Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В настоящем разделе мы введем несколько естественных отношений эквивалентности на множестве параметрических сетей. Глава 1. Обобшенные сети на многообразиях. 72 Пусть Ф>. С~ — > Ит и Фя .. Ся — ~ И' --- параметрические сети (замкнутые или с одной и той же границей) на многообразии И>.
Если существует эквивалентность Х: С> — > Сз графов С> и Ся, для которой Ф> = Фя о Х, то говорят. что сети Ф> и Фз получаются друг из друга заменой параметпризацив. Если сети Ф> и Ф> гладкие, то дополнительно предполагается, что эквивалентность 1 является диффеоморфизмом графов в следующем смысле.
Если Ф~, с1(е>) — > И'-- произвольное замкнутое ребро сети Фы переходящее в замкнутое ребро Фз. с1(ез) — ~ И' сети Фз, и у~;: 1 — > С, характеристические отображения ребер е,, то композиция отображений уз ' о Х а у> корректно определена на внутренности отрезка 1, является там гомеоморфизмом и, как легко видеть, продолжается до гомеоморфизма на весь отрезок 1. Эквивалентность Х называется диффеоморфизмом графов, если для каждого ребра построенный гомеоморфизм отрезка 1 есть диффеоморфизм. Из определения вытекает, что в случае, когда сети Ф, затягивают одно и то же нспустос множество М по граничным отображениям ,3,; ЛХс>, -> М С И', то эквивалентность Х: С> — > Сз порождает взаимно однозначное соответствие между ЛХп, и ЛХс>„т.е. переводит границу ЛХо, графа С> в границу Мп, графа Ся.
Однако, иногда нам может быть важно, чтобы отображение Х: Мп, — > ЛХц„было не произвольно, а фиксировано. Например, если С> = Сз = С, ЛХс>, = ЛХс>, = ЛХп, и сети Ф, отличаются лишь параметризациями Ф,: С вЂ” ~ И', то мы можем потребовать, чтобы замена параметризации порождала тождественное отображение на множестве ЛХся Такая замена параметризации называется жесткой.
Пример. Пусть С вЂ”. дерево с четырьмя вершинами степени 1 и двумя вершинами степени 3. В качестве многообразия 1И возьмем плоскость К-, а в качестве М вершины квадрата. Пусть Мп все вершины дерева С степени 1. Рассмотрим вложеннук> параметрическую сеть Ф: С вЂ” э Кз, затлгивающую множество ЛХ так, как показано на рис. 1.2. Пусть М = ЛХ> Ы ЛХз --- разбиение множества М на два двухэлементных множества, в каждое из которых входят те точки из М, которые инцидентны ребрам сети Ф, выходящим из одной вершины. Обозначим через т осевую симметрию, переводящую ЛХ> в ЛХ, и через тп соответствующее преобразование множества ЛХп, т.е.
такое преобразование, при котором т(Ф(т)) = Ф(тс>(т)) для любого т Е ЛХо. Продолжим преобразование тп до некоторой эквивалентности Х; С -> С. Тогда, очевидно, сети Ф о Х; С вЂ” > 11з и Ф: С -+ Кз получаются друг из друга заменой параметризации, не являющейся жесткой. Всюду ниже мы нс будем рззличать параметрические сети, получа- 1.3. Параметрические сети.
73 Рис. 1.2: Нежесткая замена параметризации ющиеся одна из другой заменой параметрвзэцин (жесткой, если требуется). Пусть теперь параметрические сети Ф1 и Фз на многообразии И' удовлетворяют следующему условию: существует гомеоморфизм Е многообразия И" на себя, при котором след Ф~(Сь) сети Ф1 переходит в след Фз(с з) сети Фз.
Тогда эти параметрические сети назовем слабо эквивалентньмаи. Если отображение Е при этом гомотопно тождественному отображению многообразия И' на себя (в классе гомеоморфизмов), то такие параметрические сети назовем слабо деформаиионно эквивалентными. Мы не предполагаем, вообще говоря, что границы слабо эквивалентных сетей переходят одна в друтую. Это ограничение появится в следующей, сильной эквивалентности, которая может быть определена так.
Предположим, что существует гомеоморфизм Е многообразия И' на себя, при котором параметрическая сеть Фз переходит, с точностью до параметризации,в параметрическую сеть Фа,т.е. существует такая замена параметризации 7": С1 — ~ Сз, что Е с Ф1 — — Фэ ь 7'. Кроме того, если сеть Ф, затягивает множество И,, с И', то будем дополнительно предполагать, что ограничение Х на множество ЛХ1 взаимно однозначно отображаст ЛХ1 на Л4з. Тогда параметрические сети Ф1 и Фа назовем сильно эквивалентными.
Если отображение Е к тому же гомотопно в классе гомеоморфизмов тождественному отображению многообразия И' на себя, то такие сети назовем сильно деформаиионно эквивалентнвмли или, просто, эквивалентными. Замечание. Параметризующие графы сильно эквивалентных параметрических сетей всегда эквивалентны по определению, что, вообще говоря, неверно для слабо эквивалентных сетей.
В самом деле, две любых точечных сети на связном многообразии слабо деформационно эквивалентны, однако, если их параметризующие графы не гомеоморфны, Глава 1. Обобщенные сети на многообразиях. 74 то эти сети, очевидно, не эквивалентны в сильном смысле. Иногда, при изучении параметрических сетей данного типа С, затягивающих фиксированное конечное подмножество ЛХ точек многообразия И', нам может оказаться важным вид граничного отображения В: ЛХ — ~ ЛХ. Поэтому в таком случае мы бу.дем накладывать, как и на замены параметризации [см.
выше), ограничения на сильную [деформационную) эквивалентность. А имешш, мы будем предполагать, что гомеоморфизм г': Иг — у Иг тождественен на ЛХ, а перепараметризация Х: С вЂ” > С тождественна на ЛХп. В этом случае сильную эквивалентность гяы также будем называть жесткой. Для класса вложенных сетей понятия сильной и слабой деформационной эквивалентности совпадают, поскольку вложение осуществляет гомеоморфизм параметризующего графа с образомд В этом случае вместо деформации многообразия при определении деформационной эквивалентности можно рассматривать деформацию самой сети.
А именно, пусть Фо, С вЂ” > И' и Фг. С вЂ” у И' --. ыюженные параметрические сети, и предположим, что задано кусочно-гчадкое отображение г': С х [0,1[ -+ И", где С параметризующии граф сетей Фо и Фм причем сеть Г(зО) = Фо совпадает с Фо, сеть Г[з1) = Фг совпадает с Фм и каждая сеть г'[з1) = Фг является вложенной параметрической сетью.
Тогда говорят, что существует [кусочно-)гладкая деформация Фг, 1 Е [О, 1], одной параметрической сети в другую в классе вложеннХж Следующее утверждение вытекает из общих теорем о существовании накрывающей изотопии, см. например [75[. Угтверждение 1.2 Вложенные сети Фо. С вЂ” ~ И' и Фг. С вЂ” ь И' являются деформационно эквиваленгпмыми, если и только если существует деформация одной из них в другую в классе вложений. Доказательство.
Если сети Фо и Фг деформационно эквивалентны, то, по определению, существует гомотопия Рг гомсоморфизма г': Иг -+ И' в классе гомеоморфизмов, переводящего одну сеть в другую, в тождественное отображение. Ограничение этой гомотопии на след сети Фо, порождает требуемую деформацию сетей в классе вложений. Обратно, пусть существует деформация г) соти Фо в сеть Фз в классе вложений.
Очевидно, эту деформацию можно продолжить до деформации некоторой малой трубчатои окрестности следа Фа [С) сети Для класса вложенных сетей совпадают также понятия сильной и слабой эквивалентности. Возможно, естественно было бы в этом глччае намывать такчю экви- ваген гность просто "эквивалентностью", однако у нас этот термин уже закреплен за сильной деформационной эквивалентностью, что более удобно для нюпнх целей. 1.3. Параметрические сети.
75 Фш являющейся многообразием с краем, в трубчатую окрестность следа Ф~(Г) сети Ф г Осталось воспользоваться общим результатом о существовании накрывающей изотопии для изотопных локачьно плоских вложений. см. например [75], и получить изотопию объемли~щего многообразия, ограничение которой на след сети Фе совпадает с исходной деформацией Гс.
Утверждение доказано. 1.3.5 Длина параметрической сети на римановом многообразии Пусть И' гладкое риманово многообразие, и Ф: С вЂ” ~ 1г' конечная гладкая или кусочно-гладкая параметрическая сеть на нем. Тогда естественно определить длину с(Ф) сети Ф как сумму длин всех се ребер. Так как кагкдос ребро параметрической сети представляет собой (кусочно-)гладкое вплоть до границы отображение отрезка в многообразие., длина каждого ребра, а, значит, и всей сети, определена и конечна. Замечание. Отметим, что непрерывная на отрезке кривая, гладкая лишь на его внутренности, может иметь бесконечную длину. В качестве примера достаточно рассмотреть график ",~ функции у(т) к сов(я/т) на отрезке ~0,1]. Поскольку в точках вида 1/к значение функции равно т1/Й, длина кривой 7 по крайней мере не меньше суммы (1/1с) гармонического ряда. Поэтому кривая 7 имеет бесконечную длину.
Отметим, что длина параметрической сети Ф: С вЂ” > И" не определяется ес следом Ф(0). Действительно, следы различных ребер соти могут совпадать как подмножества многообразия. В этом случае соответствующее подмножество дает вклад, пропорциональный количеству переходящих в него ребер графа С. 1.3.6 Взвешенная длина параметрической сети Как уже упоминалось выше, в приложениях часто приходится иметь дело с графами, ребра которых "неравноправны". Один из возможных подходов к задачам такого рода состоит в рассмотрении взвешенных графов, т.е. графов, на ребрах которых заданы числа, называемые весами ребер (см. выше).
Для таких графов можно ставить, например, классическую задачу о поиске остова минимального веса, которая легко решается с помощью алгоритмов типа Краскала, см. Глава 1. Обобщенные сети на многообразиях. 76 предложение 1.3. Отметим, что в таком контексте граф рассматривается абстрактно, вне какого бы то ни было объемлющего многообразия. Однако в реальных задачах учитывать специфику объемлющего многообразия часто бывает необходимо. Скажем, при изучении транспортных сетей может оказаться, что стоимость разных участков сети пропорциональна длине этих участков с разными коэффициентами пропорциональности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
