) состояний, (r) – координатная частьрешения уравнения Дирака для электрона в постоянном магнитном полеH = {0, 0, }, а уровни энергии электрона в постоянном однородном магнитном поле определяются формулой [228] (см. также (1.50)) =√2 + 2 + 2 ,(5.13)где = 0, 1, 2, ... – главное квантовое число, (−∞ < < +∞) – проекцияимпульса электрона на направление магнитного поля.В результате, из формул (5.9)–(5.12) для амплитуды распада мы получаемследующее представление:(1)(2) = + ,(1)(5.14)(2)где – чисто полевой вклад в амплитуду процесса (рис.
5.1а), а – вкладв амплитуду распада за счет эффектов конечной температуры и плотностисреды, учитывающий когерентное рассеяние нейтрино на электронах среды собразованием фотонов (рис. 5.1б и 5.1в), крестики на концах электронных линий означают, что частицы принадлежат среде). Заметим, что полевая частьвероятности процесса → + исследовалась в работах [353, 384–388].Рис. 5.1.
Диаграммы, описывающие влияние замагниченногоэлектрон-позитронного газа на радиационный распад нейтриноВ сумме в выражении (5.9) мы будем учитывать только вклад электронов, поскольку, с одной стороны, исследуемая нами среда представляет собойэлектронный газ и не содержит мюонов и -лептонов, а с другой стороны,вследствие известного соотношения между массами заряженных лептонов ≪ ≪ [7] электронный вклад является определяющим и в чистополевой амплитуде (см. также [386]).141Имея в виду возможные приложения к физике нейтронных звезд, будемпредполагать выполненными следующие условия (см.
выше): ≪ = ( = 0) , 2 > 2 − 2 ,(5.15) ≫ 0 =2 /.(5.16)Условия (5.15)–(5.16) физически соответствуют ситуации, когда электронамисреды заполнен только основной уровень с главным квантовым числом ′ = 0,а основной вклад в вероятность процесса дают их переходы в промежуточныесостояния также с нулевым главным квантовым числом (см.
раздел 1.3.1).В рассматриваемом приближении мы получаем следующие выражениядля вкладов в амплитуду распада:{∫ (1) 22 (0 + 0(1) )(1)(1) 1 = − 3−4 0 (1) (0 + (1) )2 − 200[]}(1)(1)(1)(1) (2) (0 + 3 )(0 − 3 ) (0 − 3 )(0 + 3 ) +, (5.17)−(1)(1)(1)(1)0 00 + 0 + 0 + 0 − 3 = −33(2) = ∫∑′3 ( − 0′ ) ×=±1, =±1{×}−, (5.18) − 0′ + 0 3 =′3 −3 + 0′ − 0 3 =′3 +3где введены следующие обозначения:)(22()(2)∗ = √ ( ) exp − ⊥ ( − ′ − ) [ ( ′ ) ()] (),′20 0 0()() = (1) 22 − 42 22 − 42 + (2) (2 − 4 )2 (2 − 4 )2 , (1) = ( 0 + 3 )( 0 − 3 ), (2) = ( 0 − 3 )( 0 − 3 ),√√(1)(1) 20 = 2 + 23 , 0 = 2 + 3 ,0′√= 2 + ′23.(5.19)(1)В формулах (5.17)–(5.19) приняты также обозначения: 0 и 0 – энергииэлектрона в промежуточных состояниях, 0′ – энергия электрона среды; =142= ( ′ ) () – нейтринный ток, причем ( ′ ) – дираковски-сопряженный()биспинор конечного нейтрино с импульсом ′ ′2 = 2 , () – биспинор на()чального нейтрино с импульсом 2 = 2 ; = − ′ – импульс излученногофотона, а () – 4-вектор поляризации излученного фотона.Спиновые коэффициенты 2,4 и 2,4 в решении уравнения Дирака для промежуточных состояний и электронов среды (5.19) определяются из условия,чтобы волновая функция была собственной функцией оператора поляризации спина – интеграла движения.
В качестве такого оператора мы выбираеминвариантный спиновый оператор (см. (Б.8))= ˜ Ŝ ,2где ˜ = (1/2) – тензор, дуальный тензору внешнего электромагнитного поля (см. (А.4)), – 4-векторный оператор поляризации спина(Б.1), = ∂/∂ − , = (0, 0, , 0) – 4-потенциал внешнего магнитного поля.В результате для спиновых коэффициентов 2,4 находим следующие значения:()1/2 {()1/2)1/2 }(331+, (5.20)2,4 = ∓ √ 1 − ∓ 1 − ⊥2 22где ⊥= 2 − 23 , а – уровни энергии электрона в магнитном поле, определяемые формулой (5.13). Выражения для спиновых коэффициентов 2,4получаются из (5.20) при помощи замены 3 → ′3 , → ′ , → ′ , → ′ .Случай = 1 в выражении (5.20) соответствует ориентации спина электронапо направлению, а = −1 – против направления магнитного поля.
Для электронов среды при выполнении условия (5.6) спин может быть ориентированлишь против направления магнитного поля ( ′ = −1).В дальнейшем мы рассмотрим область умеренных значений энергии распадающегося нейтрино и ограничимся исследованием предельного случая0 ≪ 2 ,(5.21)допускающего аналитическое рассмотрение (0 – энергия начального нейтрино).
Для матричного элемента распада (5.17)–(5.18) при условии (5.21) полу-143чаем выражение [399, 400]((1) )(2)( ) =( (1)1 + (2)2 ),2(5.22)где использованы следующие обозначения:1 = (1 − cos2 ),2 = −(1 + cos )2 ;()2 = (0) + (1) ,()2v 1 − cos2 1 0v, (1) =3×221 − v cos 12 (1 − v2 cos2 )[()()]× 1 − cos2 2v4 − v2 −2 + 6v2 −2 + 3−4 ; (0) =1=6(0)2; =,pv ==√1 − −2 −(5.23)скорость электронов среды на поверхности Ферми. Остальные обозначенияв (5.22) аналогичны принятым в формулах (5.17)–(5.19).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
