Диссертация (1097698), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Вероятность рождения пар в контактном приближенииПрежде всего рассмотрим случай сравнительно малых передач импуль 2са ≪ 2 (низкоэнергетическое контактное приближение Стандартноймодели), который реализуется при условии ϰ ≪ Λ . В выражении (4.14)переход к контактному приближению означает переход к пределу → 0,т. е. собственное время промежуточного -бозона должно стремиться к нулю. После перехода к контактному пределу результат можно представить ввиде двукратного интеграла от функции Эйри и связанных с ней функций(4.5), зависящих от аргумента = [ϰ (1 − )]−2/3 :] ∫1√ [∫12532 конт ( → + − ) =1−ϰ 2 (1 − )×49 (4) 2 0{[]0}− 2 − 4 − [Φ′ () + Φ1 ()] 2 ×1(1 − ){] )([}( 2( 2))1222× 2 + 2 + 3− 2 + 4 − 3 − (6 − ) .
(4.15)(1 − )[] 1Фактор 2 1 − , как говорилось выше (см. (4.6)), связан с несохранением четности в слабых взаимодействиях и при ≫ трансформируетсяв проектор на левую спиральность нейтрино. Присутствие данного фактора в выражениях для вероятности (4.15) и (4.14) означает, что эффективноучаствовать в распаде может только левое нейтрино, распад правого нейтрино сильно подавлен.Рассмотрим асимптотики выражения (4.15).
В случае малого значениядинамического параметра ϰ ≪ 1 (слабые поля и не слишком большие энергии()× 4 2 + 2 Φ1 () 42 + 3126нейтрино) на основании выражения (4.15) находим[]52√1( → + − ) ≃ 33 61−×(16) 2 ()[ ( 2)()]8× ϰ 4 exp −8 + 2 − 5 2 − 2 .3ϰ(4.16)Экспоненциально малая величина вероятности характерна для всех процессов во внешнем поле, имеющих порог [231,234] (ср. с (4.7)), а предэкспоненциальный множитель ϰ 4 появляется вследствие резкой зависимости фазовогообъема трех частиц от полной энергии системы [231].В другом предельном случае, когда ϰ ≫ 1 (но ϰ ≪ Λ ), из выражения(4.15) получаем1)[] 2 5 1+ −1−×( → ) ≃2(3)3 2 )(( 2)29ln3× + 2 ϰ 2 ln ϰ − −,(4.17)−224где = 0, 5772 – постоянная Эйлера [294].Из формулы (4.17) видно, что с увеличением энергии начального нейтрино вероятность рождения пары должна расти, что и демонстрируется нарис. 4.3 (в скрещенном поле E⊥H⊥, ∣E∣ = ∣H∣ = , и, следовательно,ϰ = ( − )/( 0 )).
Данный факт свидетельствует о нарушении унитарности при использовании четырехфермионного взаимодействия, к которомумы эффективно перешли в формуле (4.15). Поведение вероятностей ∼ ϰ 2 ln ϰпри ϰ ≫ 1 характерно для целого ряда различных процессов во внешнемполе (см., например, [231, 369, 371]) и указывает на то, что контактное приближение неприменимо при высоких энергиях частиц (в нашем случае, при3/2ϰ ≫ Λ ), поэтому необходим учет пропагаторных эффектов и выход запределы контактного приближения, см.
раздел 4.3.3.Завершая данный раздел, заметим, что наши результаты, вообще говоря,согласуются с соответствующими результатами авторов работ [367, 368], которые использовали в своих расчетах контактное приближение теории Вайнберга–Салама–Глэшоу. Тем не менее, в работах [369, 370], а также в появившихся несколько позже статьях [372, 373], была проведена бескомпромиссная1)В наших оригинальных работах [364, 365] в постлогарифмическом члене в формуле (4.17) вместо−29/24 ошибочно было получено слагаемое +5/4. Данная ошибка была исправлена в [363] и [369, 370].127проверка всех имеющихся в литературе результатов по вероятности процесса → + − (в том числе и наших), в результате чего были найдены ошибки, о которых говорится в сноске на с.
126. Наконец, существует также работа [374], в которой авторы исследуют вероятность рождения + − -пар нанизших уровнях Ландау ( = 1−10) в сильном магнитном поле ≫ 0 , приэтом непосредственное сравнение результатов этой работы с нашими затруднительно (поскольку в нашем подходе предполагается, что ≫ 1).4.3.3. Выход за рамки контактного приближенияПоскольку, как мы отметили, контактное приближение непригодно дляописания процессов при высоких энергиях, представляет интерес получитьвысокоэнергетическую асимптотику вероятности рождения + − -пар нейтри3/2но (при ϰ ≫ Λ ) непосредственно из выражения (4.14), не переходя к контактному пределу.Произведя в (4.14) замену переменных согласно11−= ,= 4 2 , = ,(1 − )приведем выражение для вероятности рождения пары к виду[]2′41√1−×( → + − ) =3 (4) 2{∫∞∫∞∫1( 2)22√× ϰ2+ ×(1 + )42 2 − 1010{ ( )[()28 14× 2 Φ()+(2 2 − 1) + 4 +9 (1 + )2 1 + ()]26(1 − )2+(2 − 1) + 4 ++(1 + ) (1 + )2 1 + ( )2[()4 11′2+Φ ()+(8 + 5) + 16 −9 (1 + )2 1 + ()]}(1 − )13−8+(2 2 − 1) − 2−2(1 + ) (1 + )1+( )3([)]}2( 2)16 (1 − )1− − 2Φ() 6 −−6, (4.18)3 1+(1 + ) 1 + 128где аргумент функций Эйри имеет вид)2/3 [](Λ 1 4 21+1+,=ϰ 1−4 2 ] [ 2=+ Λ .1+Воспользуемся далее представлением функции Эйри и ее производной припомощи интегрального преобразования Меллина [375]:1 11Φ() = √4 3 2+∞∫3 − 32 + 21) () 1 1−Γ+,Γ2 62 6(1Re > .
(4.19)3−∞В приближении Λ /ϰ 2/3 ≪ 1 аргумент функций Эйри примет вид()2/34 1+Λ ≃, ≃ Λ.ϰ 1−4 1+(4.20)После перехода к представлению (4.19) и к приближению (4.20) открываетсявозможность легко вычислить интегралы по переменным , и . Интегралпо комплексной переменной равен сумме вычетов подынтегральной функции внутри контура интегрирования. В силу условия Λ /ϰ 2/3 ≪ 1 контурнеобходимо замкнуть в левой полуплоскости.
В итоге мы находим [364, 365][])17 2 5 ( 23/2 1+ −√( → ) ≃ϰΛ1− + 2 . (4.21)256 3 2 Полученное нами выражение (4.21) – асимптотика вероятности рождения3/2+ − -пар нейтрино при ϰ ≫ Λ – лишено отмеченных недостатков выражения (4.17), поскольку теперь при → ∞ вероятность процесса выходитна константу (см. рис. 4.3). Следует отметить, что линейная зависимость вероятности от параметра ϰ при больших значениях ϰ характерна для целогоряда процессов во внешнем поле с участием частиц с целыми значениями спинов (в частности, для рассмотренного нами в разделе 4.2 процесса распаданейтрино на на + -бозон и электрон (см. также [279, 354]).4.3.4.
Обсуждение результатов и выводыОбщий ход зависимости вероятности процесса → + − от параметра ϰдля различных значений напряженности внешнего поля приведен на рис. 4.3.Так же, как и в случае распада → + − (см. раздел 4.2.2) наглядно виден129резкий рост вероятности процесса при больших значениях энергии нейтри3/2но.
С этой точки зрения наиболее интересен случай ϰ ≫ Λ , описываемыйасимптотикой (4.21) и реализующийся для нейтрино очень высоких энергий,присутствующих в космических лучах [361]. В таких условиях и при наличии сильных внешних полей процесс рождения электрон-позитронных парпревращается в один из наиболее эффективных механизмов потерь энергиивысокоэнергетичными нейтрино.Рис. 4.3.
Вероятность рождения + − -пар в магнитном поле в зависимости от ϰ = (/0 )(/ ). (1): = 10−3 0 , (2): = 0,1 0 ,2 5 √(3): = 10 0 . (Здесь 0 = (16)6 ≃ 4 ⋅ 10−7 с−1 )33Как и в разделе 4.2.2, принимая для оценки, что ≃ 0 , энергия нейтрино ≃ 1022 эВ, находим из выражения (4.21), что вероятность распада( → + − ) ≃ 1,3 ⋅ 1011 с−1 , причем данная величина вероятности соответствует времени жизни + − ≃ 7,5 ⋅ 10−12 с, что всего только на три порядкапревышает время жизни для распада → + − , определенное при тех жесамых условиях в разделе 4.2.2.130Сравним вероятность рассматриваемого процесса → + − во внешнем поле с вероятностью рождения пары в кулоновском поле ядра (, ),где – заряд ядра, – его массовое число: +(, ) → +(, )++ +− .Для отношения вероятности процесса → + − , рассчитанной по формуле (4.17) (мы считаем нейтрино неполяризованным), к вероятности привысоких энергиях [13], но в области применимости контактного приближенияСтандартной модели, находим( )21== ()−1(¯ )−1 ,(4.22)6 0где ¯ = ℏ/ , = 2 /ℏ, – плотность ядер, = −1/3 , – массапиона.
Здесь мы имеем в виду важный для астрофизических приложенийслучай чисто магнитного поля.Положим для оценок ≃ 0,1 0 ; = 26, = 56 (железо, т. е. 56 Fe), = 1027 см−3 , что соответствует условиям на поверхности нейтронной звезды [247]. В результате из формулы (4.22) мы получаем оценку: ≃ 10. Этоозначает, что макроскопическое магнитное поле – более эффективный источник энергетических потерь для нейтрино, нежели металлическое железо [365].
Пусть энергия нейтрино равна = 5 ПэВ [341] (при этом ϰ ≪ Λ ,т. е. применима формула (4.17)). Тогда радиационная длина при указанныхвыше значениях параметров будет равна = / ≃ 100 м,что на два порядка меньше типичного значения радиуса нейтронной звезды ≃ 10 км.И в завершение текущего раздела сравним вероятности рассмотренных вданной главе процессов во внешнем поле (распада нейтрино на на + -бозони электрон и рождения электрон-позитронной пары нейтрино), как функциидинамического параметра ϰ (см. рис. 4.4). На рисунке изображен общий ходзависимости вероятности процессов от параметра ϰ при значении внешнегополя ≃ 0,1 0 .Из рисунка видно, что обе реакции обладают характерным пороговымповедением в случае малых значений параметра ϰ, причем энергетическийпорог реакции → + − лежит выше, чем порог рождения + − -пар.
В об-131ласти больших значений ϰ вероятность процесса → + − характеризуется более интенсивным ростом и в итоге превышает вероятность рожденияэлектрон-позитронных пар.Рис. 4.4. Вероятности распада → + − (кривая 1) и рождения+ − -пар нейтрино (кривая 2) во внешнем поле в зависимости отϰ = (/0 )(/ ). (Здесь = 0,1 0 , обе вероятности нормированы2 5 √на величину 0 = (16)6 ≃ 4 ⋅ 10−7 с−1 )333/2В области ультрарелятивистских энергий нейтрино при ϰ ≫ Λ обезависимости выходят на константу, причем максимальное значение вероятности процесса распада нейтрино на + -бозон и электрон приблизительнона три порядка превышает максимальное значение вероятности рожденияэлектрон-позитронных пар (при одном и том же значении напряженностивнешнего поля, см.
рис. 4.4).Глава 5Радиационный распад нейтрино взамагниченном электронном газе5.1. ВведениеРадиационный распад нейтрино представляет собой процесс, при которомтяжелое нейтрино переходит в более легкое с излучением фотона, то есть → + . Процесс радиационного распада может реализоваться толькопри наличии масс и смешивания нейтрино.В соответствии с идеей смешивания нейтринные состояния с определенными ароматами (флейворные нейтрино, непосредственно участвующие в слабых взаимодействиях, т.
е. , , ) представляют собой линейные суперпозиции состояний нейтрино с определенными массами (1 , 2 , 3 ):∑ = ,где – унитарная матрица смешивания нейтрино (матрица Понтекорво–Маки–Накагавы–Сакаты [42, 43, 46], см. (1.5)). Недавние наблюдения осцилляций нейтрино в нескольких экспериментах (см., например, [20, 53] и раздел 1.1) уверенно подтверждают как существование масс у нейтрино, так иналичие смешивания в нейтринном секторе теории электрослабых взаимодействий.При наличии смешивания тяжелое массивное нейтрино может распадаться с образованием более легкого нейтрино [6,21]. В зависимости от массы начального нейтрино данный распад может идти по различным каналам.
Наиболее часто обсуждаются следующие каналы распада массивных нейтрино:а) → + + + − ,в) → + + ¯,б) → + ,г) → + ,133где и описывают нейтринные состояния с определенными массами (причем > ). В случае г) распад идет с рождением майорона – голдстоуновского бозона, нарушающего закон сохранения лептонного заряда[376, 377] (см. также раздел 2.3.2). В связи с недетектируемостью майоронаи существенными трудностями при регистрации трех нейтрино в конечномсостоянии [378] распады, идущие по каналам в) и г), часто называют «невидимыми распадами». Распад тяжелого нейтрино по каналу а) может реализоваться в вакууме в том случае, если масса начального нейтрино превышаетпорог рождения электрон-позитронной пары ( > 2 ≃ 1 МэВ) [379].Распад массивного нейтрино, идущий по каналу б), называется радиационным распадом нейтрино и вызывает неизменный интерес со стороны исследователей – как теоретиков, так и экспериментаторов [21,90].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
