Диссертация (1097698), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3, позволяющий сделать некоторые разумные предсказания относительно масс нейтрино и углов смешивания [18, 90]).В последнее время активно разрабатываются различные варианты теорий, описывающих «Новую физику», основанных на использовании дополнительных измерений: рассматриваются теории в пространствах с размерностью d > 4 (см., например, [322]). Переходя к низкоэнергетичному пределув таких моделях, можно осуществить интегрирование по «дополнительным»84степеням свободы в соответствующем континуальном интеграле и получитьэффективную полевую теорию, описывающую явления в четырехмерном мире. Лагранжиан такой эффективной теории по сравнению с обычным лагранжианом Стандартной модели ℒ будет содержать дополнительные неперенормируемые слагаемые размерностей d > 4 [64, 89]:ℒeff = ℒ +ℒd=5 ℒd=6++ ⋅⋅⋅ ,002где 0 – характерный масштаб новой теории.
Дополнительное слагаемое наименьшей размерности d = 5, изменяющее лептонное число и генерирующеемассы нейтрино, должно иметь вид (¯ ) ( T )ℒd=5= .00Заметим, что общий вид данного оператора был установлен С. Вайнбергом более 30 лет назад в работе [323]. В результате спонтанного нарушениясимметрии данное слагаемое дает майорановский массовый член с массой = 2 /0 .
Для того, чтобы получить малое численное значение массы нейтрино, например, ≲ 1 эВ, следует предположить (учитывая, что ∼ 102 ГэВ [13, 14]), что 0 ≳ 1013 ГэВ, что не так далеко по порядку величины от масштабов, характерных для теорий Великого Объединения (см.выше) [64].Заканчивая данный раздел, заметим, что если в теории присутствует майорановское нейтрино, то вне зависимости от конкретного вида расширенияСтандартной модели, должен быть следующим образом модифицирован лагранжиан взаимодействия ± -бозонов с фермионами:} {ℒ = √ ¯ + + − + Э. с.,(2.54)2где описывает поле майорановского нейтрино.
Соответствующие измененияпретерпевает и лагранжиан взаимодействия заряженных скаляров.2.3.3. Массовый оператор майорановского нейтрино вовнешнем поле. Радиационные поправки к массеПерейдем теперь к рассмотрению массового оператора МН (см. [309,324]).В основу нашего подхода мы снова положим уравнение Дирака–Швингера85(см. (2.7)), которое теперь содержит массовый оператор МН во внешнем поле:∫( ∂ − ) () − 4 ′ (, ′ ) (′ ) − 0.(2.55)Заметим, что уравнение (2.55) записывается для функции (2.52), т.
е. дляволновой функции МН во внешнем поле (см. раздел 2.3.1).Следует иметь в виду, что МН, тождественное со своей античастицей, может генерировать, как лептонные, так и антилептонные виртуальные состояния. Поэтому при вычислении массового оператора МН (, ′ ) во внешнем поле (в тех же приближениях, что и массового оператора ДН (2.8)) кромедиаграмм, описывающих вклад + -бозона ( → + → ) и + -скаляра( → + → ) (см. рис. 2.1), нужно учесть вклады зарядово-сопряженныхдиаграмм, т. е. ( → − → ) и ( → − → ). При использованиифейнмановской калибровки с = 1 вклад диаграмм с заряженными скалярами будет мал по сравнению со вкладом ± -бозонов (см.
объяснение послеформулы (2.8)), поэтому можно считать, что главный вклад в массовый оператор дают диаграммы с + - и − -бозонами1) , приведенные на рис. 2.4.Рис. 2.4. Диаграммы, дающие главный вклад в радиационную поправку к массе МН во внешнем полеСледовательно, массовый оператор (, ′ ) можно записать в виде} 2 { (, ) = − (, ′ ) (, ′ ) + (, ′ ) (, ′ ) , (2.56)2′где и – пропагаторы позитрона и − -бозона, а остальные обозначениясовпадают с использованными в формуле (2.8).
Подставим в (2.56) явный вид1)Это верно при расширении Стандартной модели по типу 4 (см. раздел 2.3.2). В этом случае в теорииприсутствуют только нефизические заряженные скаляры ± . Если же выбрать расширение Стандартноймодели по типу 2, то наряду с нефизическими заряженными скалярами ± теория будет содержать такжеи физические заряженные хиггсовские бозоны ± (см., напр., [202, 321]). Диаграммы с виртуальными ± -бозонами также будут давать вклад в массовый оператор МН. Отношение вкладов диаграмм с ± бозонами к вкладам диаграмм с ± -бозонами имеет порядок ∼ ( / )2 ≪ 1 согласно современнымограничениям на массы заряженных хиггсов [7]. Поэтому вывод о доминировании диаграмм с ± -бозонами остается верным и в этом случае [309].86пропагаторов, перейдем в уравнении (2.55) к импульсному представлению иполучим уравнение, аналогичное (2.9):{ } − − (, ) () = 0,(2.57)где () и (, ) – фурье-образы волновой функции МН (2.52) и массового оператора МН (, ′ ) (см.
(2.9)). Приведем явный вид массовогооператора МН:∫ ∞∫2 1 (, ) = − exp {− [1 − (1 − Λ)]} ×(4)2 0 0][2−0 −0 − + 0 (),(2.58)×sh sin где=0{1 ˜ + 2 }{}1− 3 2 − 4 ( ) ,0а все остальные обозначения полностью совпадают с обозначениями, использованными в (2.10). Сопоставляя формулы (2.10) и (2.58), видим, что отличие массового оператора МН от массового оператора ДН свелось к замене → . Такая замена, как мы увидим, вызывает весьма серьезные последствия.Рассмотрим радиационную поправку к массе МН во внешнем поле [324].Она получается в результате усреднения массового оператора МН по волновым функциям свободного нейтрино (см.
(2.13)–(2.16)). Радиационная поправка к массе МН имеет вид∫ 122 ∫ ∞Δ exp {− [1 − (1 − Λ)]} × =2(4) 0 0[]2′ − ′′ 0 −0′− ,(2.59)× sh sin где′= ϰ 2 3 − 4 .Коэффициенты 3 , 4 и другие обозначения – те же, что использованы вформулах (2.10), (2.17).87Результат (2.59) существенно отличается от (2.17). В частности, формула (2.59) не содержит слагаемых, пропорциональных инвариантам ˜ и , что означает отсутствие у МН АММ и АЭМ (см. [231, 290]). Данноезаключение совпадает с выводами работ [73, 102, 160] – МН не может иметьни АММ, ни АЭМ.2.3.4.
Уравнение для волновой функции майорановскогонейтрино в слабом внешнем полеПродолжим исследование электромагнитных свойств МН. Перейдем кпределу слабых полей1) ( ≪ 1, ≪ Λ) и импульсов нейтрино, удовлетворяющих соотношению ϰ ≪ Λ, в массовом операторе (2.58). Напомним, чтопри этом импульс нейтрино может быть большим: ⊥ ≫ (при ≲ 1).Результат можно записать в следующем общем виде (ср. с (2.29)): (, ) = ℕ(0) ( ) + ℕ(1) ˜ + ℕ(2),002(2.60)причем коэффициенты ℕ(0) , ℕ(1) и ℕ(2) определяются теми же самыми формулами, что и в случае ДН, т.
е. (2.30)–(2.32).С учетом соотношения (2.33) формулу (2.60) можно переписать в следующем эквивалентном виде: (, )=ℕ(0) ′( ) + ℕ˜ (1) 0+ℕ˜ ˜ (2) 02,(2.61)где коэффициенты ℕ(1) и ℕ(2) , как и прежде, определяются выражениями(2.31), (2.32), а коэффициент ℕ(0) ′ теперь дается формулой() 2 1 ( )2 15(0) ′ln Λ −,ℕ=(4)2 6 02 Λ24и это совпадает (с учетом нашего приближения) с результатом, полученнымв работе [301].
Далее мы введем новые обозначения:()ℕ(1)20ℕ(2)4 131 = −=, 2 = − 2 =ln Λ +,(2.62)009 4()ℕ(0) ′4 150 = − 2 = −ln Λ −,09 41)См. сноску на с. 69.88√где, как и раньше: 0 = 3 2 (4)−2 – статическое значение АММ нейтрино в Стандартной модели (см. (1.35)), – масса нейтрино, = Λ0 =√= 2/ ≃ 1,1 ⋅ 1024 Гс, Λ = (/ )2 , = 2 2/82 – константа Ферми.Учитывая, что Λ является большим параметром, и ln Λ ≃ 24, будем далеесчитать, что4 12 ≃ −0 ≃ln Λ,(2.63)9 и это полностью соответствует приближению, принятому нами в работе [280](см.
также [309]). В результате из уравнения (2.57), ограничиваясь членами,квадратичными по напряженностям внешних полей, получаем приближенноеуравнение, описывающее движение МН в слабом внешнем поле:{}∗˜ ˜ ˜ − + 1 + 2 () = 0,(2.64)[]21∗где ≃ 1 + 4 2 ( ) – эффективное значение массы МН во внешнемполе [280].Уравнение (2.64) можно записать в следующем виде:{ − ∗ } () = 0,(2.65)где = + 1 ˜ + 2 ˜ ˜ .Напомним, что в уравнениях (2.64), (2.65) () – волновая функция МН вимпульсном представлении, определенная в (2.52), записанная с учетом действия внешнего поля (с точностью до второго порядка по ˜ ).
При этом подразумевается модификация формулы (2.51), описывающей разложение оператора поля МН по плоским волнам: биспинорные амплитуды свободногонейтрино () заменяются на () (а () заменяется на ()):∑{}1√(r, ) =p (p)− + +(p).(2.66)p2p,=±1В результате также приобретает зависимость от внешнего поля, а биспинорные амплитуды разложения по плоским волнам удовлетворяют (с необходимой точностью) уравнению (2.64)–(2.65).Заметим, что уравнение (2.65) для () можно получить варьированиемлагранжиана↔∗ℒ = ∂ −,(2.67)4289который является обобщением лагранжиана (2.48) на случай наличия внешнего поля.С целью физической интерпретации слагаемого в (2.64), линейного по˜ , вычислим матричный элемент электромагнитного тока перехода междусостояниями МН ∣ ⟩ и ∣ ⟩, предполагая, что данный переход происходитвследствие взаимодействия, линейного по ˜ , включенного в .
Действуяаналогично тому, как это мы делали в разделе 2.2.4, получим следующеевыражение для эффективной вершины электромагнитного взаимодействияМН:]0 0 [ 2Λ () = = − − () 5 ,(2.68)где, как и в формулах (2.39) и (2.40), использованы обозначения: = ++ = 2 + , причем = + и = – 4-импульсы конечного иначального нейтрино.Сравнивая полученный результат с (2.39) и (2.40), убеждаемся в том, чтоединственным электромагнитным формфактором МН является тороидныйдипольный момент (анаполь) [73,102,160,324], а МН – элементарный носительанаполя [325]. Заметим также, что величина анапольного момента у МН в двараза больше, чем у ДН [280, 309, 324].Вернемся теперь к анализу лагранжиана (2.67).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
