Диссертация (1097698), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если при варьированиисчитать независимой переменной не , а , то мы получим уравнение для ,из которого будет следовать уравнение для (с учетом определения (2.44)).Мы увидим, что и удовлетворяют одному и тому же уравнению. Так идолжно быть, поскольку = – поле МН.
К исследованию C- и P-свойствуравнений (2.34) и (2.64) и их решений мы еще вернемся в главе 3.Пользуясь обычной методикой [228, 288, 292], найдем тензор энергии-импульса = − {∂ − ∂ } ,(2.69)4а также канонический импульс поля∫∫0 3(2.70) = =3 0 ∂ .2Электромагнитный ток МН во внешнем поле равен1 = .2(2.71)90Используя самосопряженность , можно показать, что = 0, и это являетсяодним из характерных свойств МН, см., например, [310, 311, 319].Поскольку ток МН равен нулю, то в качестве физической величины, характеризующей пучок МН, выберем не плотность тока, а плотность потокаэнергии 0 .Но сначала, как было указано в разделе 2.3.1, необходимо провести вторичное квантование теории.
При этом в формуле (2.66) разложения поплоским волнам величины +p и p становятся операторами рождения иуничтожения МН в состоянии (p, ). Напомним, что функции (p), играющие роль биспинорных амплитуд в разложении (2.66), являются решениямиуравнения (2.64)–(2.65), описывающего движение МН во внешнем поле.Подставляя операторное разложение (2.66) в (2.70) и учитывая, что припереходе к операторной форме в (2.69)–(2.71) подразумевается нормальноепроизведение операторов, вычислим среднее от оператора ˆ по одночастичному состоянию:1(p) 0 (p) .(2.72)⟨p∣ˆ ∣p⟩ =2Учитывая, что при = 0 должно выполняться условие ⟨p∣ˆ0 ∣p⟩ = , получаем условие нормировки биспинорных амплитуд:(p) 0 (p) = 2 .(2.73)Используя соотношения (2.71) и (2.66), можно показать, что ток МН равеннулю и во вторично-квантованной теории.
Выражение для плотности потокаэнергии имеет вид [309]1 = ⟨p∣ ∣p⟩ =(p) (p) =,2 0 0(2.74)где{[]}0 = 1 + (22 − 12 ) H2 + (H [E × p])/ .Таким образом, из соотношения (2.74) видно, что направление потокаэнергии МН в присутствии внешнего поля, вообще говоря, не совпадает снаправлением его импульса . (В отсутствие внешнего поля = , и,следовательно, = / .) Плотность потока энергии – сохраняющаяся величина, учитывая (2.64), легко получить, что ∂ 0 = 0. Итак, в основу вычисления плотности потока энергии МН мы положим формулу (2.74) (см.
[309]).Глава 3Движение и излучение массивныхнейтрино во внешнем поле3.1. Волновые функции массивных нейтринов магнитном полеБудем рассматривать движение массивных нейтрино во внешнем поле,используя уравнение (2.34) для ДН и уравнение (2.64) для МН. Пусть однородное магнитное поле H направлено вдоль оси . Тогда уравнения дляволновых функций ДН и МН во внешнем магнитном поле принимают вид[126, 309, 324]Ĥ(p) = (p);Ĥ = Ĥ0 + V̂;Ĥ0 = (p) + 0 .(3.1)1ˆ3 ;(3.2)V̂ = − (1 + 5 ) 0 2V̂ = −1 5 0 ˆ3 − 2 2 0 Σ3 ˆ3 .(3.3)В формуле (3.1) (p) обозначает волновую функцию ДН либо МН в зависимости от того, какой гамильтониан используется: (3.2) или (3.3).
Ĥ0 – свободный гамильтониан Дирака, H = {0, 0, } – напряженность магнитного поля,коэффициенты 1 и 2 определены в (2.62), (2.63).ˆ3 = 0 Σ3 + 0 5 – -компонента известного оператора магнитной поляризации (Б.5) [228,291].Итак, нам необходимо найти решение уравнения (3.1). Учитывая приближенный характер уравнений (3.1)–(3.3) (они справедливы в случае слабыхполей, см.
разд. 2.2.4 и 2.3.4), в решениях не имеет смысла оставлять члены,содержащие более высокие степени , чем в исходных уравнениях. Для наших дальнейших целей достаточно найти решения в линейном приближениипо напряженности поля .923.1.1. Волновая функция майорановского нейтриноОбратимся вначале к уравнению для МН, т. е. (3.1), (3.3).
Записав данноеуравнение по компонентам, замечаем, что ему можно придать вид свободногоуравнения Дирака, если ввести следующие формальные обозначения: → ′ = (1 + 1 / ) , → ′ = (1 + 1 /) .(3.4)С учетом этих обозначений уравнение (3.1), (3.3) будет иметь видĤ0 (′ )(p) = ′ (p).В качестве оператора, определяющего состояние поляризации спина МН, используем «обобщенный» оператор продольной поляризации («обобщенный»оператор спиральности) Ŝ :Ŝ = [(Σp)⊥ + Σ3 ′ ] /′ ,где22(′ ) = 2⊥ + (′ ) .(3.5)При → 0 оператор Ŝ перейдет в обычный оператор спиральности (Σp) / ∣p∣,который является интегралом движения для свободного нейтрино (см. (Б.2)).Итак, мы подчиняем волновую функцию двум условиям:Ĥ0 (′ )(p) = ′ (p),Ŝ(p) = (p).(3.6)В уравнениях (3.6) использованы обозначения: – знак энергии нейтрино, = ±1 – собственные значения оператора Ŝ (в отсутствие поля они переходят спиральности ∥ = ±1 свободного нейтрино).
Оператор Ŝ коммутирует сĤ0 (′ ), поэтому «обобщенная» спиральность – интеграл движения. Решениеимеет вид⎛ [⎞()]1/2()′1 + ′ 1 + ′⎜⎟⎜ [(⎟()]1/2)′⎜ ⎟−(−pr) ⎜ 1 + ′1 − ′ ⎟⎜ [⎟,√Ψ () =(3.7)()]1/2()⎜⎟′2 ⎜ 1 − ′ 1 + ′⎟⎜⎟()]1/2⎝ [(⎠)′ 1 − ′1 − ′причем tg = / . Выделив в (3.7) в явном виде члены, линейные по 1 ,получим в точности волновую функцию, введенную нами в работах [309,324],см. также [296].93Найдем теперь функцию античастицы. По формальному определению,следующему из (2.44), (см. также [292])Ψ = C 0 Ψ∗ (−, −p, ) .(3.8)()В результате получаем, что функция Ψ , определенная по правилу (3.8),в точности совпадает с Ψ .
Таким образом, частица действительно тождественна своей античастице, и в частности, анапольный момент у частицы иантичастицы направлен одинаково.В связи с этим обсудим более подробно поведение уравнения (2.64) (или(3.1), (3.3)) и его решений при C- и P-преобразованиях. Как известно, уравнение Дирака для электрона во внешнем электромагнитном поле (1.44) является по отдельности C- и P-инвариантным [228, 288, 292]:{ (∂ − ) − } эл () = 0.(3.9)Напомним, что при C-сопряжении предполагается не только преобразованиеволновой функции по правилу (2.44) или (3.8), но и преобразование 4-потенциала поля: → = − . Уравнение (3.9) инвариантно относительнотакого преобразования.
Но уравнение для МН (2.65) не инвариантно относительно C-преобразования: уравнение для функции получается таким же,как и для , а замена → − нарушает инвариантность уравнения. Оказывается, однако, что уравнение (2.65) для МН инвариантно относительнокомбинированной CP-инверсии (т. е. операцию зарядового сопряжения необходимо дополнить обычной пространственной инверсией, см. [296]). Заметим,что CP-инвариантным является также и уравнение Вейля–Ли–Янга для безмассового нейтрино, см. (1.4) [11, 12].3.1.2. Волновая функция дираковского нейтриноПерейдем теперь к решению уравнения (3.1), (3.2) для ДН.
Введем обозначения, аналогичные (3.4), но с заменой 1 → 1 /2, учитывая, что анапольныймомент ДН в два раза меньше, чем у МН. Тогда уравнение примет следующий вид:}{10′′′ˆ3 ( , ) (p) = ′ (p),(3.10)Ĥ0 ( ) − 1 294причем второе слагаемое в (3.10) описывает взаимодействие АММ ДН с магнитным полем. В качестве оператора, определяющего состояние поляризации спина ДН, выберем «обобщенный» оператор магнитной поляризации1)ˆ3 (′ , ′ ), см.
(Б.5)), коммутирующий с гамильтонианом уравнения (3.10) слинейной точностью по :{}ˆ3 (′ , ′ ) (p) = 0 Σ′ + 0 5 ′ (p) = ⊥ (p),(3.11)где 2⊥ = ′2 − ′2 , а квантовое число = ±1 соответствует ориентации спина нейтрино вдоль или против направления магнитного поля H. Отметим,что оператор спиральности (продольной поляризации) в данном случае некоммутирует с гамильтонианом и, следовательно, не является интеграломдвижения.Совместное решение уравнений (3.10) и (3.11) приводит к следующей волновой функции ДН:⎛ () [()) ] ⎞(1 − f + ⊥1/2′1 + ′1/2′+ 1 − ′1/2⎜⎟⎜] ⎟[(⎜ (⎟)())1/2′ 1/2′ 1/2⎜ ⎟⎜⎟−1−−1+f−1+′′⊥⎟−(−pr) ⎜⎜⎟,[]√Ψ () =()1/2 ()1/2)1/2(⎜⎟′′2 2 ⎜⎟1 − f + ⊥1 + ′− 1 − ′⎜⎟⎜⎟[(] ⎟⎜ ())()1/21/21/2⎝′′ ⎠ 1 + f − 1++1−′′⊥(3.12)где f = 1 /2.
Если в (3.12) выделить в явном виде члены, линейные по f, тополучится в точности решение, использованное нами в работах [309, 324].Построим функцию антинейтрино, используя соотношения (2.44) и (3.8),учитывая (3.11):∗Ψ = C 0 Ψ (−, −p, −) .(3.13)Функция, построенная по правилу (3.13), отличается от (3.12) только знакомперед f, и это означает, что у антинейтрино АММ направлен в сторону, противоположную по сравнению с нейтрино. Таким образом, нейтрино и антинейтрино (в случае ДН) отличаются знаком АММ, в то время как анапольный1)Оператор (Б.5) также называют оператором поперечной поляризации.95момент у частицы и античастицы направлен одинаково.
Поэтому уравнение(2.34), как и (2.64), не является C-инвариантным.Заметим, что спиновые коэффициенты в функциях (3.7) и (3.12) для свободного случая ( = 0) известны и использовались в ряде работ, см., например, [126, 228, 230, 291]. Мы тоже будем использовать функции (3.7) и (3.12)при = 0, и будем обозначать их следующим образом:Ψ ( = 0) ≡ 0 (∥ ),(3.14)Ψ ( = 0) ≡ 0 ().(3.15)3.2. Спектр энергии массивных нейтрино в однородноммагнитном полеПрименим к уравнениям (3.1)–(3.3) обычную теорию возмущений квантовой механики (см., например, [326]). В качестве функций нулевого приближения выберем функции 0 () (3.15). Эти функции удовлетворяют невозмущенному уравнению Дирака (3.1) и являются собственными для спиновогооператора ˆ3 (Б.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
