Диссертация (1097698), страница 21
Текст из файла (страница 21)
3.1), поэтому в плоскости = 0 должно выполняться для всех значений и следующее условие: + ′′ = ′ ,(3.32)где – падающая, ′ – прошедшая, ′′ – отраженная волны. Из соотношения (3.32) следует, что импульсы p, p′′ и p′ должны иметь равные проекциина оси и : cos = ′′ cos ′′ = ′ cos ′ ,(3.33) sin sin = −′′ sin ′′ sin ′′ = ′ sin ′ sin ′ .(3.34)Выше мы ввели сферическую систему координат: – угол между импульсомнейтрино и направлением поля H, tg = / , см.
формулу (3.7). Можноудовлетворить условиям (3.33) и (3.34), выбрав ′′ = , ′′ = − . Выполнение данных соотношений означает, что все три импульса лежат в однойплоскости, в качестве которой удобно выбрать плоскость = 0, в этом случае106будет выполняться: ′′ = , = ′ = 0. Условие (3.34) дает закон преломления Снеллиуса, с учетом (3.17) находим показатель преломления:( ′ )2 ()222cos 22 2⊥ + =.(3.35)=≃ 1 + 2 cos ′2Далее необходимо применить граничное условие (3.32) при = 0 с учетомвозможности различной поляризации пучка МН. При этом функции , ′ и ′′ выбираем в виде = + 0 (+1) + − 0 (−1), ′ = + ′ (+1) + − ′ (−1), ′′ = + 0 (+1, = ) + − (−1, = ),(3.36)где первые части спиноров, пропорциональные постоянным + , + и + , характеризуют состояния МН со спиральностью ∥ = +1 (3.14) (или = +1(3.7)), а части, пропорциональные − , − и − , – состояния со спиральностью ∥ = −1 (или = −1).Плотность потока энергии МН j (2.74) при нашем выборе системы координат ( = 0) имеет ненулевые - и -компоненты.
Коэффициенты отражения и прохождения определяются обычным образом:пад = ∣отр ∣/∣ ∣;пад = ∣прош ∣/∣ ∣.(3.37)Подставив явный вид функций (3.7), (3.14) в (3.36) и в (2.74), получаем⊥1(∗+ + + ∗− − ) ;21⊥′′+′′отр(+∗ + + −∗ − ) ; = 1 = −21⊥прош= ′+ 1 ′ =(+∗ + + −∗ − ) ′ .2Находя из граничного условия (3.32), (3.36) связь между + , − и + , − ,отрпроша также между + , − и + , − , определяя затем пади под , и √ставляя их в (3.37), получаем для случая ≫ 2 / (или, что то же√самое, 2 ≪ ⊥ ≪ ) следующие выражения для коэффициентовотражения и прохождения [280, 309, 324] (см. рис 3.2):)22 ()1 (1 )2 ( 2()1⊥ ≃; + 2 ctg2 =4 24⊥( )2(1 )2 ⊥ ≃ 1 −; + = 1.(3.38)4⊥+пад = 1 =107Из формулы (3.38) следует уравнение непрерывности для -компоненты вектора плотности потока энергии j .Рис.
3.2. Зависимость коэффициента отражения от угла падения для майорановского нейтрино (/ ≃ 10−4 ). (1): / ≃ 10−1 ( ≃ 2 ⋅ 10−4 ),(2): / ≃ 10−2 ( ≃ 2 ⋅ 10−3 ), (3): / ≃ 10−3 ( ≃ 2 ⋅ 10−2 )Заметим, что среднее значение оператора спиральности (Σp) / (или обобщенной спиральности Ŝ) в состоянии, описываемом функцией (или ′ )(см.
(3.36)) определяются выражениями〈〉〈 〉 ∣ ∣2 − ∣ ∣2(Σp)∣+ ∣2 − ∣− ∣2+−=≡ ℎ;Ŝ =≡ ℎ′ .2222∣+ ∣ + ∣− ∣∣+ ∣ + ∣− ∣Используя связь между + , − и + , − , выразим продольную поляризацию прошедшей волны ℎ′ через продольную поляризацию падающей волныℎ [309]:{})22 (√()1′22ℎ =ℎ 1−cos ctg − 1 − ℎ2 1 cos ctg . (3.39)2Анализируя выражение (3.39), замечаем, что если ℎ = ±1 (падающий пучок нейтрино полностью продольно поляризован), то магнитное поле можетчастично деполяризовать пучок МН. Этот эффект, как и коэффициент отражения , пропорционален ∼ (1 )2 . С другой стороны, если исходный пучокМН полностью неполяризован (ℎ = 0), то наличие перехода «вакуум–поле»108может частично поляризовать пучок (данный эффект – линейный по 1 ).Отметим, что в случае нормального падения пучка на поверхность раздела будет = /2, и поэтому оба эффекта исчезают.
Оба эффекта исчезаюттакже и в случае безмассового нейтрино.Случай «скользящего» падения пучка МН на поверхность раздела «ваку√ум–поле» требует особого рассмотрения. Для малых углов ≪ 2 /√(или ⊥ ≪ 2 ) находим{ ≃ 1 − 4,.(3.40)где = √2 / ≃ 4,Мы видим, что при ≪ 1 соотношение между и изменяется по сравнению с (3.38), теперь нейтрино практически не проходят в область, занятуюполем [280,309,324] (см. рис. 3.2). Соотношение → 1 при скользящем падении нейтринного пучка напоминает аналогичное соотношение при отраженииэлектромагнитных волн.3.5.2.
Рассеяние дираковского нейтринои сравнение результатовИнтересно сравнить полученные нами результаты для рассеяния МН ссоответствующими результатами для ДН.Расчет в случае ДН проведем по той же схеме,что и для МН, но в качестве волновой функцииДН в области I (т. е. в вакууме, см. рис. 3.3) выберем функцию 0 () (3.15) (собственное состояние оператора ˆ3 (Б.5) с собственным значением = ±1), а в области II (т. е.
в магнитном полеH = {0, 0, } – функцию Ψ () = ′ () (3.12),которая переходит в функцию (3.15) при выключении поля.Рис. 3.3. Прохождениедираковского нейтрино вКонфигурация поля выбирается такая же,область, занятую полемкак и для МН (см. рис. 3.3), и ставится граничное условие (3.32).
Тогда мы получим для законовпреломления и отражения выражения, аналогичные условиям (3.33) и (3.34),109но с учетом соотношения (3.16) коэффициент преломления для ДН будетиметь следующий вид :( ′ )2 ()2cos ⊥2 ==.(3.41)≃1+1cos ′2Отсюда следует, что, в отличие от МН, пучок ДН, падающий на поверхностьраздела «вакуум–поле», разделяется на два пучка соответственно двум возможным значениям ориентации спина в магнитном поле ( = ±1 соответствует ориентации спина вдоль или против поля). Таким образом, в данномслучае, как и в оптике кристаллов, имеет место двойное лучепреломление. Из√закона преломления (3.41) следует, что в пределе малых углов ∼ 1 /нейтрино, имеющие отрицательную поперечную поляризацию ( = −1) будут испытывать «полное внутреннее отражение», и в область, занятую полем,будут проходить лишь нейтрино с = 1.Вычисления, которые можно провести по аналогии со случаем МН, даютследующие значения для коэффициента отражения:])2 [( )2( )√2 (√⊥⊥(1 ) ⊥ ≃1+1 − 2 , ≫ 1 , (3.42)−216⊥⊥⊥ ≃ 1 − 2 [1 + ] , = √≪ 1,1 /(3.43)причем здесь = ⟨ˆ3 ⟩ , т.
е. среднее значение оператора магнитной поляризации ˆ3 по начальному состоянию ДН, которому соответствует волноваяфункция . Из формулы (3.43) ясно, что в случае отрицательной полнойпоперечной поляризации исходного пучка ( = −1) данное выражение описывает при ≪ 1 явление полного внутреннего отражения ДН с = −1.Сопоставим два случая рассеяния в неоднородном магнитном поле: ДН иМН. Найдем угол отклонения импульса рассеянного нейтрино (угол рассеяния). Полагая, что угол рассеяния мал, т.
е. ≃ ′ − , / ≪ 1, получаем√√в случае больших углов ( ≫ 2 / для МН и ≫ 1 / дляДН) [309]2 2 22⊥ + 21 ⊥≃ctg,≃ctg ;2222 2 2⊥8 ⊥≃≃lnΛ. 1 9 (3.44)110Далее найдем угол отклонения нейтрино для случая касательного паденияна поверхность раздела «вакуум–поле»:√√ ≃ 2 /, ≃ 1 / 1 ;(3.45) ()1/2 ()1/2 42ln Λ≃. ≃19 В обоих предельных случаях (3.44) и (3.45) видно, что МН, как правило,рассеивается на существенно меньший угол, нежели ДН, причем особенно этозаметно в нерелятивистском пределе ( ≪ ). В случае же → 0 оба типанейтрино рассеиваются одинаково ( ∼ 2 2 ).Для сопоставления результата (3.42) с (3.38) необходимо прежде всего перейти в формуле (3.42) к продольной поляризации, т. е. перейти от базисафункций 0 () (3.15) к базису 0 (∥ ) (3.14) – собственным функциям оператора спиральности (Σp) /.
Осуществляя данный переход, приведем (3.42) квиду [280]( )2 {( )2[]}√⊥ √(1 )2 ⊥1+−2 ℎ +1 − ℎ2 , ≫ 1 , ≃16⊥⊥ ⊥где ℎ – среднее значение спиральности исходного пучка ДН (см. формулу(3.39)). Далее в полученной формуле перейдем к пределу безмассового нейтрино → 0, поскольку безмассовые нейтрино характеризуются определенной спиральностью [10,11], при этом средняя спиральность пучка ℎ перейдетв ∥ – спиральность безмассового нейтрино. В итоге мы получим(1 )2(1 )2( , = 0) = (1 − ∥ ), ( , = 0) = (1 + ∥ ); (3.46)88(1 )2(1 )2(1 )2≡ (1 − ∥ )+ (1 + ∥ ).(3.47)( , = 0) =488Таким образом, мы показали, что в безмассовом пределе коэффициенты отражения равны для левого (∥ = −1) МН и ДН, а также для правого МН(∥ = 1) и дираковского антинейтрино. Тем самым, мы приходим к выводу отом, что в данном процессе рассеяния во внешнем поле (в безмассовом пределе) невозможно различить и , а также и .
Заметим, что этосогласуется с общей теоремой об эквивалентности безмассовых спиральныхДН и МН [28, 72–74].1113.6. Отклонение нейтрино слабонеоднороднымвнешним полем3.6.1. Движение массивных нейтрино в слабонеоднородноммагнитном поле в квазиклассическом приближенииПереходя к квазиклассическому приближению (см., например, [287]), рассмотрим движение МН, описываемое функцией Гамильтона [309, 324]√ℋ = [p2 + 2 (1 + 2 H2 )] (1 − 22 H2 ) + 22 (Hp)2 ,(3.48)где H = H(r) – медленно меняющаяся функция координат (см. (3.17)). Вотличие от случая, рассмотренного в разделе 3.5, здесь мы предположим, чтополе H плавно нарастает от нуля до значения H = {0, 0, }, где = const.Закон изменения поля H(r) может быть, например, таким: () = / при0 < < и () = при ⩾ , но в рамках рассматриваемого здесь подходаконкретный вид функции () на промежутке 0 < < не имеет значения.Тогда, решая классические уравнения Гамильтона, используя (3.48), находим следующее выражение для угла отклонения скорости (а не импульса!)пучка МН = ′ − при ≪ :⎧][22√+/2sin 2, ≫ 2 () ;⎨ −22 H2 () 1 − ⊥ 2 2⊥(3.49) =√√⎩2 , ≪ 2 () .Мы видим, что результат (3.49) согласуется с (3.44), (3.45) – расхожденияв них связаны с отличием канонических импульсов от соответствующихскоростей = ∂ℋ/∂ (см.
[309]).Аналогичные вычисления можно провести и для ДН. В результате будемиметь:⎧[]22√()+11 − ⊥ 2 sin 2, ≫ 1 () ;⎨ −4 ⊥⊥ =(3.50)√√⎩1 () 1, ≪ 1 () .По поводу сопоставления углов отклонения скоростей ДН и МН (3.49), (3.50)справедливы те же замечания, которые были сделаны при сравнении углов112отклонения импульсов (3.44) и (3.45). Заметим, что направление отклоненияскорости ДН зависит от = ±1, а при фиксированном значении – не меняется для любого соотношения между ⊥ и .
В отличие от этого МН можетотклоняться в разные стороны в зависимости от отношения /⊥ , см. (3.49).Наряду с рассмотренными выше конфигурациями магнитного поля определенный физический интерес представляет так называемое азимутальноеполе, т. е. магнитное поле вида H = e () ( – радиальная координата),где, в частности, может быть() = = const,или(3.51)() = / ( = const),(3.52)см., например, [342]. Азимутальное магнитное поле часто обсуждается в астрофизике (см., например, [343, 344]), при этом предполагается, что подобнаяконфигурация поля может быть хорошей аппроксимацией реальных полей,существующих вблизи некоторых астрофизических объектов. В частности,например, полевая конфигурация (3.52) использовалась в работах [345, 346]для приближенного описания магнитного поля вблизи двойной рентгеновскойзвездной системы Cygnus X-3, которая предположительно является также источником нейтрино высоких энергий1) [348].Исследуем динамику массивных нейтрино в полях типа (3.51), (3.52).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
