Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Танис сети мы будем называть геодезичесгими сешямн. Формула первой вариации геодезической сети, получающаяся в результате этого обобщения, будет нам чрезвычайно полезна в дальнейшем при изучении минимальных сетей. Пусть Ф: С вЂ” у Иг геодезическая сеть, затягивакьщая конечное подмножество М риманова многообразия Иг. Рассмотрим произвольную гладкую деформацию Фь, 1 Е ( — 1, Ц, сети Ф, .и пусть ь(1) -. длина параметрической сети Фг Обозначим через Е, векторы скоростей движения подвижных вершин 1; сети Ф при деформации Фь в начальный момент времени 1 = О.

Рассмотрим произвольную подвижную вершину Ъ; и все инцидентные еи невырожденные ребра сети Ф, если они есть. Обозначим через Л', сумму единичных векторов скоростей, с которыми точки, движущиеся по этим невырожденным ребрам, приходят в вершину Г;;. Если все ребра, инцидентные вершине 1; вырождены, то положим Х, = О, Пусть |", и 1: две произвольныс подвижные вершины. Обозначим через ро число вырожденных ребер, соединяющих К с р'. Предложение 1.10 (Первая вариация геодезической сети) Фуннаия 1(1) дифйберенпируема.

Более шаго, производная этной функция в начальный момент времени имеет вид: — (Е;,ХД+~~ /)Е; — ЕД~ио = ~~ (Ему+ — ~ ~()Е; — Е ~~р, Доказательство. Эта формула немедленно вытекает из опреде.яения длины сети, следствия 1.2 и предложения 1тй Пусть л — некоторая подвижная вершина графа С, и уг - вершина приведенной сети Ф, прообраз которой при канонической проекции я: С у С содержит л. Предположим, что деформация Фь локальна в следующем смысле: носитель С„рр этой деформации содержит тс и только те вершины графа С, которые принадлежат приведенной компоненте вершины уг, Обозначим через Ф,„рр сеть, являющуюся ограничением сети Ф на носитель Св„рр, прсвращенныи естественным образом в граф (к С,„рр добавлены неподвижные вершины степени Ц. В 1.3.

Параметрические сети. 87 этих предположениях, правая часть формулы первой вариации имеет следующую важную для дальнейшего геометрическую интерпретацию. Рассмотрим набор векторов (Е;,) как множество точек в пространстве ХХ"> где п размерность многообразия Ис. Пусть к количоство элементов множества (Е;), т.е, количество подвижных вершин сети Фн„вр, тогда конфигурационное пространство всевозможньсс положений (Е;) совпадает с пространством Кнь. Пусть Е = (Е>,..., Еь), и >у> = (>у>>,...,>у>ь), тогда первая сумма в формуле первой вариации равна скалярному произведению в К"ь векторов Е и >Л>у.

т.е. равна (Е, Лси). Отметим, что скалярное произведение на Рс"Я задается как на прямом произведении К" х . х К", где ХЛо касательное пространство к риманову многообразию И' в той точке, в которую переходят все подвижные вершины сети Ф,„ор, т.е. в точке И.

Обозначим через Ф> . - сеть в Б'." с вершинами (Е;), таку>о что каждая пара Е; и Е ее вершин соединяется о,>. отрезками ребрами сети Ф~~. Отметим, что параметризующий граф этой сети совпадает с параметризующим графом приведенной компоненты сети Ф,„„р, соответствующей Г. Вторая сумма в формуле первой вариации равна длине сети Фл>'. Обозначим, для краткости, длину сети Фв> через Хи(Е), Итак, мы получаем следующее следствие. Следствие 1.5 В сделанных выи>е обознслчеииях, формула первой вариации длины для деформации Ф> молкет бытие записана в следуюилем виде: дХ вЂ” = (Е,Л>и) + Хт (Е). >=о 1.3.10 Вторая локальная геодезическая вариация погруженных параметрических сетей Пусть Г --. некоторое выпуклое подмножество полного риманова многообразия $Г.

Рассмотрим некоторую погруженную параметрическую сеть Ф, целиком лежлплую в с>, затягиваюшую конечное множество ЛХ С Г, имен>щую одну подвижную вершину И, и такую, что все ее ребра . -. су.ть геодезические, соединяющие И с точками из ЛХ. Пусть, как и выше, Л>, единичные вектора направлений, с которыми точки, движущиеся по ребрам сети Ф, приходят в вершину Г. Рассмотрим такую деформацию Ф(е) сети Р, что вершина Р движется по произвольной кривой И(е) С ХХ., И(0) = >', а ребра каждой сети Ф(е) суть геодезические, соединяющие И(е) с точками из ЛХ. Такие деформации параметрической сети Ф будем называть геодезическилли дефорллациями сети Ф. Глава 1.

Обобшенные сети на многообразиях. Обозначим через с(е) длину сети Ф(е). Тогда, в силу предложения 1.10, первая производная функции 1(е) при е = О имеет вид: где Е вектор скорости кривой Г(е) в начальный момент времени. Предположим, что эта первая производная равна нулю. Тогда с помощью следствия 1.3 несложно вычислить вторунь производную функции Р(е) при е = О, Предложение 1.11 В сделанных выше предположеният, вторая производная функции 1'(е) длины параметрической сети Ф при геодезической вариации Ф(е) имеет вид: — = (ЧнЕ, ~ Х;) ~и+ ~ (ЕОЧк, Й) ~ „ сИ ' с=е й где Е, поле деформации вдоль 1-го ребра, и Е, нормальная составляющая поля Е,. В частности, если вершина И движется вдоль некоторой геодезической, то вторая производная длины сети может быть записана так.

Следствие 1.6 Если в предположениях предложения 1.11 подвижная вершина И сети Ф движется вдоль некоторой геодезической, то вторая производная длины параметрической стаи Ф при такой деформа'ции имеееп вид: — (Еп Tл Е,)!и. й'б ==о Из следствия 1.4 вытекает следующий важный результат. Следствие 1.7 В сделанных выше предположен ях, если единственная подвижная вершина сети Ф движется по геодезической, то вторая производна функцаи 1(е) в начальный момент времени неотрица'цельна: дзс > О. де2 Более того, равенство нулю достигаепюя если и только с<ми след сети Ф представляет собой отрезок некоторой геодезической у, на котором расположена вершина 1х четной степени, образы половины инцидентных И ребер лежат на Т по одну сторону оеп И, а другой 1.4.

Сети — следы. половины -.- по д'ругую, причем крива Ъ'Я является частью геодезического отрезка Ч. Таким образом, или функция 1(г) постоянна, или ее вторая производная строго больше нуля в начальный момент, времени. 1.3.11 Формула первой вариации взвешенной длины геодезической параметрической сети В настоящем пункте мы обобщим формулу первой вариации длины геодезической параметрической сети на случай взвешеннои длины взвешенных геодезических параметрических сетей, т.е. геодезических сетей, на множестве ребер которых задана весовая функция.

Пусть Ф: С вЂ” > И' взвешенная геодезическая параметрическая сеть, затягивающая конечное подмножество ЛХ риманова многообразия И'. Рассмотрим произвольную гладкую деформапию Ф~ сети Ф, и пусть ~(О взвешенная длина сети Фь Как и выше, обозначим через Е, векторы скоростей движения подвижных вершин г; сети Ф при деформации Фг в начальный момент времени 1 = О, Далее, рассмотрим произвольную подвижную вершину г;, и все инцидентные ей невырождснные ребра сети Ф, если они есть.

Обозначим через Х; линейную комбинацию единичных векторов скоростей, с которыми точки, движущиеся по этим невырожденным ребрам, приходят в вершину. 1;, взяв в качестве коэффициентов этой линейной комбинации веса соответствующих ребер. Если все ребра, инцидентные вершине г;, вырождены, то положим Х; = О. Пусть Ъ'; и 1' две произвольные подвижные вершины. Обозначилв через ьм сумму весов всех вырожденных ребер, соединяющих 1', с ! Следствие 1.8 Функция ьэ(Х) дчфференцируема. Производная этой функции в начальный момент времени имеет вид: 1.4 Сети — следы В предыдущем параграфе мы познаколвились с параметрическими сетями.

Однако, в практических задачах конкретный вид параметризующего графа параметрической сети часто не имеет значения, а важен только образ параметрической сети как подмножество многообразия, т.е. след параметрической сети. Кроме того, во многих прикладных Глава 1. Обобшенные сети на многообразиях. 90 задачах приходится иметь дело с такими деформациями сетей, при которых существенно меняется их топология (например., сеть с циклами превращается в дерево), причем эти деформации являются, в некотором естественном смысле, непрерывными. Все это приводит к неооходимости, наряду с параметрическими сетями, также рассматривать и сети как таковые.

При этом, конечно, естественно использовать технику, развитую выше для параметрических сетей, Имея все это в виду, мы отождествим между собой все параметрические сети, следы которых совпадают. Полученное в результате множество сетей естественно называть пространством следов, а его элементы — . с;дедами. 1.4.1 Следы Пусть М --" множество всех конечных кусочно-гладких параметрических сетей на многообразии РР, т.е. сетей, имеющих лишь конечное число вершин, и, значит, ребер. Введем на М отношение эквивалентности, отнеся к одному классу параметрические соти. имеющие один и тот же след.

Соответствующее фактор-множество обозначим через Определение. Элементы множества Т будем называть следами, а само множество Т -- пространством следов. Ясно, что между пространством следов и множеством всех сетей, допускающих параметризапию конечной параметрической сетью, существует естественное взаимно однозначное соответствие. В дальнейшем мы будем отождествлять эти два множества, перенося на следы всю введенную для сетей терминологию.

Например, если т е Т некоторый след, то про произвольную параметрическую сеть Ф: С вЂ” э И', такую что Ф Е т, будем говорить, что Ф иараметризует след т. В заключение данного пункта, мы приведем пример, иллюстрирующий полезность перехода к рассмотрению следов. Пример. Как было рассказано во Введении, минимальные сети можно моделировать с помощью мыльных пленок, Проделав достаточно много экспериментов с различными конфигурациями из пластин и проволочек, можно заметить, что все возникающие минимальные сети следы на пластинах от затягивающих эти конфигурации мыльных пленок обладают интересной особенностью: каждая вершина любой такой сети имеет степень, не превосходящую трех.

Несложно слегка модифицировать конструкцию так, чтобы можно было в процессе экс; перимента изменять положения проволочек друг относительно друга. 1.4. Сети — следы. При этом мыльная пленка, а вместе с ней и минимальная сеть, будут деформироваться по следующим правилам: если в процессе деформации никакая пара пограничных вершин сети, т.с, вершин, отличных от точек крепления проволочек, не сливается в одну вершину.

то мыльная пленка и минимальная сеть изменяют свою форму непрерывно. Если же в процессе деформации некоторая пара неграничных вершин сети слилась в одну вершину, то эта новая вершина степени более чем три мгновенно распадется на несколько вершин степени нс более трех. На рис. 1.4 изображена такая перестройка в случае сетей, затягивающих вершины прямоугольников. к момент бифуркации Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации