Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

1.4: Перестройка сети, затягивающей вершины прямоугольника Такая перестройка не может быть описана как непрерывная деформация в классе параметрических сетей, зато она, очевидно является таковой в пространстве следов (Аккуратное определение деформации следа см. ниже.). 1.4.2 Граница следа. Замкнутые следы Пусть ЛХ с 14г конечное множество точек, и Г е 7 некоторый след. Скажем, что след Г зитлгиаисш множество ЛХ, если М содержится в Г, рассматриваемом как подмножество в И'. В этом случае множество ЛХ называется границей следа Г, а точки из ЛХ -- граничными.

Пусть Ф: С вЂ” ~ И" произвольная параметризация следа Г, затягиваюшего некоторое конечное множсство М точек многообразия Иг. Для каждой точки т е ЛХ выберем в Ф ~(т) е С произвольную точку и, и построим новый граф С', добавив к множеству вершин графа С точки сн„не являющиеся вершинами из С. При этом ребра из С, на которые попали точки и, разобьются на несколько ребер, Отобра; жение Ф естественно порождает отображение Ф': С' — к Иг, задающее параметрическую сеть, затягивающую множество М.

Таким образом, Глава 1. Обобшенные сети на многообразиях. доказано следующее утверждение. 'Утверждение 1.3 Каждый след, затягиваюи1ий некоторое граничное множество ЛХ, можно параметризовать сетью, зап ягиваютей пьо же граничное множество ЛХ. Из утвсрждсния 1.3 вытекает корректность следующего определения. Определение. Всчи Г след с фиксированной границей ЛХ, то параметризацией следа Г с границей ЛХ будем называть каждую параметрическую сеть из Г, затягиваюшу.ю множество ЛХ. Определение.

След назовем замкнитым, если его граница пуста. 1.4.3 Длина следа Определим теперь длину следа на римановом многообразии Иг. Дяя этого выберем произвольный след т из Т, рассмотрим всевозможные параметрические сети Х Е т, у каждой из них вычислим длину Х(1), и положим Ьт) = шХХ11). Число 11,т) будем называть длиной следа т. Замечание. Отметим, что так определенная длина следа г совпадает с хаусдорфовой мерой следа т, рассматриваемого как подмножества многообразия И'. Зададимся теперь следующим вопросом: для любого ли элемента т из Т можно выбрать такого представителя Х 6 т, длина которого равнялась бы Х(г)? В общем случае ответ отрицательный.

Пример. Рассмотрим на плоскости 11з сеть Г с двумя вершинами 1', и двумл ребрами е,. Фиксируем на Л1а стандартные координаты (х, й), и пусть 1г1 —— (О, 0), 1гг = (1, 0), ребро е1 совпадает с отрезком 1г11г, а ребро ег задается графиком функции р = Х(х), имеющей следующий вид: ~ е 1Хг в1п(к/х), х Е (О, 1), ~о, х=О.

Очевидно, сеть Г гладкая, однако перессчение ее ребер имеет бесконечно много компонент связности. 1.4. Сети — следы. Рис. 1.5: Ребра сети Г пересекаются по бесконечному. набору. отрезков Сеть Г легко модифицировать в сеть Г' так, чтобы каждая компонента пересечения ребер сети Г' состояла не из точки, а из целого замкнутого отрезка (рис. 1.5). Очевидно, в классе эквивалентности ~Г'] е Т сети Г' нс существует представителя, длина которого равнялась бы 1ДГ')), так как пространство Т, по определению, порождено конечными сетями.

(Сгж также утверждение 1.5 ниже.) Тем не менее, во многих случаях, и, в частности, для изучаемых нами минимальных сетей, такого представителя выбрать можно. Более того, среди таких представителей существует и единственен представитель, являющийся вложенной параметрической сетью без фиктивных вершин.

Определение. Вложенная параметрическая сеть Ф е г без фиктивных вершин называется каноническим представителем следа т е Т. ,Ясно,что длина канонического представителя следа т совпадает с длиной самого следа т. В следующем пункте мы более подробно изучим проблему существования и единственности канонического представителя. 1.4.4 Канонический представитель Начнем со следующего утверждения о единственности канонического представителя. утверждение 1.4 Если у сети существует канони ееский предстаеителеч шо он единственен (с точносшъю до деформаиионной эквивалентности а) . Глава 1.

Обобщенные сети на многообразиях. Доказательство. Если у канонического представителя имеется не- граничная вершина степени 2, то, из-за отсутствия у него фиктивных вершин, эта вершина инцидснтна циклическому ребру, являющемуся единственным ребром представителя в силу связности. В этом случае след представляет собой вложенную замкнутую кривую, и все канонические представители, очевидно, различаются лишь расположением их единственной вершины на этой кривой. Ясно. что все такие представители дсформационно эквивалентны.

Пусть теперь у представителя нет неграничных вершин степени '2. Тогда, в силу вьоженности канонического представителя, следы всех его вершин — это, в точности, все граничные точки (если они есть), а также все точки из следа, нз которых выходит Й ф 2 кривых. Ясно, что, тем самым., множество следов вершин представителя определено однозначно. Мы обозначим это множество через Ъ'.

Ясно, что и множество следов всех ребер, как множество связных компонент следа, из которого выброшено множество 1', так же определено однозначно. Это множество кривых мы обозначим через Е. Пусть С граф, вершины которого суть точки множества 1', а ребра кривые из Е. Если Ф: С ь ИИ и Ф': С' — ь И' два канонических представителя, то отображения Ф; С ь С и Ф': С' — > С являются, в силу вложенности канонических представителей, эквивалентностями графов, поэтому сети Ф и Ф' отличаются на параметризапию. Утверждение доказано. Точку Р, принадлежащую сети Г, рассматриваемой как подмножество многообразия И~, назовем регулярной, если существует окрестность сь точки Р в многообразии И', такая что пересечение Г П С может быть представлено как отрезок вложенной кусочно-гладкой кривой, для которой Р "- внутренняя точка.

В противном случае точку Р е Г назовем особой. В следующем утверждении формулируется критерий существования канонического представителя в терминах особых точек следа. 'Утверждение 1.5 Сеть Г имеет канонического представипьелл тогда и талька тогда, когда эта сеть садерлсит конечное числа особых тачек. Доказательство. Если сеть Г обладает каноническим представителем, то, по определению, существует такая вложенная конечная параметрическая сеть Ф, след которой совпадает с Г.

В силу конечности параметрической сети Ф и ее вложенности, след Г состоит из конечного числа отрезков кусочно-гладких вложенных кривых, каждая пара которых может пересекаться лишь по своим концевым точкам. Ясно, что 1.4. Сети — следы. особыми могут являться лишь концевые точки этих кривых, поэтому особых точек конечное число. Обратно, пусть Г сеть с конечным числом особых точек. Пусть множество всех особых точек сети Г, к которому добавлены все граничные точки.

Так как сеть Г является следом некоторой конечной параметрической сети Ф: С -~ 1Г, дополнение в Г до конечного множества 1' состоит из конечного числа кривых л. Деиствительно,предположим противное. Тогда существует такая точка и Е 1', из которой выходит бесконечное количество кривых уо и, значит, существует такое замкнутое ребро е параметрической сети Ф, которое бесконечное количество раз проходит через точку и. Поэтому найдется бесконечная последовательность точек хь из параметризуюшего замкнутое ребро е отрезка |, каждая из которых переходит в точку.

и. В силу. компактности отрезка |, переходя., если необходимо, к подпоследовательности,можно предполагать.что последовательность хя сходится к некоторой точке х отрезка |. Однако, в этой точке вектор скорости ребра е равен нулю, т.с, ребро е не регулярно, а, значит, по определению параметрической сети, вырождено. Последнее противоречит выбору сети Ф. Построим граф, взяв в качестве вершин точки множества Н, а в качестве ребер -- кривые бь Построенное вложение этого конечного графа в многообразие И' и задает искомую параметрическую сеть, являющуюся каноническим представителем следа Г.

Замечание. Если в определении параметрической сети отказаться от регулярности кривых, задающих ребра сети, то утверждение 1.5 уже не будет верным. Пример. На плоскости Кз возьмем единичную окружность У с центром в (1,0), и умножим радиус-вектор точки этой окружности на достаточно быстро убывающую функцию. Например, пусть (л,у) -— стандартные координаты на плоскости.

Построим кривую т, координатное представление которой имеет вид: у(1) = (х(1), у(1)), где л(1) = е ~~'(1+ соз(2я|1))., у(1) = е '~'яш(2я/1) при г 6 (О, Ц, и л(0) = р(0) = О, см. рис. 1.6. Легко видеть, что это гладкая кривая, единственная точка самопересечения следа которой совпадает с началом координат О, причем у проходит через О бесконечное число раз. Таким образом, рассмотрев сеть, состоящую из двух вершин: точки (2|е, О) и точки О = (О, О), сосдинснньпс одним ребром Т, получим пример сети, след которой содержит ровно одну сюобую точку и не имеет канонического представителя. Единственное ребро этой сети - кривая не регулярна ровно в одной точке у(0), поскольку вектор скорости в точке у(0) равен, очевидно, нулю.

Глава 1. Обобщенные сети на многообразиях. Рис. 1.6: Сеть, не имеющая канонического представителя В следующем утверждение разбирается особенно важный для нас случай так называемых геодезических сетей. Определение. Параметрическая сеть, все невырожденные ребра которой геодезические отрезки, назовем параметрической геодезической сетью. Сеть, среди представителен которой существует параметрическая геодезическая сеть, будем называть геодезической сетью. Параметрическая сеть, каждое невырожденное ребро которой составлено из конечного числа геодезических отрезков, назовем параметрической кусочно-геодезической сетью. Сеть, среди представителей которой существует параметрическая кусочно-геодезическая сеть, будем называть кусочно-геодеэической сетью. 'Утверждение 1.6 Пусть Г С Иг геодезическая сеть.

Характеристики

Список файлов диссертации