Диссертация (1097698), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Однако полевые поправки к АММ нейтрино в статье [285] содержат слагаемые, пропорциональныепсевдоскаляру (vH), где v – трехмерная скорость нейтрино. На наш взгляд, наличие таких слагаемыхявляется ошибочным, поскольку при этом нарушается CP-инвариантность Стандартной модели.73раздел 2.3.4). Однако при записи ℕ(2) в [280] мы опускали слагаемое 3/4,считая его малым по сравнению с ln Λ ≃ 24. В дальнейшем величина ℕ(2)рассчитывалась неоднократно в разных работах (например, [281, 282, 300]).С учетом соотношения = ˜ ˜ − /2(2.33)можно привести выражение (2.29) к виду, содержащему вместо инвариант ˜ ˜ (массовый оператор в таком виде рассматривался вработах [284,300,301]).
Значения коэффициентов при соответствующих лоренцинвариантных структурах, полученные нами при таком переходе, совпадают(в надлежащих пределах) с результатами этих работ.Далее мы оставим в (2.29) только члены, линейные по внешнему полю˜ , тогда уравнение (2.9) приобретает вид [126]}{0()(2.34) − + 1 + 5 ˜ () = 0.Итак, мы получили приближенное уравнение, описывающее движение ДНв слабом внешнем поле. Для физической интерпретации дополнительногослагаемого в уравнении (2.34), связанного с радиационными поправками кдвижению нейтрино, заметим, что уравнение (2.34) может быть полученоварьированием следующего лагранжиана:ℒ = ( ∂ − ) + ℒeff int ,где первое слагаемое при варьировании дает обычное уравнение Дирака (см.формулу (2.2)), а второе слагаемое имеет видℒeff int =→)()← } 0 { (5 ˜ 5 () 1 + () ∂ − 1 + ∂ ˜ () (). (2.35)2 В выражении (2.35) заключена вся информация об электромагнитных взаимодействиях массивного ДН.
Запишем матричный элемент перехода между начальным ∣ ⟩ и конечным ∣ ⟩ состояниями нейтрино, предполагая, чтоданный переход происходит вследствие взаимодействия (2.35), и ограничимсяпри этом первым приближением по напряженности внешнего поля:∫ = ⟨ ∣ 4 ℒeff(2.36) int () ∣ ⟩ .74Поскольку лагранжиан взаимодействия линеен по внешнему полю ℒeff int ∼∼ ˜ , то в качестве функций () необходимо использовать решения свободного уравнения Дирака для нейтрино, т. е.∑{}p p ()− + +(−),(2.37) () =ppгде p = (2 p )−1/2 – нормировочный множитель ( – нормировочный объем).
Используя фурье-разложение для потенциала ∫4 () = ()− ,(2.38)4(2)учитывая, что () = ∂ () − ∂ () и подставляя разложения (2.37)и (2.38) в (2.36), используя также соотношения (А.5), (А.7)–(А.9), получим()0 = p p′ ¯( + ) 1 + 5 () (),2где 4-импульсы конечного и начального нейтрино равны = + , = ,а также введено обозначение = + = 2 + . Исходя из того, чтоэффективный лагранжиан, описывающий электромагнитное взаимодействиенейтрино имеет следующий общий вид (см. (1.19), а также [105]):ℒeff = − () (),получаем (согласно (2.36)) выражение для матричного элемента эффективного электромагнитного тока ДН:⟨ ∣ (0) ∣ ⟩0= p p′×2[]× ¯( + ) 5 + (). (2.39)Заметим, что в так называемой мультипольной параметризации [145, 146]второе слагаемое в (2.39) отвечает тороидному дипольному моменту.Положим далее (см.
[64, 105]), что⟨ ∣ (0) ∣ ⟩ = p p′ ¯( + )Λ ()()и, выполняя тождественные преобразования, получим выражение для эффективной вершины электромагнитного взаимодействия ДН Λ в следующем виде:[] }0 {Λ()=2 − 2 − 2 − () 5 .(2.40)275Сопоставим теперь (2.40) и (1.21). Первое слагаемое в формуле (2.40) аналогично слагаемому ∼ 2 ( 2 ) в (1.21) – это аномальный магнитный момент(мы в очередной раз убеждаемся в этом).
Второе слагаемое в (2.40) связано сзарядовым радиусом ⟨2 ⟩ дираковского нейтрино, третье – отвечает анапольному (или тороидному дипольному) моменту ДН (см. (1.21)).Поскольку вакуумное значение АММ в Стандартной модели известно (см.(1.35)), то на основании (2.40) можно сделать оценки для ⟨2 ⟩ и для анапольного (тороидного дипольного) момента ДН (T) в слабом поле. Результатыэтих оценок таковы:9√ ≃ 3,65 ⋅ 10−34 см2 ,(2.41)⟨2 ⟩ =8 2 203√ ≃ ⋅ 0,61 ⋅ 10−34 см2 .T = 3 (0) = =(2.42)2216 2Оценка (2.41) дает значение зарядового радиуса, примерно на порядок более низкое, чем результаты работ по расчету электрослабого радиуса нейтрино (см., например, [185, 186] и формулу (1.33)), а оценка (2.42) в целомне противоречит результатам работы [196], см.
также (1.34) (при сравнениинеобходимо умножать результат (2.42) на два, так как в [196] рассматривался тороидный дипольный момент майорановского нейтрино, см. раздел 2.3.4диссертации). Заметим, что оценки (2.41)–(2.42) согласуются также и с современными экспериментальными данными (раздел 1.2.1). Необходимо подчеркнуть, что величины (2.41)–(2.42) определялись в конкретной, фейнмановскойкалибровке (раздел 2.1), и их зависимость от калибровки не исследовалась.Интересно заметить, что, если в вершинном операторе (2.40) вместо формфакторов 1 и 2 использовать их линейные комбинации и (зарядовыйи магнитный форм-факторы)2 = 1 +2 ,42 = 1 + 2 ,введенные Саксом [292, 302], то окажется, что саксовский зарядовый формфактор, следующий из (2.40), в точности равен нулю: = 0. Таким образом,зарядовый радиус нейтрино, определенный при помощи форм-фактора (вотличие от (1.22)), оказывается равен нулю, т.
е. ⟨2 ⟩ = 1/6 ∂/∂ 2 ( 2 ) = 0– вклады, связанные с 1 и 2 (последний называется членом Фолди) компенсируют друг друга. При таком подходе «плотность распределения заряда76нейтрино» равна нулю (эта ситуация имеет много общего с современнымирасчетами зарядового радиуса нейтрона, см., например, [303, 304]). В то жевремя физическая интерпретация форм-факторов и 2 одинаковая – поскольку заряд нейтрино равен нулю, то 1 (0) = 0 и (0) = 2 (0), т. е.магнитный момент нейтрино – чисто аномальный.Итак, из анализа нашего уравнения (2.34) следует, что ДН характеризуется как АММ, так и анаполем.
Если мы вернемся к (2.10), то увидим, чтопроисхождение анаполя, так же, как и АММ, – чисто вакуумное, и что анаполь ДН, так же, как и АММ, имеет динамическую природу.Следует заметить, что уравнение (2.34) дает более полную информациюо ДН, нежели феноменологическое уравнение (1.57), включающее дополнительное взаимодействие паулиевского типа [27] (уравнение Дирака–Паули 1) ),которое традиционно используется для описания дираковских нейтральныхфермионов с АММ (дираковского нейтрино, например, [106, 107, 306], и нейтрона [307, 308]).
Как видно, в уравнении (1.57) учитывается лишь взаимодействие внешнего поля с АММ, а в (2.34) – еще и взаимодействие с анаполем [309].2.3. Массовый оператор майорановского нейтрино2.3.1. Майорановское нейтриноВ связи с существенными отличиями теории майорановского нейтрино(МН) от теории ДН вначале кратко рассмотрим теорию свободного МН.Напомним (см. (1.1)), что ДН описывается четырехкомпонентным комплексным спинором, удовлетворяющим уравнению Дирака( ∂ − ) Ψ () = 0,причем в так называемом спинорном (или вейлевском) представлении -матриц (см. (А.14), (1.3)) дираковский биспинор имеет вид()().(2.43)Ψ () = ()1)Обобщение уравнения Дирака–Паули для электрона в теории Вайнберга–Салама–Глэшоу было полу-чено нами в работе [305].77Здесь () и () – двухкомпонентные комплексные спиноры Вейля [12],преобразующиеся соответственно по неприводимым представлениям группыЛоренца ( 21 , 0) и (0, 12 ).
Следовательно, дираковский биспинор преобразуется по представлению ( 12 , 0) ⊕ (0, 12 ) полной группы Лоренца [310, 311]. С()помощью проекционных операторов 21 1 ± 5 (см. (А.6)) можно спроектировать дираковский спинор на левый или правый вейлевские спиноры.Введем согласно [292] операцию зарядового сопряжения и построим зарядово-сопряженный дираковский спинор:(Ψ ) = CΨ T ≡ C 0 (Ψ )∗ ,(2.44)где C – оператор зарядового сопряжения, подчиняющийся условиямC−1 C = −T ,C+ = C−1 ,CT = −C.Можно удовлетворить всем этим условиям, если выбрать матрицу зарядовогосопряжения в виде C = 2 0 = −2 (см.
(А.11)–(А.14)).Майорановский спинор определяется условием [20, 310, 312]Ψ = (Ψ ) .(2.45)Как видно, майорановский спинор зарядово самосопряжен, поэтому он является хорошим кандидатом для описания нейтральных фермионов, таких какнейтрино. Нейтрино, описываемые спинорами (2.45), называются майорановскими или истинно нейтральными (см. раздел 1.1).Рассмотрим следствия, которые вытекают из определения (2.45).
В своей оригинальной работе Майорана использовал специальное (майорановское)представление -матриц (А.16). В этом представлении операция зарядовогосопряжения (2.44) сводится к комплексному сопряжению (-числовых) спиноров и эрмитовому сопряжению матриц (см., например, [292, 311]):Ψ = Ψ∗ .Таким образом, в таком представлении майорановский спинор (2.45) является четырехкомпонентным действительным, то есть он может описыватьобъекты с числом степеней свободы, вдвое меньшим, чем дираковский (четырехкомпонентный комплексный) спинор (2.43).78Найдем явный вид зарядово-сопряженного дираковского спинора в вейлевском представлении:( ) ()∗−2(Ψ ) =.(2.46)=∗ 2 Возможность построения такого спинора связана с тем, что если вейлевский спинор преобразуется по представлению ( 12 , 0) группы Лоренца,то связанный с ним спинор 2 ∗ будет преобразовываться по представлению(0, 21 ). (Аналогично: если преобразуется по представлению (0, 12 ), то2 ∗ преобразуется по представлению ( 12 , 0).)Используя данные свойства спиноров и 2 ∗ (или, соответственно, и 2 ∗ ), можно построить зарядово самосопряженный (майорановский) спинор [310, 311, 313] в виде()∗−2Ψ == + .(2.47)Такой спинор переходит сам в себя под воздействием операции зарядовогосопряжения (2.44) и имеет две независимые комплексные компоненты.
Тоесть фактически он имеет то же самое число степеней свободы, что и майорановский действительный спинор, следовательно, физическая интерпретация этого спинора – такая же, как и майорановского вещественного спинора.Условие (2.45) свелось в данном случае к установлению связи между и в майорановском биспиноре. Поэтому иногда говорят, что майорановскийспинор есть вейлевский спинор, записанный в четырехмерном виде.Лагранжиан свободного майорановского нейтрино можно записать следующим образом (см., например, [310, 314]):↔ ℒ = Ψ ∂ Ψ −Ψ Ψ ,42или в эквивалентном двухкомпонентном виде[]) ( T→→+ℒ = ∂0 + ( ∂ ) + 2 + + 2 ∗ .2(2.48)(2.49)Второе слагаемое в формулах (2.48), (2.49) представляет собой майорановский массовый член [20, 310–312].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
