Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Тогда у Г существуеп~, канонический нредстщлеитель. Доказательство. Пусть Ф: С вЂ” ь Иг геодезическая параметрическая сеть, параметризующая Г. В силу утверждения 1.5, достаточно показать,что пересечение любых двух ее ребер состоит из конечного числа линейно связных компонент. Так как, по предположению, ребра Ф геодезические отрезки, то достаточно показать, что пересечение любых двух геодезических отрезков состоит из конечного числа линейно связных компонент. Предположим противное, т.е. пусть существуют два геодезических отрезка уь ..
1ь — ь И' и чг .. 1г — ~ И', таких что пересечение Н их следов состоит из бесконечного числа линейно связных компонент. Выберем в каждой из этих компонент по одной то*псе ль. Так как 1 компактны, то Н затиснуто. Поэтому последовательность и" имеет предельную точку. Переходя, если необходимо, к подпоследовательности, можно считать, что последовательность х сходится к некоторой точке т Е Н. 1.4.
Сети — следы. Положим ьь = Т '(хь), В силу компактности отрезка Гэ после- 3 3 довательность 1" имеет предельную точку при каждом у. В силу непрерывности отображений уу, образ каждои такои предельной точки совпадает с х. Снова, переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно предполагать, что последовательность Гу сходится к некоторой точке 1 Е Гэ пРичем У1(1а) = УгГф), и х = Ть(11) = Уг(1г).
ТепеРь Ясно, что касательные пРЯмыс к Чь и Тз в точке х совпаДают, поэтому, по свойству геодезических, существует окрестность точки х в многообразии И', такая что геодезические сп О П или пересекаются только по точке х., или пересекаются по геодезическому отрезку, выходящему из точки х. Обе эти возможности противоречат выбору точки Следующее утверждение является элементарным усилением предыдущего. Утверждение 1.7 Пусть Г -- кусочно-геодезическал сеть.
Тогда у сети Г существует канонический представитель. Пусть М произвольное конечное множество точек многообразия И'. Обозначим через ТГМ) множество всех следов, затягивающих М. Приводимое ниже утверждение будет чрезвычайно полезно нам при доказательстве теорем существования следов минимальной длины, затягивающих фиксированные множества точек полного риманова многообразия. Утверждение 1.8 Каждая сеть Г из ТГМ) содержит, как подмножество ГУ, некоторую сеть Г' Е ТГМ), обладающую каноническим предщпавителем. Доказательство.
Пусть Ф; С -+ И' произвольный представитель сети Г. Прежде всего, избавимся от самопересечений ребер сети Ф. Лемма 1.2 Пусть у произвольнал кусочно-гладкая регулярная кривая в И', соединяющая точки А и В. Тогда существует вложеннал кусочно-гладкал кривая, ч', содержащаяся в т и также соединяющая точки А и В, Доказательство. Легко видеть, что кривун~ э можно представить в виде конечного объединения гладких вложенных кривых. Пусть уц последовательные кривые одного из таких разбиений. Ориентируем кривую у от .4 к В, и пусть Ац начальная, а А т1 конечная точки кривой "ь,. Глава 1. Обобщенные сети на многообразиях.
Построение кривой "/ будем проводить по индукции. Обозначим часть кривой Т, заключенную между двумя произвольными ее точками Х и У, через у[Х, У], Предположим, что для некоторого д уже построена вложенная кусочно-гладкая кривая, содержащаяся в у [А, А» ~ и соединяющая точки А и А». Такую кривую обозначим через у'[А, А»]. Построим теперь кривую "~'[А, Лде»]. Пусть К С И' состоит из всех точек пересечения кривых у[А, Л»1 и Уд.
Положим У» = ~1»: [а»Ь] — » И'). Обозначим чеРез К соответствующее К подмножество отрезка [а, Ь], т.е. К = к»[К). Так как следы кривых у[А, Л»] и у» -- замкнутые подмножества многообразия И' [в силу компактности отрезков, образами которых эти следы являются), то К замкнуто, поэтому замкнуто также и К.
Пусть я точная верхняя грань множества К С [о, Ь]. Так как К замкнуто, то я Е К, т.е. р: я †> И' является последней точкой пересечения кривой 'у» с кривой у[А, Лд]. Часть кривой 'у», параметризованную отрезкол» [л,Ь], обозначим через Ьй ПУсть У[А, Ад] = 1ф:[с,п] †> И~), и пУсть К' = Ф ~[К). Так как кривые у» и »[А, Л»] вложенные, то между К и К' имеется естественное взаимно-однозначное соответствие и, "спаривающее" точки, имеющие одинаковые образы в К. Пусть 1 = и[а). Ясно, что И[1) = »[я).
Рассмотрим часть кривой з [А, Лд], параметризованную отрезком [с, 1]. Эту часть обозначим через д'. Рассмотрим объединение кривых д и д'. Ясно, что это объединение может быть параметризовано как вложенная кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки А и А»ем след которой содержится в следе кривой Таким образом, построенная кривая может быть использована в качестве кривой »[А,.4»+»]. Последовательно обработав все кривые уд., в результате получим искомую кривую у'. Доказательство леммы закончено.
Заменим теперь каждое самопересекающееся ребро параметрической сети Ф в соответствие с леммой 1.2 на ребро без самопересечений. В результате мы па»учим новую параметрическую сеть, след которой содержится в Г и имеет то же множество вершин, а ребра не имеют самопересечений. Эту новую сеть мы обозначим через Ф: С вЂ” д И'. Построим теперь вложенную параметрическую сеть Ф', след Г' С Г которой и будет искомой сетью. Начнем с произвольного ребра, скажем у, сети Ф и включим его во множество робер параметрической сети Ф'.
Пусть е любое другое ребро из Ф. Если пересечение внутренностей ребер 1" и е пусто, то просто добавим ребро е к сети Ф', В противном случае, по аналогии с доказательством леммы 1.2, разобьем ребро е на три части, первая из которых е» до первой точки пере- 1.4. Сети — следы. сечения е с 7, вторая еэ — от первой до последней точки пересечения е и 7', и третья ез — - от последней точки пересечения е и 7". Добавим к параметрической сети Ф' ребра е1 и ез. Очевидно, получим вложенную сеть, след которой содержится в сети Г, а множество вершин содержит все вершины из Г (отметим, что пересечение внутренностеи ребер е и 7' не содержит вершин сети Г).
Далее, будем последовательно добавлять к параметрической сети Ф' части новых ребер из Ф, расположенные до первой и после последней точек пересечения этого ребра с уже построенной сетью. Ясно, что полученная в результате параметрическая сеть Ф' является вложенной, затягивает множество ЛХ,и ее след Г' содержится в сети Г. Канонический представитель сети Г' е Т[М) совпадает с построенной параметрической сетью Ф'.
1.4.5 Деформации следов Пусть Г .-- некоторый след., Р --- произвольное к-мерное многообразие или область в нем,и О Е Р некоторая его точка. Отображение У из Р в пространство Т, при котором выделенная точка О переходит в сеть Г,назовем деформацией следа Г. При этом след У'[р), где р Е Р, будем обозначать через Гр. Пустеь как и выше, я: М вЂ” ~ Т - каноническая проекция множества М всех параметрических сотой на фактор-множество Т. Ясно, что множество М является дизъюнктным объединением множеств Мп параметрических сетей типа С по всевозможным конечным графам С. Рассмотрим множество я '(У[Р)) С М и обозначим через Мп пересечение этого множества с Мсь Образ множества МД при проекции я состоит из всех следов из У[Р), которые могут быть параметризованы сетями типа С.
Этот образ мы обозначим через Уп. Множества следов Уп могут пересекаться, и, кроме того, объединение всех Уп совпадает с У [Р). Наименьшее чисю множеств Усъ которыми может быть покрыто множество У[Р), назовем типом дефор.мации У. Деформапию У назовем деформацией конечнозо типа, если сс тип консчсн. Пример. Пусть Г сеть, являющаяся отрезком.
а многообразие Р полуинтсрвал [О, 1). Рассмотрим дсформацию Г, сети Г следующего вида: при 1 Е [О, 1/2] сети Г, состоят из одной кривой, при 1 6 (1/2, 3/4] сети Г~ состоят из двух кривых, при 1 Е [3/4, 7/8] сети Г~ состоят из трех кривых и т.д. (рис. 1.7). Легко понять, что эта деформация не является деформацией конечного типа. 1.4. Сети — следы. 101 лее, покажем, что каждый след с не пустой границей может быть продеформирован в след некоторого дерева, т,е. в след без циклов. В самом деле, пусть т некоторый след, и Ф; С вЂ” ~ И' некоторая сго параметризация, причем граф С содержит цикл у. Рассмотрим произвольную вершину 1 графа С, принадлежащую у, и разрежем цикл у по этой вершине.
Последнее означает, что мы построим новый граф С' так. Пусть е~ и ез . ребра цикла у, инцидентные И, Множество вершин графа С' это множество вершин графа С, к которому добавлена одна новая вершина 1г', множество ребер графа С' это множество ребер графа С, в котором ребро ез, соединявшее вершину И с некоторой вершиной Х, заменено на ребро е!~ — — 1 Х. .Чегко построить параметрическую сеть Ф': С' -+ И', след которой совпадает со следом т сети Ф: для этого достаточно положить Ф' равным Ф на всех ребрах С', отличных от ез, а на ребре е!~ определить Ф' равным ограничению Ф на ребро ез графа С.
Отметим, что если вершина 1г входила в граничное множество, то мы сс там и оставим, поэтому сеть Ф' затягивает то жс множество, что и Ф. Очевидно. сеть Ф' имеет на один цикл меньше, чем сеть Ф, поэтому след т можно так продеформировать в пространстве следов, что этот цикл разрушится. Пример такой деформации приведен на рис. 1.8. Поступая точно также со всеми циклами следа т лщжно, очевидно, продсформировать его в след без циклов. Рис. 1.8: Исчезновение цикла при деформации в пространстве следов Итак, каждый след с границей можно непрерывно продеформировать в некоторый след без циклов. Теперь для завершения доказательства предложения осталось показать.
что в пространстве Т(М)1, следы всех деревьев могут быть непрерывно продсформированы друг в друга с сохранением границы. Для этого продеформируем сначала произвольный след в звезду, затягивающую множество ЛХ. Теперь заметим, что для любых двух однореберньгх следов ц и Тз, соединяющих произвольные две точки Л и В и многообразия, существует непрерывная Глава 1.
Обобщенные сети на многообразиях. 102 деформация одного в другой, неподвижная на А и Б. Действительно, достаточно сначала продеформировать у1 в объединение уг и некоторой петли, а затем, как и выше, стянуть петлю в точку. Из сказанного вытекает, что любал звезда с границей ЛХ может быть непрерывно продеформирована в звезду с той же границей ЛХ, что и завершает доказательство. Отметим, что наличие в пространствах следов Т и Т(Ы) непрерывных деформаций, вдоль которых разрываются циклы, т.е. происходят изменения топологии рассматриваемой сети, очень естественно в контексте задач о поиске сетей наименьшей длины. Очевидно, что абсолютно минимальная сеть не должна иметь циклов: выбрасывание ребра из цикла сохраняет свойство рассматриваемой сети затягивать свое граничное множество и уменьшает длину. Поэтому абсолютно минимальные сети не содержат циклов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
