Диссертация (1097698), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В этой системе отсчета параметры (2.11)принимают вид{ 2( 2)} /22 2 1/2 = /0 , = /0 , ϰ = + ⊥ + ⊥ 0 , (2.12)где ⊥ – поперечная по отношению к направлению E∥H компонента импульсанейтрино.2.2.2. Радиационные поправки к массе дираковского нейтриноНа массовой поверхности 2 = 2 диагональный матричный элемент массового оператора, взятый по состояниям свободного ДН, определяет радиационную поправку к массе ДН во внешнем электромагнитном поле, впервыевычисленную нами в работе [279] (ср. с аналогичным расчетом для электронав рамках квантовой электродинамики [231, 290]):Δ =1¯(, ) (, )(, ) = ⟨ (, )⟩ .2(2.13)В выражении (2.13) свободные спиноры (, ) должны быть нормированыусловием ¯(, )(, ) = 2 (или, что то же самое, ¯(, ) (, ) = 2 ).При усреднении выражения (2.10) следует иметь в виду, что⟨ ⟩〉〉 1〈 1〈 15= (1 + ) =( − ) , − Ŝ =222(2.14)где Ŝ – четырехмерный оператор поляризации спина [228, 291] (см.
также(Б.1)):Ŝ = 5 ( − / ) ,67компоненты которого могут быть перечислены в виде{}(Σp) 05 pŜ =, Σ−.Осуществляя усреднение согласно (2.14), получаем{}〈 〉pp(p).Ŝ = =,+ ( + )(2.15)(2.16)Таким образом, здесь возникает 4-вектор поляризации спина нейтрино [13,279,292], где – единичный вектор в направлении поляризации в системе покоя частицы p = 0 (т. е. удвоенное среднее значение вектора спина = ⟨⟩), – энергия нейтрино.В результате радиационная поправка к массе ДН во внешнем поле приобретает вид∫ ∞∫ 2 2 1Δ = exp {− [1 − (1 − Λ)]} ×(4)2 2 0 0[]2′′′ −′ 0 −0− ×,(2.17)sh sin где′=0{ ˜ 1 +2′0′= ∣==ϰ=0 = −,}{}+ ϰ2 − 23 − 4 ,0 ′ = ∣2 =1 ,0′ = ′ ∣==ϰ=0 = − (1 − ).Остальные обозначения приведены в формуле (2.10).Как видно из (2.17), радиационная поправка зависит от двух полевыхпараметров , и от динамического параметра ϰ, включающего всю зависимость от импульса нейтрино (см.
(2.11)). Если положить = 0, то (2.17)будет описывать радиационную поправку к массе ДН в магнитном поле, аслучай = = 0 (но ϰ ∕= 0) означает переход к скрещенному полю (E⊥H,∣E∣ = ∣H∣) [231].Инварианты ˜ и являются, как легко проверить, среднимизначениями спиновых матриц 21 и 12 ˜ в состоянии (, ) [290].Поэтому слагаемые в (2.17), пропорциональные ˜ и , обусловлены взаимодействием аномального магнитного момента (АММ) нейтрино и68аномального электрического момента нейтрино (АЭМ) с внешним полем.
Этислагаемые связаны с АММ и АЭМ следующими соотношениями: ˜ ˜Re Δ ( ) = , Re Δ ( ) = . (2.18)Заметим, что АЭМ нейтрино индуцируется внешним полем: из выражения (2.17) следует, что пропорционален псевдоскаляру ∼ , и поэтому его существование не противоречит T-инвариантности Стандартной модели [13, 14].Слагаемое в (2.17), пропорциональное 3 и содержащее псевдоскаляр , не имеет отношения к взаимодействию аномальных моментовнейтрино с внешними полями.
Оно обусловлено несохранением пространственной четности в слабых взаимодействиях (см. [13, 14, 20, 53, 293]) и привысоких энергиях ≫ сводится к проектору (1 − n)/2 на левую спиральность нейтрино (n = p/ ∣p∣).2.2.3. Аномальный магнитный момент во внешнем полеВзаимодействие АММ нейтрино с внешним полем описывает в выражении(2.17) слагаемое, пропорциональное ˜ . Исследуем его подробнее.Прежде всего заметим, что в ряде случаев интегрирование в (2.17) можнопровести точно.
Рассмотрим вначале случай, когда в специальной системеотсчета (E∥H∥) нейтрино движется вдоль направления E∥H. Тогда поперечный импульс ⊥ = 0, = /0 , = /0 , а параметр ϰ принимаетминимальное значение ϰmin = 1/2 (см. (2.12)). В итоге, для сдвига массы,обусловленного АММ, находимΔ∫ ∞ ∫ 1 ˜ 2 ×= (4)2 22 2 + 2 0shsin0{[]}sh (1 − ) sh × exp − 1 − (1 − Λ) − × sh }{sin sh × sh (1 + )+ sin (1 + ).(2.19)sin sh В случае слабых полей (, ≪ Λ) основной вклад в интеграл дает областьзначений , когда ≪ 1, ≪ 1, и с учетом (2.18) получаем значение АММ69в слабых полях1) (т.
е. ≪ = 2 /, ≪ 0 = 2 /):{}()4lnΛ = 0 1 + 2 − 2,9Λ2(2.20)где 0 – известное статическое значение АММ в Стандартной модели (см.√формулу (1.35)), = 2 2 /82 – константа Ферми.В случае чисто магнитного поля ( = 0, ∕= 0) из (2.19) следует, что∫ ∞∫ 12sh (1 + )=Λexp {− [1 − (1 − Λ) − (1 − )]} , (2.21)03 0sh 0где мы произвели поворот контура интегрирования по ( → −) с учетомотсутствия особенностей в нижней полуплоскости (Im < 0). Интеграл по в (2.21) вычисляется точно и может быть выражен при помощи логарифмической производной гамма-функции (-функции: () = / ln Γ() [294]):{ [ ([ (∫)])]}1Λ 11 1 = +2+ −−,(2.22)03 02 2 где = 1 − (1 − Λ) − (1 − ). Используя асимптотику функции () прибольших значениях , можно получить из (2.22) результат (2.20) при = 0.Рис. 2.2.
Аномальный магнитный момент нейтрино в зависимостиот напряженности магнитного поля при ⊥ = 0Как видно из (2.20), АММ монотонно растет с ростом напряженностимагнитного поля (см. рис. 2.2). В слабых полях ( ≪ ) АММ возрастает1)Развиваемая нами теория не учитывает возможной нестабильности вакуума относительно рождения+ − -пар [244]. Поэтому, строго говоря, условие ≪ Λ следует заменить на условие ≪ 1 (или ≪ 0 ).70квадратично по напряженности , но с малым численным коэффициентом∼ Λ−1 ≃ ( / )2 ∼ 10−11 . С дальнейшим увеличением напряженностимагнитного поля АММ нейтрино растет более интенсивно:⎧20Λ,0 ≪ − ≪ , ⎨ 3 − ()(2.23)≃0 02− 1 , − ≪ 0 .⎩ Λ ln3 − Таким образом, при приближении напряженности магнитного поля к значению = 2 / = Λ0 ≃ 1,1 ⋅ 1024 Гс АММ нейтрино логарифмически расходится (см.
рис. 2.2). Данная расходимость связана с нестабильностью -бозонного вакуума теории возмущений в полях > вследствиепроявления тахионной моды в спектре энергии -бозона. В полях с напряженностью ≃ может произойти фазовый переход, сопровождаемыйперестройкой структуры -бозонного вакуума теории Вайнберга–Салама–Глэшоу.
В настоящее время все эти вопросы находятся в стадии исследования (см., например, [252–254]), поэтому поведение АММ нейтрино в областисверхсильных полей ( ≳ ) требует особого рассмотрения.Заметим, что АММ нейтрино в полях ≲ исследовался также вработе [283], и там была получена первая асимптотика из (2.23).Рассмотрим далее случай слабых (, ≪ Λ) внешних полей и большихпоперечных импульсов нейтрино ⊥ ≫ . При этом виртуальные состояния электрона и -бозона характеризуются большими значениями квантовых чисел ( ≫ 1), то есть являются квазиклассическими. Тогда можноразложить тригонометрические и гиперболические функции в (2.10), (2.17)и, ограничиваясь главными членами, проинтегрировать по .
В результате сучетом (2.18) находим значение АММ в квазиклассической области:∫ 12=Λ(1+)Υ(),(2.24)03 0где введена Υ-функция (см., например, [231])∫ ∞()Υ() = sin + 3 /3 ,(2.25)0аргумент которой = [ϰ(1 − )]−2/3 , переменная определена в (2.22).71Из формулы (2.24) следует, что значение АММ зависит от единственного инвариантного параметра ϰ. Таким образом, фактически мы перешли коднопараметрической задаче (, ≪ ϰ), т.
е. – к скрещенному полю (E⊥H).При ϰ ≪ Λ аргумент Υ-функции ≫ 1 и, используя ее асимптотику прибольших значениях аргумента [295], находим4 2 ln Λ≃1+ϰ 3 .03Λ(2.26)В другом предельном случае ϰ ≫ Λ3/2 в формуле (2.24) можно положитьΥ() ≃ Υ(0) = Γ(1/3)/ (2 ⋅ 32/3 ) и тогда35/6 Γ4 (1/3) Λ≃.020ϰ 2/3(2.27)В промежуточной области Λ ≪ ϰ ≪ Λ3/2 , используя стандартные интегралыс функцией Υ(), получаем}{8 ϰ2ln 3 173≃1−+,(2.28)ln ϰ − ln Λ − −03 Λ3226где = 0,557 .
. . – постоянная Эйлера [294].Рис. 2.3. Аномальный магнитный момент нейтрино в зависимостиот ϰ = [−( )2 ]1/2 /0 Сравнивая поведение функции (ϰ) с поведением АММ электрона притех же условиях (слабые поля и большие поперечные импульсы) [229,231,261],72мы видим, что в отличие от монотонного убывания АММ электрона с ростомϰ от швингеровского значения /2(/2 ) АММ нейтрино вначале возрастает от вакуумного значения 0 по закону (2.26), (2.28), достигает максимального значения при ϰ ≃ 0,12 Λ3/2 , а затем убывает по тому же закону(∼ ϰ −2/3 ), что и для электрона (см. рис. 2.3).В заключение заметим1) , что асимптотика АММ (2.28) была приведенаеще в [296–298] (см.
также [299]), тем не менее, она была получена зановов [284].2.2.4. Уравнение для волновой функции дираковскогонейтрино в слабом внешнем полеОбратимся снова к уравнению (2.9). Осуществим переход к пределу слабых полей ( ≪ 1, ≪ Λ) и импульсов нейтрино, определяемых соотношением ϰ ≪ Λ, непосредственно в массовом операторе (2.10). Заметим, что приэтом импульс нейтрино может быть большим: ⊥ ≫ (если ≲ 1).В результате оказывается, что массовый оператор имеет следующую общую структуру:( ) ˜ (2) (0)(1) +ℕ.(2.29) (, ) = ℕ + ℕ002В выражение (2.29) входят три коэффициента: ℕ(0) , ℕ(1) и ℕ(2) (см.
также[289]), которые в рассматриваемом приближении принимают вид()221()111ln Λ +,(2.30)ℕ(0) = −(4)2 6 02 Λ242 3 1(1)ℕ =−,(2.31)(4)2 2 Λ()2213ℕ(2) = −ln Λ +.(2.32)(4)2 3 Λ24Заметим, что выражение для ℕ(2) (2.32) было впервые получено нами в работе[280] в связи с расчетом массового оператора майорановского нейтрино (см.1)В недавно опубликованной работе [285] вновь получены результаты, подтверждающие формулы (2.20)и (2.23).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
