Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ясно., что множества следов Уы могут пересекаться, и, кроме того, объединение всех Уп совпадает с У (Р). Наименьшее число множеств Уса которыми может быть покрыто множество У(Р), назовем тином деформации У. Деформацию У' назовем дгфор,нацией конечного типа, если ее тип конечен. Деформации конечного типа удобны том, что для них естественно определяются понятия непрерывности и гладкости.
А именно, деформация У конечного типа называется непрерывной (гладкой)., если существует такое конечное покрытие множества Ус,Р) множествами Усс, и такое сечение ц: У (Р) — у М (т.е, я о цст) = т для произвольного следа т е У(Р)), что 4. Краткое содержание диссертации. деформации с ьУ: Р— ь Мп, индупированные У в пространствах Мои являются непрерывными (гладкими) деформациями соответствующих параметрических сетей. П дальнейшем мы будем рассматривать лишь гладкие деформации конечного типа. Во второй главе определяются понятия абсолютной минимальности, а также сильной и слабой локачьной минимальности для (взвешенных) параметрических сетей и понятия абсолютной и локальной минимальности для сетей — следов.
Доказана теорема существования минимальных сетей во всех основных рассматриваемых семействах сетей на полных римановых многообразиях. Пусть М некоторое семейство сетей на римановом многообразии И', и Л функционал длины или взвешенной длины на М. Сеть из М, на которой й принимает наименьшее возможное значение, называется абсолютно минимальной сетью в М относительно Л. В диссертации доказана следующая теорема. Теорема 1 (Теорема существования) Пусть УИ вЂ” свлзное полное риманово многообразие, и ЛХ некоторое фиксированное конечное множесппо точек из И', возможно пустое.
Тогда ° в семействе Л4п(Я параметрических сетей фиксированного типа С с границей нй дС -+ ЛХ, возможно пустой; ° в семействе 'Ип(д,ьз) взвешенных параметрических сетей фиксированного типа С с положительной весовой функцией ю и границей дП дС -+ М, возможно пустой; ° в семействе. М„~,(д) параметрических сетей, эквивалентных данной сети ук С вЂ” ~ И' с непустой границей д: дС вЂ” ь ЛХ; ° в семействе М(ЛХ) всех параметрических сетей с границей М, возможно пустой; ° в семействе Т(ЛХ) сетей — следов с границей ЛХ, возможно пустой, существует абсолютно минимальная сеть. Перейдем теперь к определению локазьно минимальных сетей. Как мы ужо отмечали, локально минимальные сети или "развствлснныс геодезические'"' возникают как естественное обобщение понятия стандартных геодезических на случай граничного множества, состоящего из трех и более точек многообразия Иг.
При переходе к такому граничному множеству сразу же возникает существенное отличие от случая Введение. 40 обычных геодезических. Л именно, данное конечное подмножество многообразия можно, вообще говоря, затянуть сетями разной топологии, т.е. сетями, параметризующие графы которых не гомеоморфны. Отсюда два возможных подхода к определению локально минимальных сетеи: можно определять минимальность сети в классе сетей фиксированной топологии, другими словами, в классе параметрических сетей фиксированного типа, а можно перейти к сетям- следам, разрешив тем самым топологии меняться.
Мы рассмотрим здесь обе эти возможности, начав со случая парамотрических сетей. В случае параметрических сетей естественно возникает два понятия локальной минимальности сильная и слабая. Разница между ними состоит в определении того, что такое "малость'' носителя деформации параметрической сети. Пусть Ф: С вЂ” > 'ее' параметрическая сеть с границей или без нее, х Е С произвольная точка графа С. Слабой локальной сетью точки х назовем параметрическую сеть Ф'„„являющуюся ограничением сети Ф на некоторый локальный граф С;, точки х, с границей, равной ограничению отображения Ф на каноническую границу локального графа См г Определение. Параметрическая сеть Ф называется слабо локально минимальной, если у любой точки х ее параметризующего графа С существует такая слабая локальнал сеть Ф' „,, что любал ее достаточно малая деформация, сохраняющая границу, не уменьшает длину сети ~Иос' Таким образом, слабо локально минимальные сети не у.меньшает свою длину при малых деформациях, возмущающих не более одной вершины сети.
Далее, обозначим через С граф, полу.ченный из С факторизацией по всем ребпаьц соответствующим вырожденным ребрам сети Ф, и пусть к; С э С .. стандартная проекция. Тогда корректно определена сеть Ф: С -+ И', такая что Фон = Ф, которая, очевидно, нс содержит вырожденных ребер. Эта сеть называется приведенной сетью. Прообраз вершины графа С при проекции к назовем приведенной компонентой сети Ф, соответствующей этой вершине.
Пусть х е С произвольная точка графа С, и д = я(х). Рассмотрим произвольну.ю допустимую сягрестность Г точки у в графе С. Замкнутое множество С,*„, = я ч(Г) с С наделим естественной структурой графа, объявив его вершинами всо вершины из С, попавшие в С„,, а также все точки из множества я ~(дГ) с С. Определим 4. Краткое содержание диссертации. 41 границу графа С»,„,, положив: дС,*„, = (к '(дП)) <1 (дС О С;,„,). Сильной локальной сетью Ф,*,, точки х назовем параметрическую сеть, являющуюся ограничением отображения Ф на С;„„с соответствующей границей Ф~оп-. Определение. Параметрическая сеть Ф называется сильно локально минимальной, если для любой точки х ее параметризующего графа С существует такая сильная локальная сеть Ф;,, что любая достаточно малая деформапия сети Ф,".„е, сохраняющая ее границу, не уменьшает длину сети Ф»),».
Таким образом, сильно локально минимальная сеть не уменьшает свою длину при малых деформациях, возмущающих не более одной вершины соответствующей приведенной сети. .Ясно,что из сильной локальной минимальности параметрической сети вытекает ее слабал локальная минимальность. Отметим также, что для погруженных сетей понятия сильной и слабой локальной минимальности совпадают, Пусть теперь Г с И' след с границей или без, и х Е Г произвольная его точка. Можно показать, что пересечение сети Г с любой достаточно малой шаровой окрестно<ти П точки х является следом некоторой погруженной параметрической сети, каждое ребро которой соединяет х с соответствующей точкой из дП.
В частности, пересечение окрестности П со следом Г вновь является следом, который мы обозначим через Г<», . Положим дГ<» — — (Г О дП) 0 (дГ О П) . След Г<» е с границей дГ<'„будем называть лака ьнььн следах< точки х Е Г. Определение. След Г называется локально л<инима ьным, если у любой его точки х существует такой локальный след Г;„, что любая достаточно малая деформация следа Гк ы неподвижная на дГ;„„не уменьшает длину следа Г<*,.
Пусть М некоторое семейство параметрических сетей или сетей— следов на римановом многообразии И'. Легко видеть, что всякая глобально минимальная сеть из М является локально минимальной в соответствующем смысле. Таким образом, следующая задача является естественным обобщением задачи о поиске в М абсолютно минимальных сетей.
Задача (Обобщенная проблема Штейнера) Пусть М .. некоторое сел<ейство сетей на риз<иновал< многообразии И'. Описать все локально минимальные сети из М. Введение. 42 Из теоремы 1 вытекает, очевидно, существование сильно и счабо локально минимальных параметрических сетей, а также локально минимальных сетей — следов во всех рассматриваемых кчассах.
В третьей главе описывается локальное устроиство локально минимальных сетей каждого из рассмотренных выше типов. Каждая такая сеть состоит, очевидно. из отрезков геодезических иначе можно легко уменьшить ее (взвешенную) длину, продеформировав любое не- геодезическое ребро. Поэтому описать локальную структуру локально минимальных сетей это описать, как эти геодезические отрезки стыкуются в вершинах сети. Начнем со с-чучая параметрических сетей. Мы сформулируем теорему для случая взвешенных локально минимальных параметрических сетей, имея ввиду, что обычные локально минимальные сети есть частный случай взвешенных.
Пусть И™м риманово многообразие размерности и, и Ф: С вЂ” ч И' взвешенная параметрическая сеть типа С с границей дФ, возможно пустой, и положительной весовой функцией. Для каждой подвижной вершины Г из Ф обозначим через Х; линейную комбинацию единичных векторов направлений приходящих в вершину 1', невырожденных ребер сети Ф с коэффициентами весами этих ребер. Если таких ребер нет, положим Х, = О.
Пусть 1;, произвольная вершина. Индексом вырвлсдвния д, вершины 11 назовем сумму весов всех вырожденных ребер, инцидентных 1ь Далее, пусть Ф: С ч И' приведенная сеть, соответствующая сети Ф. Вершина И графа С называется нодвилснвй, осли в ео прообразе я ч(И) содержится хотя бы одна подвижная вершина из С. Рассзчотрим приведенную компоненту С„, соответствующую произвольной подвижной вершине 1т из С, и ориснтируем ребра из Свг так, чтобы все ребра, соединяющие одну и ту же пару вершин из С„, имели одни 14 и тс же начало и конец.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
