Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Обозначим через Фьм, параметрическую сеть, полученную ограничением отображения Ф на С„,. Определим границу параметрической сети Ф;,, Положим: дС10ь = (дьСьмь) ь~ (дС п~ С.'1ьс). 2.2. Локально минимальные сети. 109 Другими сшовами, множество дС;";„, -- это объединение множества всех вершин графа С,";„, образы которых при проекции х лежат на границе окрестности Г, и множества всех вершин из С,*... являющихся граничными для сети Ф. Определим границу Ди сети Флмь как ограничение отображения Ф на множество дС~, „. Определение. Параметрическую сеть Ф;„, с границей Щьь: дС;мь — ь И' назовем сальной лоха ьной сетью длл Ф. Замечание.
Как и в случае слабых локальных сетей, рассмотрим наименьшее замкнутое подмножество Я(х) в С, содержащее все графы Слм„на которых определены сильно локальные сети фиксированной точки х е С, Ясно, что Я(х) является подграфом в С, состоящим из всех ребер графа С, переходящих в у = я(х) при проекции я, а также из тех ребер графа С, которые смежны с этими ребрами. Ясно, что ограничение Ф на Я(х) не является сильной локальной сетью точки х. Определение. Параметрическая сеть Ф называется сильно локально минимальной, если для любой точки х ос параметризуюшего графа С существует такая сильнал локальная сеть Ф „,, что любая достаточно малая деформация сети Ф;1„, сохраняющая ее границу Змь н не уменьшает длину сети Фл„г ,Ясно,что из сильной локальной минимальности параметрической сети вытекает ее слабая локальная минимальность.
Отметим также, что для погруженных сетей понятия сильной и слабой локальной минимальности совпадают. В дальнейшем мы иногда будем пользоваться термином "локально минимальная параметрическая сеть," не уточняя сильная или слабая локальная минимальность имеется ввиду, если соответствующее утверждение имеет место как для тех, так и для других минимальных сетей. Замечание. Понятие локальной минимальности моькпо было бы определять в терминах "малости носителя" малых деформаций. А именно, сеть называется слабо локально минимальной, если ее длина не уменьшается при любой достаточно малой неподвижной на границе деформации, носитель которой достаточно мал как подмножество параметризующего графа С.
Далее, сеть называется сильно локально минимальной, если ее длина не уменьшается при любой достаточно льалой неподвижной на границе деформации, носитель которой достаточно мал как подмножество объемлющего многообразия И'. Однако, на наш взгляд, язык локальных сетей, во-первых, наглядней, а во-вторых, удобней в техническом отношении. Глава 2.
Минимальныс сети. 110 2.2.3 Локально минимальные взвешенные параметрические сети Пусть С -- взвешенный граф с положительной весовой функцией ш, и Ф; С вЂ” > И' (кусочно-)гладкая параметрическая сеть на римановом многообразии И'. В этом случае, очевидно, на классе параметрических сетей типа С возникает функция 1л, сопоставляющая каждой сети Ф из этого класса ее взвешенную длину.
Более того, каждую локальную сеть параметрической сети Ф можно превратить во взвешенную сеть, приписав ребрам локальной сети веса соответствующих ребер из Ф. Это даат возможность определить взвешенную длину. каждой локальной сети, и, тем самым, понятия си ьно и слабо лок льна минимальной взвешенной параметрической сети дословно повторив соответствующие определения для функционала длины. Функционалы взвешенной длины обладают следующим важным свойством локальной аддитивности. Пусть И~ функционал взвешенной длины, заданный на некотором семействе М параметрических сетей на римановом многообразии И'. Пусть Ф Е М . произвольная параметрическая сеть, и Ф1 ь произвольная сс локальная сеть (сильная или слабая), определенная на графе С1„.
с С. Выбросим из графа С его подмножество См,, и на замыкании полу.ченного множества зададим естественную структуру взвешенного графа, который обозначим через С. Наконец, пусть Ф " это взвешенная параметрическая сеть, порожденная графом С. з'твержденне 2.1 В сделанных преднолозкениях, взвешенная дляно, 1 (Ф) сети Ф равна сумме взвешенных длин локальной сети Ф1„и сети Ф: К„(Ф) = 1„(Фм,) + К,.(Ф). 2.2е4 Локально минимальные сети — следы Пу.сть теперь Г С И' след с границей или без, и х Е Г произвольная его точка.
Рассмотрим произвольную хорошучо окрестность В точки х, существующую в силу утверждения 1,9 главы 1. Напомним, что пересечение хорошей окрестности 11 со следом Г вновь является следом, который мы обозначим через Г,*,. Обозначим через ВГ;~ь пересечение Г с границей окрестности 11, к которому добавлена точка х, в том случае, если х принадлежит границе следа Г.
Другими словами, ВГ~* „— — (Г П дП) 0 1ВГ й П). След Г,*, с границей ВГик будем называть локальным следом для точки х Е Г. 2.3. Классы сетей. Определение. След Г называется локально,минимальнь1м, если у любой его точки т существует такой локальный след 1,*, что любая достаточно малая деформация~ следа Г;„„неподвижная на дГ,*„, не Уменьшает длинУ следа Г~лес. 2.2.5 Общая задача о поиске локально минимальных сетей Пусть М некоторое семейство параметрических сетей или сетей— следов на римановом многообразии ИС Легко видеть, что всякая глобально минимальная сеть из М является локально минимальной в соответствующем смысле. Таким образом, следующая задача является естественным обобщением задачи о поиске в М абсолютно миниманьных сетей. Задача 2.1 (Обобпденная проблема Штейнера) Пусть М вЂ” некоторос семейство сетей на римановом мноеообразии И'.
Описать все локально минимальные сети из М. В пункте 2.3 будут рассмотрены основные стандартные классы сетей, на которых естественно рассматривать обобщенную проблему Штейнера. 2.3 Разные классы сетей разные минимизационные задачи В данном разделе мы опишем основные семейства сетей, па которых естественно ставится обобщенная проблема Штейнера. Сначала мы просто перечислим их, а затем более подробно остановимся на наиболее важных счучаях.
В главе 1 мы ввели в рассмотрение ктассы параметрических сетей и сетеи-.следов на многообразии. При этом, в каждом из этих классов можно рассматривать как подкласс замкнутых сетеи, так и подкласс сетей с фиксированной непустой границей. Таким образом, возникает четыре естественных семейства сетеи: параметрические сети, замкнутые ияи с фиксированной границей, и следы, замкнутые или с фиксированной границей. Для параметрических сетей Ф = 1,'р; Π— ь И') на многообразии И' имеется возможность фиксировать топологию параьеетризукещего Напомним, что все деформации следов оредполагаютсн гладкими и конечного типа. Глава 2.
Минимальные сети. 112 Граница Тип С ) И Параметрические сети фиксирована фиксирована фиксирован фиксирован не фиксирован фиксирована не фиксирован без границы фиксирован без границы без границы фиксирован не фиксирован не фиксирован Сети — следы фиксирована без границы Таб. 2.1: Естественные классы сетей графа С, что удваивает количество классов параметрических сетей (итого, их стало четыре). Кроме того, в отличие от сетей — следов (см.
предложение 1.12), вообще говоря, не для всякой пары параметрических сетей существует непрерывная деформация, переводящая одну из них в другую. Таким образом, фиксирован некоторую параметрическую сетыр: С -+ 'гр, мы можем рассмотреть семейство параметрических сетей, получаемых из сети р непрерывными деформациями. В результате, получим так называемую задачу поиска минимальной параметрической сети фиксированного гомотопического типа. Отметим, что фиксируя гомотопическии тип о: С -+ И' параметрической сети, мы автоматически фиксируем и ее топологический тип С. Возможность фиксировать гомотопический тип параметрической сети приводит к добавлению еще двух различных классов параметрических сетей.
Таким образом, имеется шесть естественных классов параметрических сетей, и два класса сетей следов, см. таблицу 2.1. Для каждого из указанных классов сетей можно поставить одну из двух минимизационных задач: о поиске абсолютно минимальных сетей и о поиске локально минимальных сетей. Итого, получается 16 разных "обобщенных проблем Штейнера', Отметим, что некоторые из этих 16 задач тривиальны, а именно, замкнутые глобально минимальные сети совпадают с точечными сетями.
за исключением случая параметрических сетей с фиксированным нетривиальным гомотопическим типом параметризующсго отображения. В остальных случалх, если в задаче имеется нетривиальное решение, то, в самой общей постановке, поиск этого решения как правило чрезвычайно сложен. Поэтому, чтобы задача стала обозримой, естественно вводить некоторые дополнительные ограничения.
Пре- 2.3. Классы сетей. 113 жде всего, это могут быть условия на топологические и метрические свойства объемлющего многообразия (скажем, односвязность или постоянность кривизны). Вели мы имеем дело с граничной задачей, то также естественными представляя~топ геометрические ограничения на устройство границы рассматриваемых сетей (например, в случае плоскости, свойства выпуклой оболочки границы, или наличие у границы достаточно большой группы симметрий). Основное внимание в даннои работе. как уже отмечалось выше, уделяется изучению локааьно минимальных сетей на плоскости и в евклидовом пространстве К" с теми или иными ограничениями на устройство границ рассматриваемых сетей. В нескольких следующих разделах мы более подробно остановимся на нескольких стандартных задачах минимизации длины сетей.
2.3.1 Замкнутые параметрические сети фиксированного типа Пусть Мо множество всех замкнутых параметрических сетей на римановом многообразии И~, параметризованных фиксированным графом С. На пространстве Мо задача о поиске абсолютно минимальной сети тривиальна: глобально минимальные сети -- это все точечные сети и только они. Задача о поиске локально минимальных сетей в случае семеиства Мо может быть переформулирована так: среди всех параметризованных графом С замкнутых параметрических сетей найти локально минимальньэе сети.
Отметим., что в евклидовом пространстве эта задача тривиальна (так же как и задача об абсолютно минимальных сетях); все замкнутые локально минимальные сети в К" являются точечными. Однако, если изменить метрику в К", или если в качестве объемлющего многообразия й1э взять многообразие с более сяожной топологией, то эта задача уже становится весьма непростой. Пример. Рассмотрим вложение плоскости Кз в трехмерное евклидово пространство Кз в виде поверхности вращения М, изображенной на рис.
2.1. Пусть (г, ~р, з) стандартные цилиндрические координаты, и г = ) (з) уравнение, задающее ЛХ. Выделенная параллель у проходит через точку локального минимума функции 1(з), поэтому у-- геодезическая. Выбрав на у некоторую точку Р, можно представить у как параметрическую сеть Ф с одной вершиной Р и единственным циклическим ребром. Перенеся метрику, индуцированную на ЛХ из Кз, а также кривую у, на плоскость К~, получим не точечную локально минимальную сеть на пяоскости К~ с этой метрикой, Глава 2. Минимальные сети. 114 Рис. 2.1: Не точечная локально минимальная параметрическзл сеть. 2.3.2 Параметрические сети с границей Пусть Мо()л) . множество всех параметрических сетей типа С, затягивающих фиксированное конечное множество М с И' по граничному отображению лл; дС вЂ” л ЛХ с 1Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
