Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 17
Текст из файла (страница 17)
С з И' называется параметрической сетью типа С на многообразии И'. Глава 1. Обобшенные сети на многообразиях. По определению, каждая параметрическая сеть -- это пара (Г, д), состоящая из сети Г с И' и фиксированной параметризации р: С ь Г С И'. Однако, так как, параметризация ум С -+ И' однозначно задает, в частности, и саму сеть Г = фС) С И', то естественно отождествлять параметрическую сеть (Г, ф с ее параметризацией ум С вЂ” ь И', что мы и будем делать, Таким образом, можно дать другое эквивалентное определение параметрической сети.
Определение. Параметрической сетью типа С на многообразии И' называется произвольное непрерывное отображение ум С вЂ” у И' графа С в многообразие И'. Сеть Г на многообразии Ие, совпадающая с образом р(С) параметрической сети ьт С вЂ” > И', называется следом парамотрической сети ю; С вЂ” ь И'. Про параметрическую сеть, следом которой является данная сеть Г, говорят, что она параметризует сеть Г. Итак.
мы определили сети и параметрические сети на многообразии И'. Эти два понятия связаны следующим очевидным образом. зетверждеиие 1.1 Пусть ю: С вЂ” у И' произвольная параметрическая сеть на многообразии И'. Тогда ее образ у(С) являетея сетью на И'. Калсдая сеть на многообразии И' является следом некоторой параметрической е.ета на И .
1.3 Параметрические сети Мы начнем изучение сетей со случая параметрических сетей. Затем. в следу.ющем параграфе, мы вернемсл к случаю общих сетей, рассматривая их как следы параметрических сетей. Ниже в данном параграфе, говоря о параметрических сетях, мы иногда,там где это не вызовет недоразумений, будем, для краткости, опускать слово "параметрическаяь и называть параметрические сети просто сетями, допуская тем самым определенную вольность речи.
1.3.1 Параметрические сети, приведенные параметрические сети, компоненты вырождения Пусть УИ произвольное многообразие, Ф: С ь Ие произвольная параметрическая сеть типа С на И', и Г = Ф(С) ее след. Ограничения отображения Ф на вершины и ребра графа С называются соответственно вершинами и ребрами параметрической сети Ф, а образы 1.3. Параметрические сети. вершин и ребер параметрической сети Ф -- следами вершин и следами ребер из Ф соответственно.
В дальнейшем мы будем,как правило без оговорок, применять к параметрическим сетям терминологию, относящуюся к их параметриэуюшим графам, Например, будем называть сеть связной, конечной, простой и т.п., если ее параметризующий граф связен, конечен, прост соответственно.
Пусть Н произвольный подграф параметризующого графа С параметрической сети Ф: С э И~. Рассмотрим ограничение Ф~п отображения Ф на подграф Н. Если образ Ф(Н) связен, то, очевидно, отображение Р~п является параметрической сетью, которую мы будем называть подсетью паримстричсской сесна Ф, соответствующей подграфу Н.
Подсети, порожденные связными компонентами графа С, будем называть связными компонентами параметрической сети Ф. Ребро параметрической сети Ф: С вЂ” э И~, а также соответствующее ребро графа С, назовем вырожденным, если оно является отображением в точку.. Отметим, что замыкание вырожденного ребра графа С также отображается в точку.
Поэтому имеет смысл говорить о вырожденных за,икнутыл ребрах. Связные компоненты множества всех замкнутых вырожденных ребер графа С назовем компонентами вырождения параметризующего графа параметрической сети Ф. Каждая компонента вырождения, очевидно, является подграфом в С, целиком отображающимся в точку. Ясно, что две различные компоненты вырождения графа С нс пересекаются. Параметрическую сеть, все ребра которой вырождены, назовем точечной, В частности, подсети, порожденные компонентами вырождения, являются точечными сетями. Пусть Н вЂ”.— подграф в С, являющийся объединением всех компонент вырождения параметрической сети Ф: С вЂ” у И'.
Тогда корректно определено отображение Ф фактор-графа С/Н в многообразие И', такое что Ф о х = Ф, где к: С вЂ” э С/Н стандартная проекция на фактор-пространство, Ясно, что отображение Ф непрерывно и, поэтому, определяет параметрическую сеть Ф; С~Н э И', которую мы назовем приведенной параметрической сетью. Приведенная сеть уже не содержит вырожденных ребер. След приведенной сети Ф совпадает, очевидно, со следом сети Ф. Прообраз вершины приведенной сети при проекции к назовем приведенной компонентой сети Ф, соответствующей этой вершине. Ясно, что каждая приведенная компонента или является точкой, или представляет собой объединение некоторых компонент вырождения сети Ф.
Вершину параметрическои сети Ф назовем вырожденной, осли соответствующая вершина параметризу юшего графа принадлежит некото- Глава 1. Обобщенные сети на многообразиях. 70 рой компоненте вырождения. В противном случае вершину будем называть невырождснной. Отметим, что все вершины приведенной сети нсвырождены. Степенью невырожденной вершины параметрической сети назовем степень соответствующей вершины параметризующего графа. Степенью вершины параметрическои сети Ф будем называть степень соответствующей вершины приведенной сети Ф. 1.3.2 Гладкие, кусочно-гладкие, вложенные и погруженные параметрические сети Пусть И' -- произвольное гладкое многообразие.
и Ф; С -+ И' †. некоторая параметрическая сеть на нем. Рассмотрим произвольное замкнутое ребро Ф: с1(е) — ь И' сети Ф, которое, по определению, представляет собой ограничение отображения Ф на замыкание с1(е) одномерной клетки е клеточного комплекса С, и пусть з~: 1 -+ С характеристическое отображение ребра е, где 1 = 10, 1] --- стандартный отрезок, Будем говорить, что ребро Ф: е †> И' параметрической сети Ф (кусочно-)гладкое, если отображение Ф о у: 1 — ь И' является (кусочно-)гладким отображением отрезка 1 в гладкое многообразие Ис (вплоть до границы),т.е. (кусочно-)гладкой кривой.
Отображение Ф о т: 1 — ~ И' иногда называют координатным представлением замкнутого ребра Ф: с1(е) з И' параметрической сети Ф, Далее, ребро сети будем называть регулярным, если оно задает регулярную кривую на И'. Определение. Параметрическую сеть Ф: С вЂ” > И' будем называть (кусочно-) гладкой, если каждое ее невырожденное ребро является (кусочно-)гладкой регулярной кривой. Еусочно-гладкая параметрическая сеть Ф называется погруженной, если все ее ребра --- вложенные кривые.
Погруженная параметрическая сеть Ф называется вложенной, если отображение Ф является вьоженисм топологического пространства С в 1И, т.е. если отображение Ф задает гомеоморфизм между параметризующим графом С и следом Ф(С) параметрической сети Ф. Замечание. В дальнейшем, если не оговорено противное, все параме- трические сети предполагаются гладкими или кусочно-гладкими. 1.3.3 Граница параметрической сети. Замкнутые параметрические сети Во многих практически значимых ситуациях возникает так называемая граничная задача.
А именно, на многообразии И" выделяется 1.3. Параметрические сети. 71 некоторое конечное множество точек ЛХ, и рассматриваются параметрические сети, множества вершин которых содержат ЛХ. Про такие сети говорят, что они затягивают множество М. Более формально, пусть ЛХ с И' некоторое конечноо множоство точек многообразия И', и пусть С граф с границей ЛХо, состояшей из не меньшего, чем множество ЛХ, числа элементов. Фиксируем некоторое сюръективное отображение 13 из ЛХп на ЛХ. Пусть Ф: С вЂ” ~ И'-- параметрическая сеть, "уважающая" отображение )3, т.е.
Ф(о) = )3(о) для любой вершины и из Мп. Вершины Ф: о — > И', где о е ЛХп, будем называть граничньма или неподвижными вершинами сети Ф, а сеть Ф --- параметрической сетью, затягивающей множесвпво М по отображению,3, или параметрической сетью с границей д: ЛХо — > М. Не граничные вершины сети будем называть подвижными или внутренними. Если нам не важен конкретный вид отображения )3, а лишь вид множества ЛХ С И', то про параметрическук~ сеть Ф., уважающую некоторое отображение Х3: ЛХп — ~ М для некоторого ЛХо, будем говорить, что она затолгивает множество ЛХ, и такую параметрическую сеть Ф будем называть сетью с границей ЛХ. Определение.
Параметрическую сеть Ф назовем замкнутой, если ее граница пуста. Подвижная вершина параметрической сети, имеющая степень два и не инцидентная петле, называется фиктионой. Это связано с тем, что во многих задачах такие вершины можно исключить из рассмотрения, "склеив" инцидентные фиктивной вершине два (неци1слических) ребра в единое ребро. Ребро параметрической сети, инцидентное некоторой ее фиктивной вершине, также будем называть фиктивным. В дальнейшем нам также понадобится следующее определение.
Определение. Пусть Ф вЂ” — параметрическая сеть с некоторой границей,3; ЛХп -э М, и Ф соответствующая приведенная сеть. Вершину приведенной сети назовем подвижной, если ее прообраз при канонической проекции содержит хотя бы одну подвижную вершину сети Ф. 1.3.4 Эквивалентности параметрических сетей с1асто в рамках тох или иных задач формально различные параметрические сети обладают принципиально одинаковыми свойствами. Естественно в этих случаях считать такие сети одинаковыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
