Диссертация (1097698), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В более подробной записи:T 2 = − (1 2 − 2 1 ) .79Чтобы данное выражение не обращалось в нуль, следует предположить, что1 и 2 – не обычные -числа, а грассмановы переменные, антикоммутирующие друг с другом (см., например, [315]).Варьирование лагранжиана ℒ с учетом антикоммутативности грассмановых переменных дает уравнения движения:[]→→ ∂0 + ( ∂ ) + 2 ∗ = 0[←]→←+ ∂ 0 + ( ∂ ) + T 2 = 0(2.50)Можно показать (например, переходя в систему покоя, как это сделано в[311]), что данные уравнения не могут иметь решений в виде распространяющихся волн, то есть решений, которые были бы собственными функциями оператора ∂0 = ∂/∂.
Следовательно, мы находимся в затруднениидать одночастичную интерпретацию данной теории, поскольку невозможносформировать состояние частицы с определенным знаком энергии. Поэтому, в отличие от теории Дирака, -числовая теория Майораны не являетсяодночастичной теорией. Подчеркнем, что именно в этом состоит основнаяпрактическая сложность, возникающая при проведении расчетов в даннойтеории, а вовсе не в необходимости использовать грассмановы переменные,как это иногда утверждается [316].Существенной особенностью майорановской теории является необходимость проведения вторичного квантования априори для того, чтобы получитьразумную одночастичную интерпретацию [311]1) .Рассмотрим кратко, как проводится вторичное квантование майорановской теории [162, 311, 313, 319]. Известно, что в рамках теории Дирака имеется однозначное соответствие между первично- и вторично-квантованнымитеориями: одночастичные решения -числового уравнения являются коэффициентами в разложении вторично-квантованного оператора по плоскимволнам.
Ясно, что такого соответствия в теории Майораны нет, потому что-числовое уравнение не имеет плосковолновых решений. Поэтому в качестве1)Здесь необходимо подчеркнуть, что мы работаем в рамках сложившегося на сегодня традиционно-го подхода к теории массивного майорановского нейтрино [20, 90, 311, 312]. Наряду с этим в настоящеевремя разрабатываются альтернативные подходы, не использующие грассмановы переменные (например,подход, использующий собственные векторы оператора зарядового сопряжения [316, 317], или подход,основывающийся на применении гамильтонова формализма вместо лагранжева [318]). Разумеется, этиновые теории вызывают определенный интерес, однако пока они находятся в стадии разработки.80коэффициентов разложения по плоским волнам полевого оператора массивного двухкомпонентного спинора используются левые компоненты обычныхдираковских волновых функций.Поскольку в уравнения движения (2.50) входят спиноры и ∗ , то вразложении функции (r, ) по плоским волнам положительно- и отрицательночастотные части не могут быть независимыми.
Следовательно (r, ) =где{ }1√ (p)1 (p)− + + (p)2 (p) ,2 p,=±1∑( ) √()( )(p)1 (p) + (p)1−=,2 + 2 (p)2 ∗ (p)причем (p) – спинор, задающий направление поляризации спина нейтрино′и нормированный условием + (p) (p) = ′ . Спиноры 1 (p) и 2 (p)выбраны так, чтобы функция (r, ) удовлетворяла уравнениям движения(2.50). Легко видеть, что 1 (p) и 2 (p) – это левые компоненты дираковскойи зарядово-сопряженной ей функций.Согласно (2.47) составим четырехкомпонентный самосопряженный спинор:(r, ) ≡ Ψ = (r, ) + (r, ) =∑{ }1√ (p) (p)− + + (p) (p) ,=2 p,=±1где()∗−(p)22 (p) =,1 (p)(2.51) (p) = C T (p).Таким образом, функция (p) есть не что иное, как обычная дираковскаябиспинорная амплитуда в вейлевском базисе (см.
(А.14), (А.15)).В квантовой теории + и – операторы, на них накладываются условияантикоммутации:{}{}′′+ ′′ (p), (p ) = ′ pp′ . (p), (p ) = 0;Они являются операторами рождения и уничтожения частицы с 4-импульсом [162, 311, 313]. Рассматриваемая теория не содержит античастиц, иэто является следствием фундаментального условия (2.45), которое теперьследует понимать в операторном смысле. Отсутствие античастиц означает,81что все заряды частиц – квантов поля Майораны равны нулю, майорановскиечастицы – истинно нейтральные частицы.Теперь понятно, что матричный элемент полевого оператора (r, ) междувакуумом ∣0⟩ и одночастичным состоянием ∣p,⟩ следует отождествить с волновой функцией майорановской частицы, поскольку он описывают рождениечастицы с импульсом и поляризацией (см.
также [20, 320]):⟨0∣(r, )∣p,⟩ = ⟨p,∣(r, )∣0⟩ = p, ().(2.52)Данная волновая функция удовлетворяет уравнению Дирака, и, следовательно, является собственным состоянием оператора ∂0 = ∂/∂.2.3.2. Майорановская масса нейтрино в Стандартной моделиВ Стандартной модели Вайнберга–Салама–Глэшоу (см., например, [13,14]) нейтрино безмассовое. В данной теории присутствует в лептонном сек( )торе изотопический дублет левых полей = , а также изотопическийсинглет . Лагранжиан теории содержит юкавское взаимодействие видаℒ = − (¯ + + ¯ ),(2.53)( +)где – безразмерная константа связи (см. раздел 2.1), = 0 – изотопический дублет скалярных полей.
В результате спонтанного нарушения симметрии и действия механизма Хиггса заряженные лептоны получают мас√сы (дираковского типа) = / 2, где – вакуумное среднее дублета (см. раздел 2.1). Нейтрино при этом остаются безмассовыми. Для полученияненулевой массы нейтрино необходимо расширить Стандартную модель. Рассмотрим некоторые из таких расширений, ограничиваясь, как и ранее, однимпоколением нейтрино.1. Расширение модели в лептонном секторе. Простейший способполучить дираковские массы нейтрино (использованный нами в разделе 2.1)состоит во введении в исходный лагранжиан синглетов полей нейтрино (ккаждому заряженному лептону), а также юкавского взаимодействия, котороезаписывается по аналогии с (2.53) [13, 14, 18] (ниже обозначено = 2 ∗ ):ℒ = − (¯ + + ¯ ).82В результате действие механизма Хиггса нейтрино получают дираковскиемассы (как и заряженные лептоны):√где = / 2.ℒ = Ψ Ψ = (+ + + ),2.
Расширение модели в скалярном секторе. Одним из способов«мягкого» (т. е. сохраняющего перенормируемость теории) получения массымайорановского (нейтриноявляется введение в теорию наряду с дублетом )H++хиггсовских полей с гиперзарядом = 2 [18, 321],триплета H = H+0H(0)1который также имеет отличное от нуля вакуумное среднее ⟨H⟩0 = √2 0 .2Кроме того в лагранжиан добавляется юкавское взаимодействие вида¯ℒint = (2 H) + Э. с.,где(H = + H++ + − H0 + 3 H+ =+H√ 02H√++2H−H+).Подстановка величины ⟨H⟩0 в юкавское взаимодействие ℒint приводит к появлению майорановского массового члена (см. (2.49)) с массой нейтрино, равной = 2 .
Рассматриваемая модель с дополнительным триплетом хиггсовских полей интересна тем, что в ней возникает новая частица – майорон.Она является безмассовым голдстоуновским бозоном и может приводить кдвойному безнейтринному бета-распаду [18].3. Расширение скалярного и лептонного секторов. Можно рассмотреть расширение Стандартной модели, возникающее в результате одновременного введения нейтринного поля (см.
п. 1) и синглетного скалярного поля , имеющего лептонный заряд 2. В теорию также вводится юкавскоевзаимодействие поля с правыми нейтрино:ℒ = ¯ ( )+ + Э. с..В результате спонтанного нарушения симметрии в такой теории появляютсякак дираковский, так и майорановский массовые члены. Причем дираков√ская масса = / 2 генерируется за счет механизма, рассмотренного вп. 1. и может быть по порядку величины равна массе заряженного лептона,83а правая майорановская масса возникает в результате спонтанного нарушения симметрии глобальной группы U(1) , связанной с сохранением лептонного заряда, за счет ненулевого вакуумного среднего хиггсовского поля√⟨⟩0 . При этом величина = ⟨⟩0 / 2 должна быть близка к масштабуэнергий ( ≃ 1015 ÷ 1019 ГэВ), на котором происходит нарушениесимметрии группы, отвечающей соответствующей теории Великого Объединения (GUT), до группы симметрии Стандартной модели [18].
Таким образом,должно быть: ≫ .В итоге получается массовая матрица нейтрино, которая (во флейворномбазисе) имеет вид()0 ℳ =.TДанная матрица приводится к диагональному виду, и оказывается, что еесобственные состояния представляют собой майорановские нейтрино с массами 1 ≃ 2 / («легкое» нейтрино) и 2 ≃ («тяжелое» нейтрино).Тем самым получена простейшая реализация «качельного» («see-saw») механизма генерации масс нейтрино [18, 20, 21].4. Слагаемые высших размерностей. Мы видим, что рассмотренныевыше механизмы действительно объясняют, как могут возникнуть массы нейтрино, но не дают объяснения их малым наблюдаемым величинам (меньше10−9 массы протона). Данную проблему можно решить путем рассмотренияСтандартной модели, как эффективной теории – низкоэнергетичного пределаболее фундаментальной теории (описывающей «Новую физику» за пределами Стандартной модели).В качестве такой более общей фундаментальной теории может рассматриваться одна из теорий Великого Объединения (например, в рамках модели,основанной на группе SO(10), реализуется «качельный» механизм генерациимасс, рассмотренный в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
