Диссертация (1097698), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Отбрасывание в (1.52) всех слагаемых с > 0 приводит к существенному упрощению выражения для пропагатора (см. [236, 257]) и означает переход к такназываемому LLL-приближению (the Lowest Landau Level).Как следует из соотношения (1.50), электрон, находящийся на основномуровне Ландау, может осуществлять движение только вдоль магнитного поля (в нашем конкретном случае – вдоль оси ). Поэтому рассматриваемоездесь приближение было также названо двумерным приближением квантовой электродинамики [235,236,258], поскольку сильное магнитное поле выделяет из четырехмерного пространства-времени двумерное «физическое» подпространство (0, 3), в котором фактически и происходит движение и взаимодействие частиц.56Возможность перехода к двумерному приближению определяется условием (1.54) и сводится к ограничениям на энергии начальных и конечныхчастиц, аналогичным (1.54), если рассматриваются процессы с «фиксированным» импульсом внутренней электронной линии (типа комптон-эффекта)[236, 258].
В некоторых случаях, в частности, если диаграммы процессов содержат электронные петли, для перехода к рассматриваемому приближениютребуется выполнение условия ≫ 2 , усиливающего ограничение (1.54),или, что то же самое, ≫ 0 ,(1.55)см. формулу (1.47). Таким образом, соотношение (1.55) представляет собойуниверсальное условие возможности перехода к двумерному приближению(или к LLL-приближению) теории [236, 258]. Такое приближение будет использовано нами в главе 5.Как мы отмечали выше, в основе метода точных решений всегда лежит полная система волновых функций – точных решений некоторого релятивистского волнового уравнения.
Заметим, что в качестве такой системыможно использовать также и точные решения уравнений, являющихся обобщениями уравнения Дирака (1.44) для электрона во внешнем поле.Одним из важнейших обобщений уравнения Дирака является уравнениеДирака–Паули [27]{ (})1 ∂ − ext−−(1.56) Ψ() = 0,2причем последнее слагаемое описывает взаимодействие аномального магнитного момента (АММ) электрона с внешним полем (матрицы определяются формулой (А.7)).
Уравнение (1.56), предложенное В. Паули, как релятивистски-ковариантное обобщение уравнения Дирака1) , было впоследствиивыведено Ю. Швингером в статье [245] на основе анализа радиационных поправок, и, в частности, массового оператора электрона во внешнем поле. Вэтой же работе было показано, что АММ электрона имеет «швингеровское»значение = (/2) .1)В ранних работах Л. Фолди [259, 260] обсуждаются общие принципы построения релятивистски-ковариантных обобщений уравнения Дирака (1.44). Заметим, что в данных работах не рассматриваютсяобобщения уравнения Дирака, предполагающие введение электромагнитных взаимодействий, нарушающих P-четность, например, анапольного момента.57Одним из существенных достижений метода точных решений в квантовой электродинамике стало открытие динамической природы массы и АММэлектрона (см., напр., [229, 231, 234, 261]).
Было показано, что АММ электрона принимает швингеровское значение (/2) лишь в пределе слабогоквазистационарного поля. В общем же случае масса и АММ представляют собой сложные нелинейные функции напряженности внешнего поля и энергиичастицы. Существуют указания на то, что зависимость АММ ультрарелятивистских электронов (и позитронов) от энергии и напряженности внешнегополя может быть экспериментально проверена при помощи явления прецессии спина частицы, канализированной в изогнутом монокристалле [262].Отметим, что динамическая природа массы и АММ дираковского массивного нейтрино исследуется нами в главе 2 настоящей диссертации.Полагая в уравнении Дирака–Паули (1.56) = 0, получим частный случайэтого уравнения}{ (1.57) ∂ − − 21 Ψ() = 0,при помощи которого можно описать состояние нейтрального массивногофермиона с аномальным магнитным моментом (нейтрона или дираковскогонейтрино (ДН)), взаимодействующего с внешним полем.
Разумеется, уравнение (1.57) следует воспринимать, как феноменологическое, т. е., величинуАММ в данном уравнении необходимо задавать «руками».Заметим также (см. раздел 2.2.4 диссертации), что учет влияния радиационных поправок на движение нейтрино (по аналогии с тем, как это былореализовано в случае электрона [245]), позволяет получить приближенноеуравнение для ДН во внешнем поле, которое отличается от (1.57) тем, чтосодержит дополнительное слагаемое, нарушающее P-четность (см. (2.34)).1.3.2. Учет конечной плотности вещества1. Квантовая теория поля при конечной температуреВажнейшим методом квантовой теории поля при конечной температуре иплотности вещества является метод функций Грина, основы которого былиразвиты в классических работах [263–265], см.
также [240, 266] и цитированную там литературу. Одним из больших достоинств данного метода являетсяего универсальность: решение задач квантовой теории поля как при нулевой,58так и при конечной температуре и плотности вещества сводится к определению соответствующих функций Грина [240].Существуют два широко известных общих подхода к этой проблеме: формализм мнимого времени (или метод температурных функций Грина), разработанный Т.
Мацубарой [240, 263], и формализм реального времени 1) (см.,напр., [240, 266]), который мы и будем использовать ниже. Представлениереального времени имеет определенные преимущества, весьма полезные приконкретных расчетах. Так, в частности, вычисления в рамках этого формализма могут быть проведены в релятивистски-ковариантном виде, а эффекты, связанные с конечной температурой и плотностью среды, изначально отделены от вакуумного вклада (имеющего место также и в отсутствие среды)и не содержат дополнительных ультрафиолетовых расходимостей.Итак, рассмотрим ферми-систему (например, электрон-позитронный газ)во внешнем постоянном однородном магнитном поле. Временнáя одночастичная функция Грина (, ′ ) для такой системы определяется следующимобразом [264, 265]:}{′Ψ()Trexp[−(H−N)]TΨ(),(1.58) (, ′ ) = −Tr {exp [− (H − N)]}где = −1 – обратная температура, H – гамильтониан системы, включающий взаимодействие с внешним полем, N – оператор числа частиц, –химический потенциал, а след Tr вычисляется в фоковском пространстве.Таким образом, мы видим, что определение временных функций Гринапри ∕= 0 и ∕= 0 отличается от определения причинных функций в обычнойквантовой теории поля (т.
е. при = = 0) тем, что усреднение хронологического произведения гейзенберговских полевых операторов производитсяне по вакуумному состоянию, а по большому каноническому распределениюГиббса.Подставляя в выражение (1.58) явный вид вторично-квантованных операторов фермионного поля Ψ() в картине Фарри, получим следующее представление для временной функции Грина идеального электрон-позитронного1)Данный подход опирается на работы по квантовой статистике неравновесных систем, выполненные в1960-е годы, из которых в первую очередь необходимо отметить статью Л.
В. Келдыша [267]. Коллекциюссылок на оригинальные публикации по этой теме можно найти в фундаментальном обзоре [268].59газа в постоянном магнитном поле [240, 269] (см. также [270]): (, , ) = (, = = 0) + (, , ) ,(1.59)где (, = = 0) – обычная причинная функция Грина электрона в постоянном магнитном поле, выражающаяся при помощи формулы (1.49), а (, , ) – температурная часть временнóй функции Грина, равная() (, , ) = ∑, =±1() (r) (r′ )exp [− ( − ′ )] ,exp [ ( − )] + 1(1.60)причем все обозначения, использованные в (1.60), приведены выше, см.
(1.49).Мы видим, что временнáя функция Грина (1.59) действительно являетсясуммой фейнмановского пропагатора при нулевой температуре и плотностисреды (1.49) и чисто температурной части (1.60), и, тем самым, эффектыконечной температуры и плотности среды оказываются отделенными от вакуумного вклада. Функция Грина (1.59) будет использоваться нами в главе 5.2. Метод эффективного потенциалаМетод временных функций Грина в квантовой теории поля при конечной температуре, описанный в предыдущем разделе, несомненно позволяетпровести наиболее последовательный учет влияния конечной температуры иплотности вещества на процессы с участием нейтрино в среде.Заметим, что влияние внешней среды на движение нейтрино (при = 0)можно описать также и другим методом, а именно, путем введения специального эффективного потенциала, описывающего когерентное взаимодействие нейтрино со средой и учитывающего многократные упругие рассеяния нейтрино на частицах среды, сопровождающие распространение нейтрино.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
