Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Подобная ситуация может быть смоделирована с помощью следующей конструкции, возникшей в работах автора и А. А. Тужилина гс46, 49, 39). Пусть С взвешенный граф с положительной весовой функцией ю, и Ф: С вЂ” у уу' — — (кусочно-)гладкая параметрическая сеть на римановом многообразии Ис. Так как между множествами ребер графа С и сети Ф имеется естественное взаимно однозначное соответствие, можно считать что весовал функция ю задана так же и на множестве ребер сети Ф.
Сеть Ф вместе с весовой функцией со мы будем называть взвешенной параметрической сетью типа С. Взвесаснной длиной 6 (Ф) взвешенной параметрической сети Ф назовем линейную комбинацию длин ребер сети Ф с коэффициентами весами этих ребер; с'„,(Ф) = ~ с(е)со(е). Ясно. что взвешенная длина любой взвешенной сети Ф конечна и нео- трицательна. Замечание. Можно рассматривать существенно более общую задачу, определив обобщенную весовую фцнкиию со грифа С как отображение из множества ребер Е(С) этого графа во множество С Сос) гладких функций на прямой, а обобщенную вэвеюенную длину сети Ф: С ь И' как выражение следующего вида: 7,'1с1е)), где через 7'„обозначена фу.нкция ас(е), а через с(е) длина ребра е.
Если 1",(л) = а,т, а > О, мы получим обычную взвешенную длину, определенную выше. Однако, даже если наложить на функции у„такие естественные ограничения как положительность и монотонность (в этом случае сети минимальной обобщенной взвешенной длины необходимо будут состоять из отрезков геодезических), локальная структура сетей минимальной обобщенной взвешенной длины, т.е, правила стыковки ребер сети в ее вершинах, будет, вообще говоря, существенно зависеть от длин ребер сети.
Это существенное отличие от случая 1.3. Параметрические сети. 77 сетей минимальной (взвешенной) длины, см, теорему 2, выводит задачу изучения геометрии сетей минимальной обобщенной взвешенной длины за рамки настоящей работы. 1.3.7 Деформации параметрических сетей Выше мы уже сталкивались с необходимостью непрерывно деформировать сеть.
В настоящем пункте мы дадим общее определение деформации сети. Пусть Ф: С вЂ” ~ И' — параметрическая сеть, и Р— некоторое ймерное многообразие с краем или без, например к-мерный куб 1Я С Ьв, где 1 = [ — 1, Ц стандартный отрезок. Пусть 0 некоторая точка в Р (если Р = 1", то в качестве 0 обычно выбирают точку, все координаты которой равны нулю). Определение. Непрерывной и-парамегпрической деформацией Фо 1 Е Р, параметрической сети Ф называется произвольное непрерывное отображение О: Р х С вЂ” у И', 0(1,д) = Ф~(д), такое что 0(0, д) = Ф(д).
Непрерывная деформация Ф~ называется гладкой (кдсочно-гладкой) если, во-первых, каждая сеть Ф~ является (кусочно-)гладкой, и, вовторых, для каждого ребра е графа С ограничение отображения Ф, на множество Р х е является гладким отображением, Часто при деформации изменяется не вся сеть, а лишь некоторая ее часть. Замыкание подмножества графа С, на котором происходит это изменение, называется носит ~елем деформации. Другими словами, носителем деформации Ф, называется наименьшее замкнутое подмножество в С, на дополнении к которому деформация Ф~ неподвижна.
Иногда, однако, нам будет удобнее работать с множествами, на которых деформация не происходит. Каждое такое множество мы будем называть неподвижным множеством рассматриваемой деформаций. Более формально, пусть Ф: С вЂ” ~ И' параметризованная сеть, и Фв. .С вЂ” у И' ее деформация. Пусть Л множество всех тех д Е С, для каждого из которых Ф~(д) = Ф(д) при любом 1 из области изменение параметра деформации Фь Множество К называется неподвижным множеством деформации Фп а его элементы неподвижными точками этой деформации.
Отметим, что множество Л замкнуто и не совпадает с дополнением до носителя, который, по определению, также замкну т. В дальнейшем нам часто придется иметь дело с так называемыми "малыми" деформациями сетей. г1тобы придать этому выражению формальный смысл, вводится понятие амплитуды. Пусть, как и вьппе, Глава 1. Обобщенные сети на многообразиях. 78 Ф: С -ь И' -- параметрическая сеть, Ф~. С -+ И' --. некоторая ее деформация, а х —.
произвольная точка графа С. Амплитудой деформации Фь в точке х пазовом точную верхнюю грань расстояний между точками Ф(х) и Ф~(х), взлтую по всевозможным значениям параметра Максимум амплитуды деформации Ф„, взятый по всем точкам х, назовем амплитудой деформации Фо Малой деформацией будем называть деформацию с достаточно малой амплитудой.
1.3.8 сРормулы первой и второй вариации длины кривой В данном разделе мы напомним как дифференцируется функционал длинны кривой на римановом многообразии. Пусть И' риманово многообразие, и О. [О, Ц ь И' кусочно гладкал кривая на И'. Пусть 0 = хо < х1 « . хь 1 < хь = 1 разбиение отрезка [О, Ц на участки регулярности кривой 7. Последнее означает, что огРаничение 7, кРивой з на кажДый отРезок [х,; ы х,[ представляет собой гладкую регулярную кривую. Опрсделим однопараметлрическую деформацию и кривой б задав кусочно-гладкое отображение Е: [ — 1, Ц х [О, Ц вЂ” ) И', такое что Е(0, х) = у(х), и положив Е(1, х) = а(х).
При этом будем предполагать, что участки гладкости всех кРивых уь совпаДают. Рассмотрим теперь траекторию движения каждой точки кривой 7 при деформации то Для этого фиксируем некоторое х 6 [О, Ц и рассмотрим кривую у~(х). Вдоль у определено поле д л(х) /дг[~ в векторов скоростей кривых 7й(х) в момент времени 1 = О, которое называется полем деформации "О. Обозначим через К(1) длину кривой Оп а через Е(х) поле дефорьгации уь В каждой точке 1(х,) рассмотрим единичные векторы направлений приходящих в эту точку кривых уз и обозначим через Л; сумму этих векторов, см. рис.
1.3. Положим Е, = Е(х,). Предложение 1.4 (Первая вариация длины кривой) Функци й(1) дифференцнруема. Ее производная в начальный момент времени имеет вид У) ~(Е (е7 .))и) =в,=в 1 где через 7 обозначен вектор скорости кривой г, а через (.)к .- ортогональная проекция на нормальное надпространство к кривой ",~. Рассмотрим теперь следующии важный частный случай формулы первой вариации.
Пусть 7 гладкая кривая, соединяющая точки А 1.3. Параметрические сети. -в Рис. 1.3: Первая вариация длины кривой и В многообразия И'. Предположим что деформация "й(х) = Г(г.,х) также является гладкои и оставляет неподвижнь|ми концы отрезка Т, т.е. Е(1, О) = .4, и Е(1, Ц = В. Следствие 1.1 В сделанных предположениях, формула первой вариа- ции имеет вид — = — ~ (Е, (7';„'у) ).
дй Р ь=о В частности, крив я з является геодезической на И' тогда и, только тогда, когда для любой деформации и производная функции длины кривой а в начальный момент времени равна нулю. Приводом еще один важный частный случай формулы первой вариации. Следствие 1.2 Пусть каждая гладкая кривая уо из которых составлена кривая Т, явллется геодезической. Тогда формула первой вариации имеет вад — = ~ь (ЕоХ,).
~=о В дальнейшем нам понадобится еще один аналог формулы первой вариации. Пусть из некоторой точки А полного риманова многообразия И'выходит две гладкихрегулярных кривых у,; (0,1) -+ И',1 = 1, 2. Обозначим через с(1) длину кратчайшей геодезической, соединяющей точки у1(1) и уз(1). и пусть Е, вектор скорости кривой у, в начальный момент времени 1 = О.
Тогда имеет место следующее утверждение. Глава 1. Обобщенные сети на многообразиях. 80 Предложение 1.5 Функция 1(1) дифференцируечв в начальный мо- мент времени 1 = О. Ее производная имеет вид1 сЫ вЂ” = ЦЕ1 — Е2~~. 1=В Доказательство. Рассмотрим сначала случай евклидового пространства: И' = К". Пусть 11 и уг произвольные регулярные кривые, выходящие из общей точки 01(0) = 12(0) = А, и обозначим через Ес(1) вектор скорости кривой в в момент времени б В силу следствия 1.2, в произвольный момент времени 1 > О производная дс/д1 длины прямолинейного отрезка, соединяющего точки 11(1) и 12(1), равна (Е1(1), 1"1'1) + (Е2(1),.№2), где Х1 = ( 11(1) — 'у2(1))/Ц'11(1) — 02(Х)Ц, и Хг = — Х1.
Поэтому, (Е ( ) Е ( ) 71(~) /2(~) ) Щ ЦТ1ф 12( )Ц '1тобы перейти к пределу при 1 — 1 О+, нам понадобится следующая лемма. Лемма 1.1 Пусть а: (О, Ц -+ К" гладкая кривая в 2", причем а(0) = О, и а'(0) ф О. Тогда а(1) а'(0) 1 — 1ое Ца(1) Ц Ца'(0) Ц Доказательство.
Действительпо, раскладывая а(1) в ряд Тейлора с центром в точке 1 = О, имеем: о(1) а(0) + а'(0)1+ о(1) Ца(С)Ц (а(0),а(О)) + 2(о(0),а (0))1+ (а (0),а'(0))12+ о(12) Так как а(0) = 0 последнее выражение при 1 > 0 псрепнсывается в виде а'(0)1 + о(1) а'(0) + о(1) Цо'(0) Це;/1+ о(1) Ца'(0) Ц т/1 + о(Ц Переходя к пределу при 1 -+ О+, получаем требуемое. Лемма доказана. Теперь, переходя в выражении для Ы/д1 к пределу при 1 — 1 О+ и положив Е;(0) = Е1, получим д1 ( 'ЦŠ— Е Ц) 1=О 1 2~~ 1.3. Параметрические сети. Перейдем теперь к общему случаю. Ясно, что достаточно рассмотреть нормальную окрестность точки А в многообразии И". Обозначим через и~(а) единственную кратчайшую геодезическую, соединяющую точки 'у~(1) и (з(а), и предположим что а параметр, пропорциональный натуральному. Снова в силу.
следствия 1.2, в произвольный момент времени 1 > 0 производная М/Пс длины отрезка кратчайшей геодезической, соединяющего точки чт(1) и уэ(1), равна (Е~ (1), Х~(1)) + (Ез(1), Хз(1)), где векторы Х~ (1) и Хз(1) суть единичные векторы направления геодезической гм приходящей в точки ц(1) и уз(1) соответственно. Обозначим через Х(1, а) векторное поле вдоль мм пропорциональное полю скоростей сЬ~/сЬ и равное Хэ(1) в точке "уз(1). Очевидно, Х(г, а) поле, параллельное вдоль геодезической гм и значение этого поля в точке ут(г) равно — Л'~(г). Далее, рассмотрим параллельное вдоль геодезической и, векторное поле Ея(1, а), совпадающее с Ея(1) в точке уз(1), Ясно, что скалярное произведение (Ез(1, а), Х(1, з)) не зависит от а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
