Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Каждую такую ориентацию будем называть правильной. Определим матрицу смежности правильно ориентированного взвешенного графа Сч, положив с; равным по величине сумме ч весов всех (вырожденных) ребер графа Св, соединяющих вершины 1; и 1;ч и присвоив см знак "плкю", еечи и только если 1;. начало всех ребер из С, идущих из 1; в 1', и знак "минус" в противном случае. к Поставим в соответствие каждой неупорядоченнои паре Я, Ъ'. ) соседних вершин графа С~~, переменную лб разлчерности п, а именно, яб = (тп,..., л," ).
Отметим., что, по определению, яп = язн Для каждой подвижной вершины 1й графа Св запишем векторное линейное 4. Краткое содоржание диссертации. уравнение сот, = Ло 1'. смежна с 1;; где суммирование берется по всем (не только подвижным) вершинам 1~ графа Сз, соседним с 1',. Определение..линейную систему уравнений с;.л;. = Л е 1 = 1,...,к, Е 1' смежна с Г где й -- - количество подвижных вершин графа С~э, назовем характеристическойй системой локальной структуры вершины И. Объединение характеристических систем локальной структуры по всем подвижным вершинам И приведенной сети называется характер исптичсской системой локальной структуры сети Ф. Замечание. Характеристическая система локальной структуры каждой вырожденной вершины И параметрической сети зависит, вообще говоря, от выбора правильной ориентации соответствующей приведенной компоненты. Однако, решения систем, соответствующих различным ориентациям, получаются друг из друга подходяшей заменой знаков их и-мерных компонент.
Поскольку, как мы увидим из нижеследующей теоремы, нас интересуют только модули и-мерных компонент решений характеристической системы, мы, допуская тем самым определенную вольность, не будем в дальнейшем различать системы, соответствующие разным правильным ориентациям. В диссертации доказана следующал теорема о локальнои структуре (взвешенных) локально минимальных парамотрическнх сетей.
'Хеорема 2 (О локальной структуре) Пусть И'" риманово многообразие, и Ф; С з Иг взвешенная параметрическая сеть типа С с границей дФ, возможно пустой, и положительной весовой функцией. ° Погруженная сеть Ф локально минимальна если и только если все се ребра геодезические, а вектора Х; = О. ь Сеть Ф слабо локально минимальна если и люлько если все се ребра . геодезические, и для каждой подвижной вершины 1; сумма д, весов всех инцидснтныт 1с вырожденных ребер больше или равна модулю вектора Ль Введение. ° Если сеть Ф сильно локально минимальна, то все ее ребра --.
геодезические, и ее характеристическая система локальной структуры имееьа решение, каждая и-мервая компонента которого по модулю не превосходипс 1. Если все ребра сети Ф геодезические, и характеритническая система лоь;альной структуры сети Ф имеет решение, каждая и-мерная компонента которого по модулю строго меньше 1, то Ф сильно локально минимальна. В случае И' = К" теорему 2 удается превратить в критерий локальной минимальности и для случая параметрических сетей общего вида. Следствие 1 Взвешенная параметрическая сеть Ф: С вЂ” > К ' типа С с границей дФ и положительной весовой функцией, заданная в евклидовом пространстве К", сильно локально, минимальна, если и только если все ее ребра арямолияейныс опьрезки, и ее характерисптическая система локальной структуры имеет решение, каждая и-мсрн я компонента которого по модулю не превосходят 1. Для локально минимальных сетей — следов доказана следующая теорегаа.
'Георема 3 След Г, затягивающий конечное 1возможно пустое) множество ЛХ точек риманова многообразия И', является локально минимальным тогда и только тогда, когда след Г обладает следуюшими свойствами: А след Г обладает каноническим представиапелем Ф; Я. все ребра канонического представителл Ф следа Г геодезические; 3. угол между каждой парой смежных ребер параметрической сети Ф не меньше 120', поэгпому, в частности, степень каждая вершины иэ Ф не. превосходит трех, а в вершине степени 3 векторы направлений ребер расположены в одной двумерной плоскости (в касательном пространстве к многообразию 1У в этой вершине), в.
все вер1аиньы степени 1 являются граничными; б. вершины степени 2 также являются грани ьными за исключением ровно одного тривиального случая, когда граница параметрической сети Ф пуста, а сама сеть Ф состоитп из одной вер- 4. Краткое содоржанио диссертации. шины и одного циклического ребра, стыкующегося в этой вершине под углами в 180' (т,е. след Г .
- замкнутая геодезическая) . Из теоремы 3 вытекает, что при описании минимальных следов можно ограничиться следами вложенных параметрических сетей, степени вершин которых не превосходят 3. Такие сети мы будем называть сетями Шошйнера. Опираясь на теорему 2, удается доказать следующий общий результат о локальной единственности, Предложение 1 Пусть М .-- множество, состоящее из и ) 3 попарно различных точек, лежащих на некоторой геодезической сфере дВЯ радиуса е в римановом многообразии И'. Пусть С звезда с и лучими и д некоторое взиимно однозначное отображение множества вершин степени 1 звезды С на множество Лд.
Тогда, если г достаточно мало, то в классе параметрических сетей Лбоф) существует единственн я абсолютно минимальная сеть. При этом единственная подвижн я вершина этой сети расположена в замкнутом геодезическом шаре В1е). Предложение 1 позволяет определить локальную минимальность погруженных параметрических сетей не в терминах деформаций, как зто сделано выше. а в терминах абсолютной минимальности малого фрагмента сети. Предложение 2 Погруженная пирампприческая сегпь Ф в римановом многообразии И' локально минимальна, если и только если у каждой точки сети Ф существует локальная сеть Фюе Сик — ~ И', являющаяся абсолютно минимальной сетью типа См, с соответствующей граниией дФмс.
В четвертой главе изучаются геометрические свойства плоских линейных деревьев, т.е. плоских связных ацикличных графов, все ребра которых прямолинейные отрезки. Отметим, что каждый плоской граф можно рассматривать как вложенную в плоскость сеть. Полученные результаты затем используются для получения ограничений на возможную глобальную структуру плоских локально минимальных и взвешенных локально минимальных сетей. Пусть на плоскости фиксирована ориентация.
Определим понятие числа вращения произвольного плоского линейного дерева Г. Пусть а и Ь произвольные ребра из Г. Рассмотрим единственный ориентированный путь у(а, Ь) в Г, начинающийся на а и заканчивающийся Введение. на Ь. Путь у(а,Ь) представляет собой ориентированную ломаную на плоскости, и его последовательные звенья а, = еь,.,,,ео = Ь можно рассматривать как векторы.
Число.м вращения между ребрами а и Ь линейного дерева Г назовем сумму ориентированных углов между последовательными парами (е„еьы), 1 = 1,..., и — 1. векторов-звеньев ломаной у(а, Ь), умноженную на 3/к. Напомним, что ориентированный угол между упорядоченной парой (щ, иг) не противонаправленных векторов равен величине меньшего из двух углов между щ и ог, взятой со знаком ориентированного репера (щ, ог). Определение.
Числом вращения1кГ линейного дерева Г называется максиму м чисе ч вращения, взятый по вс ем упорядоченным парам ребер из Г, Определим теперь понятие геометрической границы плоского линейного дерева Г. Определение. Вершину Р линейного дерева Г назовем граничной, если существует проходящая через Р прямая Х, такая что одна из открытых полуплоскостей, ограниченных Х, содержит все ребра из Г, инцидентные Р. Множество всех граничных вершин дерева Г назовем геометрической границей дерева Г и обозначим через доГ.
Напомним определение разбиения произвольного непустого конечного множества М точек плоскости на уровни выпуклости. Отнесем к первому уровню выпуклосепи М' множества ЛХ все точки из М, лежащие на границе выпуклой оболочки множества ЛХ. Выбросим не пустое множество ЛХь из ЛХ. Если полученное в результате множество не пусто. используем для его преобразования ту же процедуру. А именно, все точки из М 1 ЛХ', попавшие на границу выпуклой оболочки этого множества, отнесем ко второму уровню вьтуклости ЛХз множества ЛХ. Продолжим этот процесс до тех пор, пока все точки из ЛХ нс попадут на какой-нибудь уровень выпуктости.
Множество ЛХ' называется 1-ым уровнем выпуклости множества ЛХ. Количество уровней выпуюьости множества ЛХ обозначим через м(ЛХ). "Хеорема 4 Пусть à —.- произвольное линейное дерево, и М = доГ его геометрическая граница. Тогда ркГ < 12(м(М) — 1) + 6. Эта оценка является точной в том смысле, что для каждого целого Л > 1 существует плоское линейное дерево Г, такое что 1ъ Г = 12(Ь— 1) -~- 6, и м(доГ) = Ль 4.
Краткое содержание диссертации. 47 Продемонстрируем, как работает теорема 4 на примерах плоских локально минимальных деревьев, и минимальных взвешенных дере- вьев. Путть Г вложенное взвешенное локально минимальное дерево фиксированного типа С с положительной весовой функцией, затягивающее конечное множество ЛХ точек плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
