Диссертация (1097698), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Основы данного метода были разработаны в работах Л. Вольфенштейна [56,57], Г. Бете [58] и других авторов, которые впервые применили данныйформализм для описания осцилляций нейтрино в среде, а также в работахС. П. Михеева и А. Ю. Смирнова [59, 60], которые предсказали при помощиданного метода эффект резонансного усиления осцилляций нейтрино в веществе (МСВ-эффект).
Впоследствии именно на основе МСВ-эффекта былодано окончательное решение «загадки солнечных нейтрино».60При выполнении условий, отвечающих когерентному взаимодействиюнейтрино с частицами среды (которые подробно обсуждаются в разделе 6.1),оказывается возможным описать все многочисленные акты рассеяния нейтрино на частицах среды при помощи введения единого дополнительного потенциала взаимодействия нейтрино со средой.
В случае, если среда состоитиз электронов, такой потенциал для электронных нейтрино в теории МСВдается выражением [56, 58, 271] (см. также формулу (6.2) и ее обсуждение)√ = 2 ,где – константа Ферми, – плотность электронов среды.Конкретные выражения для эффективных потенциалов нейтрино, движущихся в различных средах, могут быть получены методами квантовойтеории поля при конечной температуре и плотности среды [272–274]. Целаяколлекция таких потенциалов1) для различных сред приводится в [272]. Другой способ вывода выражений для потенциалов состоит в том, что вначалерассматривается единичный акт взаимодействия нейтрино с частицей среды(электроном, протоном, нейтроном), а затем производится усреднение по статистическому распределению всех частиц в среде [20, 276]. Оба способа даютодинаковые выражения для потенциалов (подробнее см.
раздел 6.1).Развивая метод эффективного потенциала, мы получили модифицированное уравнение для дираковского нейтрино (ДН), движущегося в среде [277]2) :}{ ∂ − 12 (1 + 5 ) − Ψ() = 0.(1.61)Это наиболее общее уравнение, описывающее движение ДН в среде, причемпотенциал = 12 (1 + 5 ) учитывает взаимодействие нейтрино со средойчерез заряженный и нейтральный токи, а также возможные эффекты, связанные с движением и поляризацией самой среды (см. подробное обсуждение в разделе 6.2.1). В простейшем случае движения электронного нейтрино в покоящейся неполяризованной среде, состоящей только из электронов,˜˜ = (1 + 4 sin2 ), – угол Вайнберга (см.
(6.19)).√ { , 0}, где = 2Точные решения уравнения (1.61) положены нами в основу квантовой теории явления спинового света нейтрино в среде (SL), см. главу 6.1)Метод эффективных потенциалов был успешно использован для развития теории осцилляций ней-трино, в том числе в движущихся и поляризованных средах, см. [275] и приведенную там литературу.2)Данное уравнение было получено также в [278].Глава 2Радиационные поправки к массенейтрино во внешнем поле2.1. Лагранжиан модели Вайнберга–Салама–ГлэшоуМы будем использовать в наших вычислениях лагранжиан Стандартноймодели Вайнберга–Салама–Глэшоу (см., напр., [13, 14]). Эффективная частьданного лагранжиана, описывающая взаимодействие лептонов и -бозоновв присутствии внешнего электромагнитного поля, имеет видℒэфф = ℒ + ℒ + ℒ + ℒ + ℒвз + ℒфикс ,(2.1)где21ℒ = − + − + − + − + 2 + −2– лагранжиан поля -бозонов массы , взаимодействующего с внешнимэлектромагнитным полем ;ℒ = ¯() ( − ) ()– лагранжиан электрона, взаимодействующего с внешним полем;ℒ = ¯() ( ∂ − ) ()(2.2)– лагранжиан свободного дираковского нейтрино массой ;2ℒ = + − 2 + −– лагранжиан заряженных скаляров;)()() (ℒвз =√ ¯ + + ¯ − − ¯ + + ¯ − + ¯ + + ¯ −262– лагранжиан взаимодействия нейтрино с электронами, заряженными скалярами и -бозонами;21ℒфикс = − + (2.3)– слагаемое, фиксирующее калибровку (параметр ⩾ 0).
В этих выраженияхвезде подразумевается, что ковариантная производная = ∂ − , где и = ∂ − ∂ – соответственно 4-потенциал и тензор внешнего поля.Левые и правые компоненты -матриц и дираковских биспиноров имеют вид))1(1(= 1 ± 5 , 5 = − 0 1 2 3 ,1 ± 5 , ,, =22причем для -матриц используется стандартное представление (см. (А.13)).Массы -бозона, электрона и нейтрино выражаются через безразмерныеконстанты связи , , и вакуумное среднее дублета скалярных полей(оно обусловлено спонтанным нарушением симметрии исходного лагранжиана теории): = √ , = √ , = √ .222В расчетах используется метрика = diag (+ − −−), система единиц ℏ == = 1, 2 /4 = 1/137, заряд электрона равен − < 0.Как следует из лагранжиана (2.1), мы работаем в рамках так называемой минимально расширенной Стандартной модели [20, 21], в которой длягенерации дираковских масс нейтрино в исходный лагранжиан вводятся синглеты нейтринных полей (к каждому из заряженных лептонов [13,14], см.подробнее разд.
2.3.2). Кроме того, здесь мы предполагаем, что отсутствует смешивание нейтрино, т. е. нейтрино определенного аромата (флейворныенейтрино , и ) обладают определенной массой.Выбор члена, фиксирующего калибровку, в виде (2.3) означает, что мы используем так называемую нелинейную -калибровку или калибровку фонового поля [165,166] (слагаемое ℒфикс содержит удлиненную производную ).Пропагаторы частиц (электрона (, ′ ), − -бозона (, ′ ) и − -скаляра (, ′ )) удовлетворяют уравнениям[()2 + 2 ( − ) (, ′ ) = (4) ( − ′ ),]+ 2 + (1/ − 1) (, ′ ) = − (4) ( − ′ ),( 2) + 2 (, ′ ) = (4) ( − ′ ).63Заметим, что заряженные скаляры являются нефизическими частицами(их масса = 1/2 зависит от выбора калибровки) и могут появлятьсятолько в виртуальных состояниях.
Их можно исключить выбором калибровочного параметра = ∞ (унитарная калибровка), однако для наших расчетов удобнее положить = 1 (калибровка Т’Хофта–Фейнмана), см. [14].Явный вид пропагаторов с учетом влияния внешнего постоянного электромагнитного поля общего вида можно получить, используя метод собственного времени Фока–Швингера [245, 255]. Результат может быть представленв лоренц-инвариантном виде:{}′ ∫ ∞1(,)(, ′ ) = − [Ω() + ] ( − ′ ) + ×22(4)20][′′2, (2.4)× exp − − () − ( − )Ω()( − ) − 42∫(, ′ ) ∞ ( 2 ) (, ) = −×(4)2 0 2[]× exp −2 − () − ( − ′ )Ω()( − ′ ) ,4′∫(, ′ ) ∞ (, ) = −×(4)2 0 2[]× exp −2 − ( ) − ( − ′ )Ω( )( − ′ ) .4(2.5)′(2.6)В выражениях (2.4)–(2.6) применены следующие матричные обозначения:[]() = 1/2 Tr ln ( )−1 sh , Ω() = cth , = ∥ ∥ ,[ ∫ ]( − ′ ) = ( − ′ ) , = ( − ), (, ′ ) = exp ()2′– трансляционно-неинвариантная фаза функций Грина, причем интеграл вычисляется по отрезку прямой, соединяющей точки ′ и .2.2.
Массовый оператор дираковского нейтриноРезультаты, излагаемые в данном разделе, были впервые получены намив работах [126, 279, 280]. Позже некоторые из этих результатов были воспроизведены или выведены заново в ряде работ (см., например, [281–285]).642.2.1. Общее выражение для массового оператора во внешнем полеСостояние нейтрино во внешнем поле с учетом радиационных поправокописывается модифицированным уравнением Дирака, содержащим массовыйоператор (, ′ ) нейтрино во внешнем поле (уравнение Дирака–Швингера[286–288]):∫( ∂ − ) () − 4 ′ (, ′ ) (′ ) = 0.(2.7)В однопетлевом приближении Стандартной модели массовый оператордираковского нейтрино (ДН) имеет вид 2 (, ) = − (, ′ ) (, ′ )−2[ 2]− (, ′ )(, ′ ) + 2 (, ′ )(, ′ ) ,(2.8))(где , = 1/2 1 ± 5 . Первое слагаемое в (2.8) отвечает вкладу -бозона( → → , см. рис.
2.1а), а второе слагаемое – вкладу заряженного скаляра ( → → , см. рис. 2.1б). Заметим, что вследствие большой массы -бозона по сравнению с массами электрона и нейтрино [7] вклад заряженного скаляра в (, ′ ) мал по сравнению с -бозонным вкладом. Их отношение пропорционально малой величине ∼ 2 / 2 ∼ ( / )2 ∼ 10−11 ≪ 1.Поэтому мы ограничимся вычислением вклада -бозона (диаграмма 2.1а).′Рис.
2.1. Диаграммы, соответствующие радиационным поправкам кмассе ДН во внешнем полеПодставим явный вид пропагаторов (2.4)–(2.5) в выражение (2.8) и перейдем в уравнении (2.7) к импульсному представлению:∫∫ 4 4 ′4 ′ ′− ′ () =(),(,)= (, ′ )− ,48(2)(2)где () и (, ′ ) – фурье-образы волновой функции и массового оператора (, ′ ). В результате оказывается, что массовый оператор диагонален вимпульсном пространстве: (, ′ ) = (2)4 (4) ( − ′ ) (, ).
Поэтому уравнение (2.7) в импульсном представлении приобретает вид{ − − (, )} () = 0.(2.9)65Приведем явное выражение для (, ):∫∫ ∞2 1 (, ) = − exp {− [1 − (1 − Λ)]} ×(4)2 0 0[]2−0 −0× − + 0 (),sh sin (2.10)где =0{1 ˜ +2 }}( )1 ,− 3 2 − 4 0{причем( )}( ){( ) sin 11 sh sin (1 + ) +sh (1 + ) ,= 2 + 2− sin 2 sh ( )}( ){( )−1 sh 311 sin ch (1 + ) +cos (1 + ) ,= 2 + 22 sh 42 sin {) sin (1 − ) sin − sin }( 2)2 2 sh (1 − ) sh − ϰ − , sh 1= 2 + 2(ϰ 2 − 2 2()0= ∣==ϰ=0 = ,Λ = ( / )2 ,0 = ∣==ϰ=0 = − 2 (1 − ),() = ( / )2 , 2 = /2 .Кроме того в (2.10) введены полевые инвариантные параметры и , а такжединамический инвариантный параметр ϰ :( )}1/2)}1/21 {1 {( 222 + ∓, ϰ=− ( ),(2.11)=0 0причем = (1/4) , = (1/4) ˜ , ˜ = (1/2) – дуальный тензор внешнего поля, – четырехмерный импульс нейтрино, 0 == 2 / = 4,41 ⋅ 1013 Гс – швингеровское значение магнитного поля.
Особенности по переменной обходятся в нижней полуплоскости (Im < 0), как этоследует из принципа причинности [245].66В выражении (2.10) произведена перенормировка, заключающаяся в удовлетворении граничному условию: при выключении внешнего поля ( → 0)массовый оператор (, ) переходит в 0 () – массовый оператор нейтрино в вакууме, обращающийся в нуль на массовой оболочке 2 = 2 (или 2 = 1), см. [289].Заметим, что результат (2.10) получен для произвольного постоянногоэлектромагнитного поля, задаваемого тензором . Как известно, в этомслучае существует специальная система отсчета, в которой напряженностиэлектрического и магнитного полей параллельны (E∥H∥) и задаются 4потенциалом = {−, 0, , 0}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
