Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Поэтому (Ез(1), Нз(Я = (Ез(1, а), М(1, .а)) = (Ез(1,0), Х(1,0)) = — (Ез(1,0), Х~(1)), где Еэ(8, О) и Х(1, О) — значения соответствующих полей в точке чт (1). Таким образом, и — = (Е~(1) — Ег(1, О), оч (1)). сй Перейдем теперь к пределу при 1 — ~ О+. Так как при 1 — ~ О+ кратчаишая геодезическая и~ стремится к точке, очевидно, Ез(1,0) -+ Ея. Поэтому й' — = (Е~ — Ея, 11ш Х~(1)).
~=о ' ~ — ~от Для вычисления предела 11шь,о М~(1), введем в малой шаровой окрестности 1; радиуса е точки А на многообразии И1 нормальные координаты (л~,...,я"). Обозначим через р расстояние от точки А. Хорошо известно, что уравнения геодезических в этих координатах имеют вид й' = — Г,'ь(р, я)х'й~, где все символы Кристоффеля Г,'ь(р, л) равны нулю в точке А, т.е. при р = О, см. например (60]. Поэтому, в силу теоремы о гладкой зависимости решения дифференциального уравнения от начальных условий, каждая геодезическая и~(а), лежащая в окрестности о'(р) радиуса р отличается от "прямои", т.с.
от кривой вида л'(а) = а'а + б', где а' и б' некоторые постоянные, на члены порядка р, Отметим так же, что в силу регулярности кривых у,(1) можно предполагать, что расстояние р(у,(1)) от точки А до точки у,(1) монотонно возрастает, и р(у;(г)) — ~ О+ при 1 -+ О+. Глава 1. Обобщенные сети на многообразиях. Разложим координатные представления кривых "д11) в ряд по 1 с центром в 1 = О. Имеем: у,(1) = Е,1-ь о11).
Тогда, из сказанного выше вытекает, что для каждого фиксированного 1, геодезическая имв) в нормальных координатах может быть записана в виде г~(л) = (Ез1+ о11) + ((Е~ — Ез)1+ о11)) а~ + ц(1, а)0(р), р — > О+, где О~1, а) э О при 8 -э О+. Поэтому и,'(а) (Е~ — Ея)1+ оЯ + О'(1, а)0(р) //г,'(а)!/ /!(Е~ — Ея)1+ оЯ + е1'(1, я)0(р)//' где штрихом обозначено дифференцирование по а.
Так как условие 1-э О+ влечет р — 1 О+, и так как ц'(8, я) — 1 О при г — э О+, получаем: 1пп Х~(1) = (Ед — Ез)Д(Ь| — Ез(), с-~о~- что и завершает доказательство. Следствие 1.1 утверждает, что геодезические являются критическими точками функционала длины, если ограничиться деформациями, неподвижными на концах выбранной геодезической, ь1тобы определить тип критической точки, соответствующей геодезической т, т.е.
выяснить, является ли эта критическая точка минимумом, максимумом или седловои точкой функционала длины, оказывается полезным вычислять вторую вариацию функционала длины -- аналог гессиана обычной функции. Для этого рассматриваются уже двупараметрические деформации "д, геодезичсскои "~, зависящие от параметров 1 и а, и определяются два векторных поля вдоль геодезической Т: одно, Ео поле деформации по параметру 1 при фиксированном начальном значении для а, и второе, Е„, — - наоборот., поле деформации по а при фиксированном 1, Вторая смешанная производная от функционала длины кривых "я, в начальный момент времени и называется впюрой вариацией функционала длины. Если рассматривать вариации, неподвижные на концах геодезической, то соответствующий гессиан представляет собой билинейную форму от таких Ес и Е,.
Если эта форма положительно определена. то, как известно, при всевозможных малых деформациях геодезической у, нсподвижньсс на ес концах, длина геодезической у будет увеличиваться. Если же существует деформацил, для которой гессиан отрицателен, то при этой деформации длина геодезической у будет уменьшаться. В первом случае геодезическая Т называется устойчивой, а во втором веуииойчивой. 1.3. Параметрические сети. Предложение 1г6 Функция е(1) дважды дифференцируема в началь- ный момент времени 1 = а (на отрезке.
[а, о]). Ее вторая производная имеет вид: даь' д1 (чиЕ Х)],.+,], [(чхЕ гхЕ) (те(Е Л)Х Е)) Йв ЯьЕ,Х)] — [, [(77хтухЕ,Е) + (В(Е,Л)Х,Е)) дв+ +(Е,ЯхЕ) „. В частности, если деформация уь неподвилена на концах геодезиче- ской у, то з — = Я ((~хЕ, 17хЕ) — (К(Е, Х)Х, Е)) дв С=а Х, ((7х 7хЕ, Е) + (В(Е,Х)Х, Е)) де+ (Е, ~ТхЕ)[,. В дальнейшем нам также будет важен частный случай так называемых геодезических деформаций геодезической. Пусть у(в), в Е [О, а], некоторая геодезическая в римановом многообразии И', параметризаванная пропорционально натуральному. параметру. Ее деформация И;[О,а] х [0,1] — у И~, такая что для любого фиксированного е Е [О, 1] кривая 1г(в, г) = ~,(в) является геодезической, скорость которой постоянна, называется геодезической деформацией геодезической 7 = цо(в).
Несложно показать (см., например [32]), что поле Е геодезической вариации 1т удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка, а именно, имеет место следующии результат. Вторая вариация оказывается полезной при доказательстве теорем о локальной структуре минимааьных сетей. Эти вопросы мы разберем ниже, а пока ограничимся том, что выпишем формулу второи вариации в общем случае, т.е. не предполагая фиксированными концы деформируемой геодезической. При атом мы приведем зту формулу только для случая 1 = в, т.е.
вместо билинейной формы рассмотрим квадратичную, из которой соответствующая билинейная форма может быть получена "поляризациеи", см. подробности в [32]. Пусть ть(в) гладкое однопараметрическое семейство кривых,. 1 Е [а, Ь], в с [с, д], уь(в) = у(в) . некоторая геодезическая в натуральной параметризации, и Х = Х(1, в) -- семейство полей скоростей кривых ~т(в), те.
Л(1,в) = дд(в)/дв. Обозначим через К(1) длину кривой Оь Пусть Е -- поле деформации уы и Е = Š— (Е,Х)Х. Отметим, что вдоль геодезической у поле Е перпендикулярно у, т.е. полю Х. Глава 1. Обобшенные сети на многообразиях. 84 Предложение 1.7 Пусть 1' = у,(в) - - произвольна.ч геодезическая деформация геодезической 0 в римановом многообразии В', и пусть Е иоле деформации И. Тогда вдоль у имеет место следующее равенство: ~~хПхЕ+ ИЕ,Х)Х = О, где Х - .
поле скоростей геодезической 7. Обратно, для произвольного векторного поля Е, заданного вдоль геодезической 0 и удовлетворяющего зсиому соовинощению, существует геодезическая деууормация И, такая чпш Е совпадает с полем зхиой деформации. Дифференциальное уравнение из предложения 1.7 называется уравнением Якоби, а его решения полями Якоби, Итак, поле любой геодезической деформации уь(в), ограниченное на геодезическую ",~о(в) = ~, является полем Якоби вдоль у. Более того.
все пота Якоби вдоль 1 представимы в таком виде. Замечание. Ограничение произвольного поля Якоби, заданного вдоль геодезической у, на любой отрезок этой геодезической, также, очевидно, является полем Якоби. Из линейности уравнения Якоби немедленно вытекает следующее предложение. Предложение 1.8 Пусть 7 С В некотория геодезическая, а о и ю -- два произвольных касательных вектора к многообразию Иг в точке у(0). Тогда существует единственное поле Якоби Ь', такое что Е(0) = и, а ~74Е = ю.
Множество всех полей Якоби вдоль у образует линейное пространство размерности 2п, где и размерность многообразия И'. Легко показать, что если якобиево поле Е вдоль э является касательным к у, то это поле имеет вид: (а+ ов)у, где а и Ь некоторые постоянные. Отсюда несложно получить следующее предложение. Предложение 1г9 Каждое поле Якоби Е вдоль 7(в) однозначно представимо в виде Е = (а+ бв)', + Е, где Е ортогональное к у поле Якоби.
Сравнивая уравнение Якоби с подинтеграчьным выражением в формуле второй вариации длины геодезической, легко заметить, что для геодезических деформаций эта формула сильно упрощается. 1.3. Параметрические сети. Следствие 1.3 Пусть К(е) -- длина геодезической у,(в), порожден- ной геодезической деформацией Ъ (г, в) = у,(в), Тогда дзл ~~ нЕ' Х ) ~о+ (Е' ~ хЕ) ~е: ь=е где Х ноле скоростей геодезической уо(в), Š— поле деформации И, п, Š— его нормальная состпвляюшпя. Пусть р -- произвольная точка полного риманова многообразия И'.
Изучим локальное поведение функции расстояния р(р, х) от переменной точки х до р. Напомним, что в достаточно малой окрестности точки р функция К(х) равна длине единственной кратчайшей геодезической, соединяющей точки р и х. Предположим, что точка х движется по некоторой кривой х(г)., е Е )О, Ц, Тогда набор кратчайших геодезических, соединяющих р и х(г) определяет геодезическую деформацию Рассмотрим функцию Ф(г) = р(р, х(е)). Из следствия 1.3 вытекает следующий результат.
Следствие 1.4 В сделанных выше предположениях, втором произ- водная функции 1(е) в на ьальный момент времени и = 0 имеет вид: де с — = ~'~нЕ Х) + (Е,КхЕ), л=е где Х поле скоростей геодезической уе, Е поле деформации, Е его нормальная состав яютал, и значение правой части вычисляется в точке х = х(0). Более того, если точка х достаточно близка к точке р, то второе слагаемое в правой части равенства неотрицательно, причем равенство нулю достигается сали и только если поле Е тождественно равно нулю вдоль уе, тп.е.
кривая хЯ являе , иродолзсением геодезической уе. Доказательство. В доказательстве нуждается лишь последнее утверждение, Рассмотрим функцию ~(в) = (Е, ч'хЕ), где в -- параметр геодезической уо. Напомним, что Е, по построенинц является полем Якоби вдоль уо, и Е равно нулкь в точке р = уо(0). Поэтому ~(0) = О. Вычислим производную файв в точке в = О. Имеем: — = ТхЕ, ЯхЕ) = ГхЕ~~' > О, з=е причем, осли выполнено точное равенство, то поле Якоби Е равняется нулю тождественно. Поэтому непрерывная функция У(в) или строго возрастает от 0 на некотором отрезке (О, 3), д ) О, или кривая х(г) -— продолжение геодезической уо. Следствие доказано. Глава 1. Обобщенные сети на многообразиях. 86 1.3.9 с1эормула первой вариации длины геодезической параметрической сети В настоящем пункте мы обобщим формулу первой вариации длины кривой (предложсние 1.4) на случай параметрических сетей, ребра которых представляют собой отрезки геодезических.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
