Диссертация (1097698), страница 30
Текст из файла (страница 30)
также [447]). Итак, ниже мы будем предполагатьналичие только одного аромата нейтрино (электронное нейтрино) и отсутствие смешивания нейтрино (при этом состояние нейтрино с определеннымароматом является также и состоянием с определенной массой). Будем такжесчитать, что среда состоит из одних электронов (обобщение результатов наслучай вещества, имеющего более сложный компонентный состав, не создаетпринципиальных трудностей, см. ниже).Рассмотрим произвольное движение нейтрино в среде. Наряду с движением нейтрино среда также может двигаться, как целое, относительно лабораторной системы отсчета. Движение среды «как целого» означает, чтосуществует система отсчета, движущаяся относительно лабораторной со скоростью v , в которой можно определить равновесную статистическую функцию распределения (, ) (см. ниже) и в которой среднее значение импульсачастиц среды (с учетом этой функции распределения) равно нулю.
Даннуюсистему отсчета будем называть системой отсчета среды.Рис. 6.1. Диаграммы, описывающие когерентное рассеяние нейтрино на электронах среды: (а) вклад заряженноготока, (б) вклад нейтрального тока. Крестики на концах линий означают, чтоэлектроны принадлежат среде.Распространение нейтрино сопровождается упругим когерентным рассеянием на частицах среды. Рассмотрим вначале взаимодействие нейтрино с единичным электроном среды.
Электронное нейтрино взаимодействует с электронами как через заряженный (диаграмма на рис. 6.1а), так и через нейтральный ток (диаграмма на рис. 6.1б).Вкладу заряженного тока (CC) в процесс рассеяния отвечает следующаяамплитуда:2 ∫CC(¯ (′ ) (′ )) (¯() ()) (, ′ ) 4 4 ′ ,(6.4) =−2161где (, ′ ) – пропагатор -бозона, () (¯ ()) и () (¯()) – волновыефункции соответственно начального (конечного) нейтрино и начального (ко()нечного) электрона, = 21 1 + 5 .Далее пропагатор -бозона мы «стягиваем в точку», т. е. считаем, что (, ′ ) ≃ (4) ( − ′ ),2(6.5)тем самым мы эффективно переходим к контактному четырехфермионному пределу Стандартной модели, рассматривая случай относительно невысоких энергий нейтрино.
(В импульсном представлении контактному прибли жению (6.5) соответствует условие 2 ≪ 2 , т. е. мы пренебрегаем квадратом 4-импульса промежуточного -бозона.) После этого выражение (6.4)принимает вид∫() 2CC = − 24 (¯ () ()) ¯() () =2√ ∫ 4())((6.6) () ()) ¯() 1 + 5 () ,= − 2 (¯причем в последнем равенстве мы использовали преобразование Фирца, а√также учли, что = 2 2 /82 .Подставим теперь в (6.6) нейтринные и электронные волновые функциив виде плоских волн (с положительным знаком энергии, см.
(2.37)): () = ()− ,() = ( )− ,где = (2 )−1/2 и = (2 )−1/2 – стандартные нормировочные множители, – нормировочный объем. Полагая далее, что 4-импульс электрона не изменяется в результате взаимодействия с нейтрино (в соответствии сусловиями когерентного рассеяния, см. раздел 6.1), из выражения (6.6) получаем√CC=−2 ¯ ¯ (2)4 (4) (′ − )×(())× (¯ (′ ) ()) ¯ ( ) 1 + 5 ( ) , (6.7)где и ′ – 4-импульсы начального и конечного нейтрино.
Из выражения (6.7)видно, что 4-импульс нейтрино также не изменяется в процессе рассеяния,как и должно быть при когерентном рассеянии (см. раздел 6.1).162Вкладу нейтрального тока в процесс рассеяния нейтрино на электронах(диаграмма на рис. 6.1б) отвечает амплитуда NC , которая после преобразований, аналогичных проведенным в (6.4)–(6.7), приобретает следующий вид:4 (4) ′NC = √ ¯ ¯ (2) ( − )×2([ ()])× (¯ (′ ) ()) ¯ ( ) 1 − 4 sin2 + 5 ( ) , (6.8)где – угол Вайнберга.
Полная амплитуда когерентного -рассеяния дается суммой вкладов (6.7) и (6.8):√CCNC = + = − 2 ¯ ¯ (2)4 (4) (′ − )×([ ()])11× (¯ (′ ) ()) ¯ ( ) + 2 sin2 + 5 ( ) . (6.9)22[()]Выражение = ¯ ¯ ( ) 21 + 2 sin2 + 12 5 ( ) представляет собой электронный ток, который нужно усреднить по статистическомураспределению электронов среды, то есть∫ → ⟨ ⟩ = 3 ( , ) ,где ( , ) – функция статистического распределения по энергиям электронов , которая зависит от температуры электронной среды [20] и нормирована условием∫3 ( , ) = 0 ,где 0 – плотность электронов среды, а 0 – полное число электронов. Какуказывалось выше, для реализации такого усреднения необходимо перейти всистему отсчета среды, потому что функция распределения ( , ) определена именно в этой системе.Поскольку в лабораторной системе (см.
формулы (2.14)–(2.16)) ¯ ¯ ( ) ( ) =, ¯ ¯ ( ) 5 ( ) = −, то с учетом явного вида векторов (4-импульс электрона) и (4-векторполяризации спина электрона) в результате статистического усреднения всистеме отсчета среды (сс) находим〈 〉〈 〉= {0 , 0} ,= {0, 0 } ,(6.10) сс сс163где 0 – плотность электронов в системе отсчета среды, а – трехмерныйвектор средней поляризации электронов среды.Заметим, что левые части выражений в формуле (6.10) обладают трансформационными свойствами соответственно вектора и аксиального вектора.Поэтому, определяя в системе отсчета среды 4-вектор тока электронов среды ∣сс = {0 , 0} и 4-вектор поляризации среды ∣сс = {0, 0 } и осуществляя затем преобразование Лоренца к лабораторной системе отсчета, котораядвижется относительно системы отсчета среды со скоростью −v , получаемв ней следующие выражения для 4-тока электронов среды: = { , v }и 4-вектора поляризации среды:{ =√ v ( v )√ ( v ) , 1 − 2 +1 + 1 − 2(6.11)}.(6.12)Здесь = 0 – плотность электронов в лабораторной системе отсчета,v – скорость системы отсчета среды относительно лабораторной системы()−1/2отсчета, = 1 − 2– лоренцевский фактор.
Тем самым, среда будетхарактеризоваться двумя четырехмерными векторами: и .Вернемся теперь к выражению (6.9) для амплитуды (единичного) рассеяния нейтрино на электроне. Наши результаты (6.10)–(6.12) показывают, что врезультате усреднения по статистическому распределению электронов средыамплитуда (6.9) фактически переходит в амплитуду когерентного рассеяниянейтрино на электронах среды:4 (4) ′ → med (′ ) ()) = = − ¯ (2) ( − ) (¯∫∫= − ⟨ ∣ 4 (¯ () ()) ∣⟩ = ⟨ ∣ 4 ℒeff ∣⟩ ,(6.13)где)] [( = √1 + 4 sin2 − .(6.14)2В итоге из соотношения (6.13) получаем окончательно выражение для эффективного лагранжиана, описывающего когерентное взаимодействие нейтриносо средой:()()1ℒeff = − ¯() 1 + 5 () ,(6.15)2164причем – 4-вектор, определяемый формулой (6.14) (см.
[277,449,450], а также [276]). Выражение для эффективного лагранжиана (6.15) справедливо приотносительно невысоких энергиях нейтрино (см. обсуждение в разделе 6.1) инизких температурах среды (по крайней мере ≪ , см. [444]).Варьируя нейтринное слагаемое в лагранжиане Стандартной модели (2.2)с дополнительным членом ℒeff (в соответствии с (6.15)), получаем модифицированное уравнение для дираковского нейтрино, движущегося в среде:{}1 ∂ − (1 + 5 ) − Ψ() = 0.(6.16)2Это наиболее общее уравнение, описывающее движение дираковского нейтрино (ДН) в среде, причем потенциал = 21 (1 + 5 ) учитывает взаимодействие нейтрино со средой через заряженный и нейтральный токи, а такжевозможные эффекты, связанные с движением и поляризацией самой среды.Заметим, что модифицированное уравнение Дирака в виде (6.16) быловпервые получено нами в работе [277] (см.
также [421] и [278, 420]). Тем неменее, другие виды модификации уравнения Дирака, учитывающие различные варианты взаимодействия нейтрино с внешней средой, рассматривалисьи ранее [272, 451–463] при исследовании дисперсионных соотношений, механизмов генерации масс нейтрино и нейтринных осцилляций в среде.Напомним, что модифицированное уравнение Дирака (6.16) и эффективный лагранжиан (6.15) были получены нами в предположении, что электронное нейтрино движется в среде, состоящей только из электронов.
Обобщениевыражений (6.16) и (6.15) на случай более сложного состава среды (и надругие нейтринные ароматы) проводится следующим образом. Рассмотрим,например, более реалистический случай, когда среда состоит из электронов,протонов и нейтронов, тогда четырехмерный вектор , входящий в (6.15) и(6.16) примет вид (см. также [276, 464]))√ ∑ ( (1) (2) + ,(6.17) = 2 =, , где(1)( )(2)( ) = (3 − 2( ) sin2 + ), = −(3 + ),{{1, если = ,1, если = , = =0, если = , ,0, если = , .(6.18)165( )Здесь 3 – третья компонента изоспина фермиона среды сорта (где == , , ), ( ) – величина его электрического заряда.
Конкретные значения( )3 и ( ) для электронов, протонов и нейтронов приведены в таблице 6.1.Таблица 6.1. Значения третьей компоненты( )изоспина 3 и электрического заряда ( )для частиц среды [276].( )3 −1/2( )−11/21 −1/20Макроскопические величины и представляют собой 4-векторы тока иполяризации фермионной компоненты среды , зависящие от плотности ,скорости системы отсчета v , в которой средняя скорость фермионов сорта равна нулю, а также от усредненного вектора поляризации фермионов вуказанной системе отсчета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
