Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пересечем поверхность Лй со сферой малого радиуса с центром в точке Р. Это пересечение предстагыяет собой некоторую сеть Г на сфере. Несложно показать, что в пределе, при стремлении радиуса сферы к нулю, сеть Г проврашается в замкнутую локально минимаяьную сеть на сфере, а участок поверхности, лежащий внутри сферы, превращается в конус над Г с вершиной в Р.
Таким образом, задача описания особенностей мыльных стенок сводится к описанию замкнутых локально минимальных сетей на сфере и последующему исследованию на устойчивость конусов над этими сетялли с вершиной в пентре сферы. Оказывается, как было показано Хепесом в [ЗЗ], см. также [26), что на сфере 3~, с точностью до движения, существует ровно 10 замкнутых локально минимальных гатей. топологии которых изображены на рис.
10. Отметим, что лишь три из них (на рис. 10 это три верхних сети) соответствуют устойчивым конусам, и, значит, особенностям мьыьных пленок. Последнее замечание соответствует одному из принципов Плато, описывающих своиства минимальных поверхностей. Введение.
30 Рис. 10: Топологии замкнутых минимальных сетей на сфере. В книге [46[ замечено, что на проективной плоскости ИР с метриз кой постоянной кривизны, с точностью до движения, имеется ровно 3 замкнутых локально минимальных сети. Этот результат немедленно вытекает из описания замкнутых локально минимальных сетей на сфере и наличия локально изометричного двулистного накрытия Яэ — > ВР . Соответствующие сети на сфере представляют собой замкнутую геодезическую, куб и додекаедр.
Замкнутые минимальные сети на других замкнутых поверх- ностях постоянной кривизны Ряд примеров замкнутых минимальных сетей на двумерных поверхностях постоянной отрицательной кривизны возник в работе Эдмондса, Эвинга и Кулкарни [24[. Общая проблема описания замкнутых локально минимальных сетей на замкнутых двумерных поверхностях постоянной кривизны была поставлена А.Т.Фоменко [26[, который предположил, что эта задача может оказаться проще, чем задача описания локально минимальных сетей на плоскости. Первые результаты в этом направлении были получены И, В. Птицыной (Шклянко), которая в работе [77[ анонсировала несколько результатов, направленных на описание замкнутых локально минимальных сетей на плоских торах.
Затем, И. В. Птицыной, А. А. Тужилиным и автором было завершена полная классификация замкнутых локально минимальных сетей на плоских торах [41] и, как следствие, на плоских бутылках Клейна [46[, [80[. Оказалось, что ситуация на плоских поверхностях существенно отличается от ситуации на поверхностях постоянной положительной кривизны: на каждом плоском торе и на каждой плоской бутылке Елейна имеется бесконечно много топологически различных замкнутых локально минимальных сетей. При этом каждая такая сеть нс является жесткой; она может быть продеформирована в классе ло- 3.
Локально минимальные соти. 31 кально минимальных сетей. Мы приведем здесь лишь формулировку основного классификационного результата для случая плоских торов, см. подробности в [41[,[46[. Две сети на торе Т назовем эквиеалентнььии, если существует гомотопный тождественному отображению гомеоморфизм тора на себя, переводлщий одну сеть в другую. Пусть пюский тор Тэ = Тэ[а, Ь) получен факторизацией стандартной плоскости 14а по действию подгруппы сдвигов У бзУ с образующими а и Ь, где а и Ь .
фиксированные линейно независимые векторы иэ 14'-', и обозначим через я: Жэ -+ Тэ соответствующее локально изометричное накрытие. Пусть Г замкнутая локально минимальнал сеть на торе Т-, и Г = я ~[Г) поднятие сети Г на плоскость Кэ. Тогда Г представляет собой бесконечный плоский граф, все ребра которого прямолинейные отрезки, стыкующиеся между собой в вершинах степени 3 под углами в 120'. Граф Г инвариантен относительно сдвигов на векторы а и Ь.
Путь у в сети Г назовем сетевой геодезической, если при движении вдоль пути у, проходя через его внутренние вершины, мы попеременно сворачиваем то "налево', то "направо' (понятие левых и правьсс поворотов определяется так же как в случае обычньсх плоских невырожденных сетей Штейнера). Пусть Р -- произвольная вершина из Г, Ясно, что из вершины Р можно выпустить 6 различных бесконечных сетевых геодезических, начинающихся в Р. Фиксируем из них две таких, что их объединение само не является сетевой геодезической, и обозначим через о и уя, см.
рис. 11. Пусть А, первая, считая от Р, точка на д, эквивалентная вершине Р, т.е. такая что я[Р) = т[Л,). /р г'1 Тогда однозначно определена целочисленнная матрица ЛХ = [,д г(' такая что Р Ль — — ра+ ЧЬ, Р.4э = го + гЬ. Обозначим через л определитель матрицы ЬХ. Без ограничения общности будем предполагать, что сэ > 0 [ясно, что при необходимости можно пеРенУмеРовать геодезические Тс и Уэ).
Рассмотрим фрагменты сетевых геодезических ~; между точками Р и Ль Каждый из них состоит из четного числа ребер сети Г, Эти числа мы обозначим через 2т и 2п для зт и уя соответственно. Оказывается, числа т и и делятся на определитель сэ, а пары чисел [р, й) и [г,э) взаимно просты, Положим ти = Л, и пп =- 21. Определим, наконец, целочисленнук) матрицу Р В ре ги Введение. 32 Рис.
11: Бесконечная сеть Г С Ка и две бесконечных сетевых геодезических, начинающихся в вершине Р. Итак, по замкнутои локально минимальной сети Г на торе Т мы 2 /Р Л'Л построили целочисленную матрицу д = ] ( с положительным определителем. Это построение зависит от выбора пары сетевых геоДезичсскнх (бы Уа). Несложно пРовеРить, что если выбРать ДРУгУю пару. сетевых геодезических, то полученнал целочисленная матрица /о умножится справа на некоторую степень матрицы д = Рассмотрим фактор множество ЛХг~ (Ж)/(,7), где через ЛХа (л ) обозначено множество всех целочисленных 2 х 2 матриц с положительным определителем, а через (д) --- циклическая группа порядка 6, порожденная д и действующая на Мв (У) умножением справа.
Каждой а замкнутой локально минимальной сети на плоском торе Т- мы сопоставили злеглент из Ма (л,) /(1), который будем называть еаипам сета. Имеет место следующий результат, см. (4Ц. Предложение В.14 Эквивалентным замкнутым локально минимальным сетам соответствуют одинаковые тины иэ ЛХ~еД)/(,7). Обратно, для каждого элемента (д] Е М (л)(Я существует плоский тар и эамкнуппая локально минимальная сеть на нем, такая чта (д] тии этой сети.
Далее, чтобы определить, существует ли на данном плоском торе ХР Л~ Т (а, Ь) сеть данного типа (д], где д = ( ), мы построим на плоскости треугольник ОАВ следующим образом. В качестве вершины О выберем начало координат, а вершины А и В определим так: А = Ра+ ОЬ, В = Ва+ ЯЬ.
3. Локально минимальные сети. 33 Предложение В.15 Замкнутая локально минимальная сеть типа [д] на плоском торе Т~[а, О) существует, если и только если все углы треугольника ОАВ мвньщс 120'. Более подробно с классификацией замкнутых локально минимальных сетей на плоских торах можно познакомится в работе [4Ц. В качестве следствия в [46] и [80] получено полное описание замкнутых локально минимальных сетей на плоских бутылках Клейна. Случай поверхностей рода д > 2 с метриками постоянной отрицательной кривизны изучен гораздо хуже, Здесь известно несколько серий примеров, см.[24],[771, [46].
Совсем недавно студент механико- математического факультета М. Пронин доказал, что в каждом классе эквивалентности сетей на поверхности отрицательной кривизны существует не более одной локально минимальной сети. Друтими словами, в случае отрицательной кривизны, как и в случае положительной кривизны, локально минимаяьные сети являются жесткими. В работе [87] А. Вдовина и Е.
Селиванова описан алгоритм перечисления возможных топологий замкнутых локально минимальных сетей на поверхностях фиксированного рода д при условии, .что все грани сети имеют одинаковое количество вершин. Замкнутые минимальные сети в других объемлющих прост- ранствах В современных приложениях, связанньсс прежде всего с компьютерным моделированием, важную роль играет изучение минимальных сетей на римановых многообразиях с особенностями.
таких как поверхности пространственных многогранников. Отметим, что поверхность многогранника можно рассматривать как замкнутое двумерное многообразие с плоской метрикой и конечным числом особых точек вершин многогранника. В книге [46] описана локальная структура локально минимальных сетей на многогранниках, сформулирован аналог теоремы Гаусса — Бонне для этого случая, позволяющий получать ограничения на возможную структуру минимальных сетей, приведены бесконечные серии примеров замкнутых локально минимальных сетей на поверхностях всех платоновых тел, за исключением додекаэдра.
В работе [8Ц, см, также [46], И. В. Птицына получила полное описание замкнутых локально минимальных сетей на поверхностях тетраэдров (т.е. треугольных пирамид все грани которых конгруэнтны друг другу), Эта классификация вытекает иэ существования разветвленного накрытия каждого такого тетраэдра подходящим плоским тором и из приведенной выше классификации сетей на торах. Недавно Введение. 34 Т. В. Аникеева показала, что на всех платоновых телах существует бесконечно много топологически различных замкнутых локально минимальных сетей. Этот результат получен как следствие из следующего общего утверждения, см.
~Ц. Предложение В.16 Если на поверхности многогранника Р сущесигвует замкнутал локально мггнггмальнал сеть, огплмчная огп замкнугпой геодезической и не проходлигал через вершины из Р, то на многограннике Р существует бесконечно много тоаологачески разных замкнутых локально минимальных сетей. В частности, если на поверхности вьтуклого многогранника существуегп замкнутая локально минимальная сеть, отличная от, замкнутой геодезической, гпо на этом многограннике существует бесконечно много топологически разных замкнутых локально минимальных сетей. Ряд результатов о замкнутых локально минимальных сетях фиксированной топологии на сфере с произвольной метрикой получен Морганом и его учениками в ~66~. О локально минимальных сетях в объемлющих пространствах размерности больше 2 известно очень мало.
До недавнего времени все знания для случая сетей в Вз ограничивались небольшим набором примеров. Это связано с тем, что аналога алгоритма Мелзака для построения минимальных сетей в К", п > 3, не существует, Сравнительно недавно круг примеров расширился благодаря основанному на методе градиентного спуска итерационному алгоритму, предложенному Смитом [781. Замкнутые сети в многообразиях размерности больше чем 2 также практически не изучались. Недавно М. Пронин пытался рассмотреть случай стандартной трехмерной сферы Яз. Оказалось, что замкнутые локально минимальные сети на трехмерной сфере устроены гораздо более сложно чем на двумерной. А именно, Ы, Пронин в ~79~ построил бесконечную серию примеров топологически различных замкнутых локально минимальных сетей на яз, а также построил примеры таких сетей, которые допускают деформации в классе локально минимальных сетей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
