Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Тсоремы существования. Итак,. для доказательства предложения достаточно показать, что точная нижняя грань длин кратчайших геодезических сетей из Мел(В) достигается. Покажем это. Прежде всего, отметим, что длина кратчайшей геодезической сети из Мо(3) полностью определяется расположением вершин этой сети. Так как граничные вершины фиксированы, то длина кратчайшей геодезической сети из Мп(ХХ) полностью определяется расположением всех остальных вершин этой сети.

Таким образом, возникает функция Ла:И Х..ХИ вЂ” лж,. ставящая в соответствие каждому набору точек из И' длину соответствующей кратчайшей геодезической сети (количество сомножителей И' равно числу вершин графа О, не попавших в его границу длл). Следующая лемма непосредственно вытекает из непрерывности функции расстояния р(А, В), определенной на полном римановом многообразии как точная нижняя грань длин всех кусочно-гладких кривых, соединяющих А и В, Лемма 2.2 Построенная выиле функция Хи непрерывна, Если многообразие И' компактно, то функция Хц достигает своего минимума по теореме Вейерштрасса, что и требовалось.

Пусть теперь И' не компактно. Оказывается, если длина кратчайшей геодезической сети близка к точнои нижней грани а, то вершины этой сети нс могут располагаться слишком далеко от граничного множества ЛХ. Действительно, рассмотрим произвольную кратчайшую геодезическую сеть из Мы1ХХ), и пусть Х --- ее длина. Рассмотрим замкнутый шар В радиуса Х, + 1 с центром в одной из граничных точек. Ясно, что все точки из ЛХ лежат внутри В. Кроме того, если вершина кратчайшей геодезической сети лежит вне В, то длина этой сети больше чем Х+ 1. Поэтоллу длины всех таких остен отделены от а некоторым положительным числом б > 1. Поэтому, достаточно показать достнжимость точной нижней грани длин тех кратчаиших геодезических сетей из Мсл1Хл), вершины которых лежат внутри компакта В С И~.

Последнее опять вытекает из теоремы Вейерштрасса. Предложение доказана. Из предложения 2.1 можно вывести результаты о существовании глобально минимальных сетей и в некоторых других классах сетей. Пусть М(ЛХ) . множество всех параметрических сетей, затягивающих фиксированное конечное множество М точек полного риманова многообразия И". Глава 2. Минимальныс сети. 120 Следствие 2.1 Во множестве М1М) всех парамстри веских сетей с фиксированной границей М существует абсолютно минимальная сеть.

Доказательство. Ясно, что М1М) является дизъюнктивным объединением классов ЛйоЩ параметрических сетей по всевозможным типам С и граничным отображениям 11, таким что образ В совпадает с ЛХ. По предложению 2.1, на каждом Мп1р) точная нижняя грань длин сетей достигается. Следующая лемма очевидна. Лемма 2.3 Точная нижняя грань длин всех сетей из М1М) совпадает с точнов" нижней гранью длин ~ох сетей аз М1ЛХ), парамстризуюи1ис графы которых являются деревьями, у которых все вершины степени 1 и 2 --- граничнь1с, Так как число граничных вершин фиксировано, то число топологий деревьев из леммы 2.3 конечно.

1(роме того, очевидно, конечным является число всевозможных граничных отображений В. Поэтому точная нижняя грань длин сетей из М1ЛХ) совпадает с наименьшей точной нижней гранью длин сетей из конечного семейства пространств Мп()1), описанных в лемме 2.3, которая, очевидно, достигается. Следствие доказано. Рассмотрим теперь задачу о поиске ыинимаяьных параметрических сетей данного гомотопического типа. А именно, пусть фиксирована некоторая параметрическая сеть ик 0 -+ 1У из Мп1р). Обозначим через Л4,(Щ множество всех сетей из Мо(В), гомотопных ф.

Следствие 2.2 Во множестве М„()1) параметрических сетей данного гомотопичсского типа с фиксированной границей сушсствуетп абсолютно минчмаль ноя сстпь. Доказательство. Доказательство следствия 2.2 получается дословным повторением доказательства предложения 2.1. При этом следует заменять кратчайшие геодезические, соединяющие пары точек полного риманова многообразия И', на кратчайшие геодезические данного гомотопического типа. Следствие доказано. 2.4.2 Замкнутые параметрические сети Пусть снова И' связное полное риманово многообразие, и С связный топологический граф. Рассмотрим Мо класс всех замкнутых па- 2.4.

Теоремы существования. 121 раметрических сетей, параметризованных графом С. Ясно, что функционал длины, заданный на Мп, достигает своего минимального значения (а именно, нуля) на произвояьнои точечной сети у: С вЂ” ~ ж Е И' из Меь Точно так же, функционал длины достигает нуля на множестве всех замкнутых параметрических сетей (т.е. на дизъюнктном объединении всевозможных Мо). Предположим теперь, что фиксирована некоторая замкнутая параметрическая сеть вч С вЂ” ~ И', и рассмотрим семейство Ми всех замкнутых параметрических сетей д из Мп, таких что р гомотопно ~.

Очевидно, что если сеть й гомотопна точечной, то функционал длины вновь достигает минимума (нуля) на Мя,. Однако, если сеть 4 гомотопически нетривиальна, то ситуация существенно иная. А именно,в Мг может не существовать не только глобально, но и локально минимальных сетей.

Пример. Возьмем в качестве многообразия И" некомпактную двумерную поверхность, полученную вращением графика функции т = е вокрут оси Оя, где Олрз стандартная евклидова система координат в Кз, см. рис. 2А. Пусть С --- граф, состоящий из одной вершины и одного циклического ребра. Очевидно, С, как топологическое пространство, гомсоморфсн окружности У. Пусть ~: С вЂ” э И' нскоторал вложенная сеть, след которой совпадает с какой-нибудь параллелью поверхности вращения И', т.е. кривой И' О (я = сопв11. Легко показать, что на Их нет замкнутых геодезических, поэтому, в частности, в классе М„, нет минимальных сетей. Рис.

2.4: Поверхность вращения графика функции е Замечание. В предыдущем примере существенную роль играет не- компактность объемлющего многообразия И'. Хорошо известно., см. например ~59), что на каждом компактном замкнутом римановом многообразии сущсствует замкнутая геодезическая, а значит и замкнутая локально минимальная сеть.

Глава 2. Минимальныс сети. 122 2.4.3 Взвешенные параметрические сети Пусть, как и выше, М множество, состоящее из и > 0 точек полного риманова многообразия И', и пусть С некоторый связный взвешенный топологический граф с границей дС и положительной весовой функцией ы. Как и выше, предположим, что задано сюръсктивнос граничное отображение,3: ВС -+ ЛХ, и рассмотрим семейство Мо(3) всех параметрических сетей Ф: С ь 'еу' с границей 3. Зададим на пространстве Мо(3) функционал взвешенной длины, который обозначим через Х, . Предложение 2.2 Существует такая параметрическая сеть Фв Е Мгг(3), что ее взвешенная длина Хы(Фв) не превосходит взвешенной длины любой другой сети из Мг(3).

Други и словами, в пространстве Мо(3) существует сеть, абсолютно минимальная относительно функционала взвешенной длины Х . Доказательство. В силу определения функционалов взвешенной длины, очевидно, имеет место следующий аналог леммы 2.1. Лемма 2.4 В сделанных выше предположениях, точная нижняя грань взвешенных длин всех сетей из Чо(3) совпадает с точной нижней гранью взвешенных длин всех кратчайших геодезических сепией из семейств а М и (3) . Позтому, доказательство можно закончить дословно повторяя доказательство предложения 2.1. Замечание. Отметим, что из предложенил 2.2 вытекает, как и в случае обычного функционала длины, существование параметрических сетей, локально минимальных (как слабо так и сильно) относительно функционала взвешенной длины.

2.4.4 Следы с фиксированной границей Пусть, как и выше, ЛХ конечное множество точек связного полного риманова многообразия 1Р. Обозначим через Т(М) множество всех следов, затягивающих М. Предложение 2.3 В классе Т(ЛХ) всех следов, затягивающих фиксированное конечное множество ЛХ, существует абсолютно минимальная сеть.

2.4. Теоремы существования. 123 Доказательство. Пусть а --- точная нижняя грань длин следов из класса Т(М). Рассмотрим произвольную последовательность следов Г,„длины У(Ге) которых сходятся к а при э -э со. Перестроим следы Г, гяедук>шим специальным образом. В силу утверждения 1.8 главы 1, каждый след Г, можно заменить на содержащийся в нем (как подмножество И' в подмножестве И') след Г';. обладающии каноническим представителем. Ясно, что с(Г',) < 1(Ге), поэтому последовательность с(Г',) также сходится к а при 1 -е оо. Итак, доказана следующая легвма. Лемма 2.5 Точная нижняя грань длин всех следов из Т(М) совпадает с точной нижней гранью длин всех следов из Т(М), обладающих каноническим представителем.

Множество всех следов из Т(М), обладающих каноническилс представителем, обозначим через Т„(М). Далее, следующая лемма очевидна. Лемма 2.6 Точная ниж:няя грань длин всех следов из Т(М) совпадает с точной нижней гранью длин таких следов из ТЯМ), чтпо параметризуюшие графы их канонических пргдстовителгй являэотся деревьями, у которых все вершины степени 1 и 2 гроничныс.з Пусть Г; -- последовательность следов из Тс(М), такая что (1) парамгтризующий граф С; канонического представителя р,;; Сэ — ~ И' следа Г, такой, как в лемме 2.6, и (2) послсдоватсльность с(Г;) сходится к точной нижней грани а. Поскольку чисю граничных вершин фиксировано, существует лишь конечное число топологий деревьев из леммы 2.6.

Поэтому в последовательности Г, можно выбрать такую подпоследовательность Гхы что параметризующие графы С;„следов Г,, одинаковы. Теперь утверждение предложения 2.3 вытекает из существования абсолютно минимальной параметрической сети данного топологического типа. Доказательство предложения '2.3 закончено. 2.4.5 Замкнутые следы Обозначим через Т множество всех замкнутых следов на полном связ- ноле римановом многообразии И'. э Утверждение про вершины степени 2 содержит одну тонкость. А именно, существует единственная сеть, неграни шая вершина степени 2 которой ие может быть выброшена из множества вершин: это сеть иэ одного циклического ребра.

Характеристики

Список файлов диссертации