Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В частности, на Ломоносовских чтениях (МГУ, Москва); -- на Зимних математических школах в Воронеже; — на Ташкентской конференции по геометрии инвариантов многообразий (Ташкент, 1992); на конференции, посвященной Лобачевскому (Санкт-Петербург, 1992),. на семинаре по геометрической визуализации под руководством проф. Т. Кшш (Айву, Япоция, 1993, 1997); на Александровских чтениях в МГУ, в том числе на международной конференции посвященной 100-летию П. С. Алексндрова; на международном математическом конгрессе (Цюрих, Швейцария, 1994); 4. Краткое содоржание диссертации.
55 -- на конференции по уравнениям в частных производных и их при- ложениям (Санкт-Петербург., СПОМИ РАН, 1995); на конференпии, посвященной Чебышеву, (МГУ, Москва, 1996); на международной конференции по дифференциальной геоме- трии (Рио де Жанейро, Бразилия, 1996); на международной конференции по геометрии (Санкт Петер- бург, Международный Математический Институт Эйлера, 1997); на международной конференции по интеллектуальным системам (Москва, МГУ, 1997)., на молодежной научной школе по дискретной математике (Москва, МГУ, 1997); -- на научных семинарах в Московском государственном универ- ситете; на семинаре профессора Л. Ловс в Рурском университете (Бохум, Германия, 1993); на семинаре профессора А.
Н1яая в Институте математики, ста- тистики и компьютерных методов (1МБСС) университета г. Кампи- наса (Кампинас, Бразилия, 1993); на семинаре профессора Е. Мегсцгу в Институте математики, статистики и компьютерных методов (1МБСС) университета г. Кам- пинаса (Каыпинас, Бразилия, 1994); - . на семинаре профессора Н. Аярег1у в университете г. Сан-Пауло (Сан-Пауло, Бразилия, 1994); на семинаре профессора 3. Н11пеЬгапс11 в Боннском университете (Бонн, Германия, 1996); на семинаре профессора Р.
Топи' в Хайдельбергском у.ниверси- тете (Хайдеяьберг, Германия, 1996); на семинаре профессора Ю. Манина в институте Макса Планка (Бонн, Германия, 1996); —. на семинаре профессора Н. Е1евсйапб в Рурском университете (Бохум, Германия, 1994, 1996); на семинарах по геометрии и топологии в ПОМИ РАН (Санкт Петербург, 1997). Публикации Основное содержание диссертации опубликовано в 14 работах, список которых приводится в конце автореферата.
Автор глубоко признателен своему учителю академику Анатолию Тимофеевичу Фоменко, который научил автора работать, сформировал его научные интересы, и постоянно проявляет внимание к автору и Введение. 56 интерес к его работе. Автор также глубоко благодарен своему другу и коллеге Алексею Августиновичу Тужилину за многолетнее плодо- творное сотрудничество в решении научных, а так же многих друтих проблем. Глава 1 Обобщенные сети на многообразиях В данной главе строятся основы теории сетей на многообразиях.
Мы рассмотрим два подхода: можно рассматривать сеть как отображение в многообразие некоторого фиксированного топологичсского графа (так называемые параметрические сети)., а можно определять сеть просто как подмножество многообразия, допускающее представление в видо образа некоторой, неважно какой именно, параметрической сети (так называемые сети — следы). Если объемлющее многообразие риманово, то естественно опредг чается функция — длина сети (или, более общо, взвешенная длина). В следующей главе вся зта общая теория будет использована для постановки и решения задач минимизации длины и взвешенной длины соти, см, формальныв определения ниже.
В данной же главе приводится ряд общих определений и предварительных тохнических результатов, таких как формулы первой и второй вариации длины, необходимых для дальнейшего изложения. 1.1 Графы: топологический подход Мы будем рассматривать графы с топологической точки зрения. Такой подход будет удобен для пасв дальнейшем при опрсдслснии сотой и работе с ними. 1(роме того, одним из преимуществ топологического подхода является то обстоятельство,что он естественнее,чем классический комбинаторный подход, позволяет работать с графами, имеющими кратныс ребра и петли, что тоже важно для нас.
Э! Глава 1. Обобщенные сети на многообразиях. 58 1.1.1 Топологические графы,их эквивалентность Суть топологического подхода к теории графов состоит в том, что графы рассматривается сразу вместе с введенной на них естественной топологией. Цель данного пункта дать опредеяение графа как топо- логического пространства. Говоря неформально, топологическим графом называется совокупность отрезков, склеенных по своим концам. Формальное опрелеяение удобно дать на языке клеточных комплексов. Напомним, см., например, 128], что хаусдорфово топологическое пространство К называется клеточным комплексом, если задано его представление в виде объединения 0„о 0;,еь еа попарно непересекающихся множеств (клеток), причем для каждой клетки е," существует непрерывное отображение р стандартного замкнутого и-мерного диска хУ" с й" в К, называемое характеристическим отображением клетки е,", такое что сужение зо на внутренность 1пь Й" диска В" есть гомеоморфизм д: ш1 Юл — у е",.
Кроме того, предполагая>тся выполненныыи следующие две независимые аксиомы. (С) Граница де," = (с1е,'У) ~ е," клетки е," содержится в объединении конечного числа клеток е',и размерности т ( п. (Уг) Множество Г С К замкнуто в К тогда и таньке тогда, когда для любой клетки е,". пересечение г' и с1 е',У замкнуто в К. Представление пространства К в виде объединения клеток называется клеточным разбиением. Ограничение у~я„-~ ха1зактеристического отображения ~р клетки е," .на границу о" ' диска В" называется приклеиоаюи1им отображением. Число п, называется размерностью клетки е,", а верхняя грань размерностей всех клеток комплекса К раз.мерностью К .
Говорят, что комплекс конечен, если он состои~ из конечного числа клеток. Замкнутое подмножество клеточного комплекса К, являющееся объединением его клеток, называется нодкомнлексом. Ясно, что каждый подкомплекс — зто клеточный комплекс. Если К = 0„о0;еа е," клеточный комплекс, то легко видеть, что множество Л '" = 0~ о 0п х е", является замкнутым подмножеством в К, т.е. является подкомплексом. Подкомплекс К™ называется т-ым остовом комплекса К.
Далее, непрерывное отображение р клеточного комплекса Х в клеточный комплекс У называется клеточным, если ~р(Х ) С У"' для любого т. Как известно, см. например 1281, каждое непрерывное отображение одного клеточного комплекса в друтой гомотопно клеточному. Иногда бывает удобным фиксировать характеристические отображения клеток клеточного комплекса.
Клеточные комплексы с задан- 1.1. Графы: топологический подход. ными характеристическими отображениями иногда называют оснащенными. Дадим тспорь определение топологического графа. Определение. Тополозическим графом С назовем произвольный оснащенный одномерный клеточный комплекс. Клетки размерности 0 называются вершинами графа С., а клетки размерности 1 ребрами. Замыкания ребер графа С будем называть замкнутыми ребр ми. Замечание. Каждый клеточный комплекс Л может быть построен из стандартных замкнутых шаров с помощью приклеивающих отображений. В самом деле, пусть уже построен (и — 1)-ый остов К" ', и р„; ХУ" — > К характеристическое отображение, соответствующее и- мерной клетке е" комплекса Л.
Поскольку:р(дР") С К" ', определено отображение Ф несвязного объединениями = П Ко ', где Я" ' = дЕ1„', в К" ', а именно, Ф~». — — — д ~я- — . Пусть Г = П ЕУ„". Тогда очевидно,что Л" = ь Ов К" ',т.е.п-ьгй остов Л" получается из Ебв приклеиванием всех п-мерных клеток по их приклеивающим отображениям. В частности, каждый топологический граф это топологическое пространство, склеенное из набора отрезков по некоторой эквивалентности, отождествляющей концевые точки этих отрезков. Пусть С~ и Сэ топологические графы. Клеточное отображение р: С~ — ь Сэ называется ояпображением ерафов, если его ограничение на каждое ребро графа С~ есть или гомеоморфизм или отображение в точку (которая, по определению, является некоторой вершиной графа Сз), Определение. Отображение графов называется эквивалентношвъш, если оно гомсоморфизм. Графы С~ и Сз называются эквивалентными, если существует эквивалентность р: С~ -+ Сю С точки зрения теории графов эквивалентные графы устроены одинаково, и их, как правило, не различают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
