Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В пространстве следов, минимизируя длину произвольного следа, можно с помощью непрерывных деформаций добраться до следов без циклов. Ясно, что в пространствах параметрических сетей такая деформация не будет непрерывной. 1.4.6 Локальное устройство следов В настоящем пункте мы покажем, что каждая сеть локально является следом некоторой стандартно устроенной параметрической сети. А именно, имеет место следующее утверждение.
Ъ'твержденне 1.9 Пусть Г произвольная сеть на римановом многообразии Ие, и х Е Г некотория тпочки из Г. Тогда у точки х существует такия окрестноспьь ХХ, пересечение которой с сыпью Г является следом некоторой погруженной параметрической сети Ф; С вЂ” ь И'. Более того, окресепность П можно подобрать таким образом, чтобы Х. пересечение М ее границы дБ с сетью Г состояло из конечного, скажем Лз числи точек, и, .значит, для такой окрестносгпи П ,можно предполигатхч что параметрическая сеть Ф затягивает множество М или М 0 (х1,: 8. множество следов вершин параметрической сети Ф совпидает с М 0 (х), а множество ребер с отрезками вложенных кривых, каждый из которых соединяепь х с некоторой точкои из ЛХ.
Доказательство. Пусть ф; С вЂ” е И' произвольная параметрическая сеть, след которой совпадает с Г. Выберем уц при необходимости 1.4. Сети — следы. 103 переходя к приведенной сети, так, чтобы сеть ~)~ была погруженной (мы выбрасываем все вырожденные ребра). Напомним, что каждое ребро сети ф является кусочно-регулярной кривой, а потому может быть разбито на конечное число вложенных кривых. Легко показывается, что у каждой точки т слепа произвольной вложенной кривой Т существует такая шаровая (в метрике многообразия И') окрестность Г~,что пересечение кривой у с каждой шаровой окрестностью И-' С Г* точки я состоит из одной компоненты, причем пересечение д11* С Т гранины каждой такой окрестности с кривой Т является или точкой (кривая у выходит из я), или парой точек.
Такую окрестность ГЯ назовем хорошей, Далее, в силу конечности количества вложенных компонент, из которых составлены все ребра сети ~д число этих компонент, проходящих через данную точку следа., конечно. Поэтому можно выбрать такую окрестность Гл точки т, пересечение которой с сетью ф~ состоит из конечного числа вложенных кривых у,, каждая из которых либо разбивается точкои х на две части э ~ и э з (число таких кривых ~~ обозначим через Й~), либо заканчивается в х (число таких кривых обозначим через Йз), причем для каждой из б окрестность ГЯ является хорошей.
Возьмем теперь в качестве графа Н граф с й~ + йз + 1 вершиной, ребра которого соединяют одну выбранную вершину, скажем Х, со всеми остальными. Определим отображение графа Н в И', переведя вершину Х в точку т, и продолжим это отображение до параметрической сети яп Н вЂ” ~ И' так, чтобы каждое ребро е из ХХ параметризовало или соответствующую кривую у; (если "д выходит из т)., или одну из частей у1 кривой у,.
Доказательство закончено. Определение. Окрестность Г, удовлетворяющую всем условиям утвер- ждения 1.9, назовем хорошей. Ниже мы используем возможность выбрать у каждой точки сети хорошую окрестность для описания локального устройства сетей специального вида. Глава 1. Обобщенные сети на многообразиях.
Глава 2 Минимальные сети: естественные обобщения проблемы Штейнера В данной главе теория сетей на многообразиях, разработанная в главе 1, используется для постановки естественных задач минимизации функционалов длины и взвешенной длины на пространствах сотен. Все зги задачи возникают как обобщения классической проблемы Штайнера, о которой говорилось во Введении. Для каждой задачи исследуются вопросы существования решения.
Вопросы единственности решения обсуждаютсл в главах 3 и 5. 2.1 Глобальная и локальная минимальность Рассмотрим некоторую вещественную функцию 1; Х вЂ” > К, заданную на каком-либо множестве Х. Точка жо из Х называется точкой абсоляпаного или глобального минимума функции 1, если для произвольной точки и из Х имеет место следующее неравенство Дго) < Д1т), Абсолютный минимум называется строгим, если равенство достигается только при л = иа. При изучении функционалов длины и взвешенной длины сложилась следукьщая терминология. Пусть М некоторый класс сетей на римановом многообразии И', и Л -- некоторый такой функционал.
Определение. Сети из М, являющиеся точками абсолютного минимума функционала Л на множестве М, называются глобально мини- 105 Глава 2. Минимальныс сети. 106 мальными или абсолютно минимальными сетями (в М относитетьно й). При изучении фу нкционалов типа длины естественно возникает еще один важный тип минимальности, за которым установилось название "локальная минимальность". Если, скажем, в качестве множества М мы рассмотрим множество всех гладких кривых, соединяющих пару фиксированных точек А и В полного риманова многообразия (т.е, сетей Ф: ~0, Ц вЂ” ~ И', затягивающих множество 4А, В)), то абсолютно минимальной сетью в М будет, очевидно каждая кратчайшая геодезическая, соединяющая А и В. Однако, хорошо известно, что не всякая геодезическая является кратчайшей кривой, соединяющей свои концевые точки.
Тем не менее, геодезическая обладает следующим опредеяяющим свойством локаяьной минимальности; длина каждого ее фрагмента между достаточно близкими точками Р, и Ря не может быть уменьшена малыми деформациями этого фрагмента, оставляющими на месте точки Р1 и Рь Локально минимальные сети., как уже отмечалось во Введении, представляют собой естественное обобщение понятия геодезической. Определения локально минимальных сетей мы выделим в отдельный раздел 2.2. Замечание. Если множество Х, на котором задана функция ~; Х вЂ” у К наделено структурой топологического пространства, то, наряду с понятием глобального минимума, определено понятие локального минимума: точка ио из Х называется точкой локального минимума функции у на топологическом пространстве Х.
если существует окрестность Г точки то, такая что хо -. это точка глобального минимума для ограничения функции у на П. В данной работе рассматриваемые классы сетей не наделяются топологией, хотя, конечно, это можно сделать, см. например книгу автора и дк Л. Тужилина ~46]. Если на некотором классе сетей введена топология, то сети, являющиеся локальными минимумами функционала длины относительно этой топологии., называются локально минимальными "в целом". Отметим, что в ~46) топология вводится таким образом, что каждая локально минимальная 'в делом" сеть является локально минимальной в определяемом ниже смысле. Вопросы локальной минимальности "в целом" в данной работе не рассматриваются. 2.2. Локально минимальные сети.
107 2.2 Локально минимальные параметриче- ские сети и следы В данном разделе мы определим понятия локально минимальных параметрических сетей и локально минимальных сетей следов на многообразиях. Напомним (см. Введение), что локально минимальные ссти можно рассматривать как некоторое естественное обобщение геодезических разветвленные геодезические. Стандартные геодезические на римановом многообразии Иг -- это решения следующей граничной задачи: среди кривых, соединяющих пару фиксированных граничных точек из 1Г, нанти такие, что каждая достаточно малая по амплитуде и носителю и постоянная на границе деформация этих кривых увеличивала бы их длину. Во введении отмечалось, что разветвленные геодезические (или локально-минимальные сети) возникают как естественное обобщение понятия стандартных геодезических на случаи граничного множества, состоящего из трех и более точек многообразия И'.
В этом случае естественно перейти от рассмотрения кривых,т.е. отображений отрезка в многообразие,к рассмотрению сетей, т.е. отображений графов в многообразие. При этом сразу же возникает новый эффект, не встречающийся в стучае обычных геодезических. А именно, данное конечное подмножество многообразия можно., вообще говоря, затянуть сетями разной топологии, т.е. сетями, параметризующие графы которых не эквивалентны. Отсюда два возможных подхода к определению разветвленных геодезических; можно определять локально минимальные сети в классе сетей фиксированной топологии. другими словами, в классе параметрических сетей одного типа, а можно перейти к сетям — следам, разрешив тем самым топологии меняться. Мы рассмотрим здесь обе эти возможности, начав со случая параметрических сетей.
В случае параметрических сетей, как мы сейчас увидим, естественно возникает два понятия локальной минимальности сильная и слабая. Разница между ними состоит в определении того, что такое "малость" носителя деформации параметрической сети. 2.2.1 Слабо локально минимальные параметрические сети Пусть Ф: С -+ И' параметрическал сеть с границей или без, т Е С произвольная точка графа С, и С,*', - . локальный граф с центром в точке т. Напомним, что для каждого локального графа С,*, определена его каноническая граница дС,*~,. Рассмотрим ограничение Глава 2.
Минимальные сети. 108 отображения Ф на С~ь~,, Мы получим сеть, которую будем обозначать через Ф'"', „ с границей д т„, равной ограничению отображения Ф на каноническую границу дС;„ локального графа С;,. Положим ЛХл =,3 м,(дС ь). Определение. Параметрическую сеть Ф~ мь с границей д и,: дС~'„, — ь ЛХь с И' назовем слабой локальной сетью точки х Е С. Замечание. Рассмотрим множество всех локальных графов некоторой фиксированной точки х Е С. Наименьшее по включению замкнутое подмножество в С, содержащее все локальные графы точки х, очевидно совпадает со звездой Я(х) точки х, т.е.
с подграфом в С, состоящим из всех ребер, инцидентных х. Отметим, что звезда Я(х) не является, по определению, локальным графом точки х. Такое определение локальной сети приводит к следуюшему определению локачьной минимальности. Определение. Параметрическая сеть Ф называется слабо локально .минимальной, если у любой точки х ее параметризуньщего графа С существует такая слабая локальная сеть Фл„,, что любая достаточно малая деформация сети Ф',, сохраняющая ее границу 3 ч ь не уменьшает длину сети Ф'„,. 2.2.2 Сильно локально минимальные параметрические сети Пусть Ф; С вЂ” > И~ параметрическая сеть, и х произвольная точка из С.
Обозначим через Ф: С -+ 1Г соответствующую Ф приведенную сеть, и пусть к: С вЂ” > С стандартная проекция (см. раздел 1.3 главы 1). Положим у = к(х). Рассмотрим произвольную допустимую окрестность П точки у в графе С. Замкнутое множество С;,, = к ~(с1) с С наделим естественной структурой графа, обълвив его вершинами все вершины из С, попавшие в Сь, „а также все точки из множсства дь(С,*1„) С С, где через дь обозначена операция взятил топологической границы: дь (А) = с1(А) 1 1пс(А). Отметим, что по определению, граф С,*„, содержит те и только те вырожденные ребра графа С, которые переводятся проекцией к в вершину у = к(х) приведенного графа С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
