Диссертация (1097698), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тем не менее, несмотря на малую величину,электрический заряд нейтрино может привести к наблюдаемым следствиям,например, к поляризационному или к черенковскому излучению нейтрино всреде [224].1.3. Учет влияния внешнего поляи конечной плотности среды1.3.1.
Введение внешнего поляИсследование взаимодействия массивных нейтрино с интенсивным внешним электромагнитным полем в настоящей диссертации основано на применении «метода точных решений», который предполагает знание точныхрешений релятивистских волновых уравнений, в частности, уравнения Дирака, а также точных пропагаторов заряженных частиц в соответствующихконфигурациях внешних полей.Основы данного метода были заложены в начале 50-х годов прошлого века в работах А. А.
Соколова, Н. П. Клепикова и И. М. Тернова, посвященныхпостроению квантовой теории синхротронного излучения1) [227,228]. В дальнейшем этот метод был развит и применен к исследованию других процессовв квантовой электродинамике в присутствии внешних полей [229,230]. Существенный вклад в развитие данного метода был сделан в работах В.
И. Ритусаи А. И. Никишова [231–233], В. Н. Байера с сотрудниками [234], а также Ю. М.Лоскутова и В. В. Скобелева [235, 236]. Важное значение имело применениеэтого метода к исследованию теории -распада, а также других электрослабых процессов в рамках теории Вайнберга–Салама–Глэшоу [230, 237–240]. В1)Здесь и ниже мы будем ссылаться преимущественно на монографии и обзоры, ознакомившись скоторыми, можно найти ссылки и на оригинальные работы.51настоящее время метод точных решений успешно применяется для описаниявзаимодействия частиц с сильными электромагнитными полями, существующими внутри кристаллов [241], а также в теории сильновзаимодействующейматерии (кварк-глюонной плазмы) в интенсивном магнитном поле [242].В квантовой электродинамике рассматриваемый нами метод известен также под названием представления Фарри по имени автора статьи [243], который показал, что формализм Фейнмана–Дайсона можно обобщить на случай,когда электрон не свободен, а находится в связанном состоянии.
Итак, в рамках квантовой электродинамики идея данного метода состоит в следующем.Предполагается, что четырехмерный потенциал электромагнитного поля можно представить в виде суммы двух слагаемыхrad = ext + .Здесь слагаемое ext описывает внешнее (классическое) электромагнитноеполе, которое учитывается точно, т.
е. через решение уравнения Дирака дляэлектрона в данном внешнем поле (напомним, что – модуль заряда электрона){ ()} ∂ − ext−(1.44) Ψ() = 0,а rad – квантовое электромагнитное поле излучения, которое учитываетсятрадиционным образом по теории возмущений.Обобщение стандартной схемы вторичного квантования на случай наличия внешнего поля сводится к тому, что вторично-квантованные операторыэлектрон-позитронного поля теперь раскладываются не по плоским волнам,а по полной системе решений уравнения Дирака во внешнем поле (1.44):}∑ {(+)(−)(+)− (−) Ψ () = Ψ (r, ) = (r) + (r) ,(±)где (r) – координатные части решения уравнения Дирака во внешнемполе, относящиеся к положительно- и отрицательно-частотным состояниям,{} – набор квантовых чисел, необходимых для описания состояния дираковского электрона в данном внешнем поле.Для расчета конкретных физических эффектов в картине Фарри можно использовать диаграммную технику Фейнмана.
При этом в начальном иконечном состоянии электрон находится во внешнем поле, и его состояние52описывается решением уравнения Дирака (1.44) в этом поле. Внутренняяэлектронная линия соответствует фейнмановскому пропагатору (причиннойфункции Грина) (, ′ ) электрона во внешнем поле (, ′ ) = −⟨0∣TΨ() Ψ(′ ) ∣0⟩,который является решением неоднородного уравнения Дирака{ ()} ∂ − ext− (, ′ ) = (4) ( − ′ ).(1.45)(1.46)Начальные, конечные и промежуточные состояния электрона во внешнем поле, традиционно изображаются на соответствующих диаграммах Фейнманав виде двойных (или «жирных») внешних и внутренних линий.Заметим, что рассматриваемый нами подход непосредственно может бытьприменен только для такого класса внешних полей, в которых допустимаодночастичная интерпретация уравнения Дирака, и вакуум теории является стабильным относительно рождения электрон-позитронных пар (а также, возможно, и других пар заряженных частиц) [229, 230, 240]. В частности,можно показать, что вакуум в постоянном магнитном поле, в поле плоскойэлектромагнитной волны, а также в постоянном скрещенном поле (E⊥H,∣E∣ = ∣H∣) остается устойчивым по отношению к спонтанному рождению парпри любых значениях напряженностей полей.
Присутствие внешних полей,способных рождать пары из вакуума, приводит к необходимости модификации S-матричного формализма теории, соответствующие модификации проводились различными авторами (см. [240, 244] и приведенные там ссылки).Метод точных решений чрезвычайно важен, поскольку с его помощьюфактически можно рассмотреть поля произвольной напряженности. Например, в случае движения частицы в магнитном поле в силу устойчивости вакуума можно рассматривать значения напряженности поля, превышающиетак называемое швингеровское критическое значение1) [245]0 = 2 3 /ℏ = 4,41 ⋅ 1013 Гс.(1.47)Интересно сравнить встречающиеся в природе значения напряженностимагнитного поля со швингеровским значением (1.47).
Наиболее сильные маг1)При достижении электрическим полем столь же большой напряженности, т. е. = 0 = 2 3 /ℏ == 1,3 ⋅ 1016 В/см, вакуум становится нестабильным относительно рождения + − –пар, и одночастичнаяинтерпретация теории не может быть сохранена.53нитные поля, получаемые на Земле в лабораторных условиях путем взрывного сжатия магнитного потока, достигают напряженности (2,0−2,8) ⋅ 107 Гс[246]. Гораздо более сильные поля можно встретить в различных астрофизических условиях. Типичное значение напряженности магнитного поля вблизиповерхности нейтронной звезды составляет ∼ 1012 Гс [247], а поля магнитаров, открытых в 1990 годах, (специальный класс нейтронных звезд, обладающих экстремально сильными магнитными полями) достигают величины1014 −1015 Гс [247, 248].Но, вероятно, самые большие значения напряженности полей возникаютвсе-таки в земных условиях в экспериментах по столкновениям ультрарелятивистских тяжелых ионов на коллайдерах RHIC (Relativistic Heavy IonCollider, Брукхейвен) и LHC (Большой Адронный Коллайдер, ЦЕРН) [249].Например, в эксперименте STAR (Solenoidal Tracker At RHIC) производятсястолкновения ионов золота Au + Au при энергии 200 ГэВ на нуклон.
Приэтом в объеме столкновения (линейный размер ∼ 10 фм = 10−12 см) и в течение времени ∼ 5 фм/ = 1,7 ⋅ 10−23 с возникает экстремально сильное электромагнитное поле, напряженность которого оценивается, как 0 ( / )2 ≃≃ 1018 Гс [249] (здесь ≃ 140 МэВ – масса -мезона [7]). Напряженности полей, возникающих во время аналогичных экспериментов на LHC, могут бытьдаже на порядок выше, т. е. ∼ 5 ⋅ 1019 Гс. Таким образом, рассматриваемыеэксперименты могут оказаться уникальной лабораторией по проверке многихпредсказаний, сделанных в рамках метода точных решений.При теоретических исследованиях в космологии и в астрофизике раннейВселенной рассматриваются электромагнитные поля самых различных напряженностей [250, 251]: начиная со слабых полей, имеющих напряженность∼ (10−10 −10−11 ) Гс (и ниже), существующих в межгалактической среде, и заканчивая экстремально сильными полями напряженностью ∼ (1020 −1024 ) Гс,существовавшими, вероятно, в эпоху «горячей» Вселенной.
В этой связи заметим, что в Стандартной модели электрослабых взаимодействий наряду с(1.47) имеется еще одно критическое значение магнитного поля = 2 3 /ℏ = 0 ( / )2 = 1,1 ⋅ 1024 Гс,(1.48)где ≃ 80,4 ГэВ – масса -бозона [7]. Предполагается, что в поляхс напряженностью ≃ происходит фазовый переход с образованием54 -бозонного конденсата, сопровождающийся перестройкой вакуума теориивозмущений и переходом -бозонов в сверхпроводящее состояние. При достижении магнитным полем напряженности ≳ 0 ( / )2 > можетбыть восстановлена спонтанно нарушенная SU(2)-симметрия ( ≃ 126 ГэВ– масса хиггсовского бозона [7]).
Все эти вопросы в настоящее время активноисследуются учеными, см., например, [252–254].Вернемся к обсуждению метода точных решений (ниже мы будем, в основном, полагать что ≪ ). В соответствии с (1.45)–(1.46) выражениедля причинной функции Грина (фейнмановского пропагатора) электрона воднородном магнитном поле можно представить в виде (см., например, [240])∫ +∞∑ () (r) () (r′ )1′(−′ ) (, ) = −,(1.49) 2 −∞ + (1 − ), =±1()где (r) – координатная часть решения уравнения Дирака (1.44) для электрона в постоянном магнитном поле H = {0, 0, } (см., напр., [228]), а уровниэнергии электрона в постоянном однородном магнитном поле (уровни Ландау) определяются формулой [228]√ = 2 + 2 + 2 ,(1.50)где = 0, 1, 2, ...
– главное квантовое число, (−∞ < < +∞) – проекцияимпульса электрона на направление магнитного поля, = ±1 – знак энергии.После вычисления интеграла по переменной выражение (1.49) принимаетизвестный вид (см., например, [229,233]). Пропагатор (1.49) используется нами в главе 5.В главе 2 мы используем другое представление для пропагатора электрона (а также и для пропагатора -бозона) во внешнем поле – в виде однократного интеграла по собственному времени, полученное методом Фока–Швингера [245, 255].
Выражения для пропагаторов приведены в разделе 2.1.Необходимо упомянуть и еще об одном представлении для пропагатораэлектрона в однородном магнитном поле [256, 257], в котором явно выделенаполюсная структура (иногда данное представление называют «разложениемпо уровням Ландау»):∫4 −(−′ )′′ (, ) = (, )(),(1.51)(2)455причем фактор (, ′ ) определен в формулах (2.4)–(2.6), а функция ()имеет вид (магнитное поле, как и всегда, направлено по оси )( 2 )∑∞ (, )⊥() = exp(−1) 2,(1.52) =0∥ − 2 − 2где функции (, ) определены соотношениями{( 2 )⊥ (, ) = [()∥ + ] (1 − Σ3 ) 2−( 2 )}( 2 )(1)⊥⊥− (1 + Σ3 ) −1 2+ 4 ()⊥ −1 2.(1.53)В (1.52)–(1.53) использованы следующие обозначения: ∥ и ⊥ – продольнаяи поперечная компоненты 4-импульса, т.
е. 2∥ = 20 − 23 , 2⊥ = 21 + 22 ,()∥ = 0 0 − 3 3 , ()⊥ = 1 1 − 2 2 , Σ3 = 1 2 (см. (А.6));1 ( + − ) ! – присоединенные полиномы Лагерра. Как видно из формулы (1.52), полюсы пропагатора в точности соответствуют уровням Ландау релятивистскогоэлектрона (1.50).Из выражения для пропагатора следует, что при выполнении условия− () () = 2∥ − 2 ≪ 2(1.54)в сумме в (1.52) будет доминировать вклад слагаемого с = 0. Таким образом, виртуальные электроны будут при этом занимать преимущественноосновной уровень Ландау (1.50) с главным квантовым числом = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
