Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

А именно, имеет место следующий результат. Предложение В.10 Плоское бинарное. дерево Г планарно эквивалентно некоторому локально миним льному бинарному дереву с вьтуклой границей тогда и только тогда, когда ~зч Г < 5. Отметим, что доказательство этого результата опирается на полученное в работах ~42], [43], ~45] эффективное описание всевозможных топологий плоских бинарных деревьев с числом вращения, не превосходящим 5.

Это описание выполнено на языке диагональных триангуляций многоугольников. Мы не будем излагать его здесь полностью, а лишь приведем ключевые идеи. Напомним, что плоские бинарные деревья и триангуляции диагоналями плоских многоугольников суть двойственные объекты.

А именно, двойственный граф триангу.ляции диагоналями представляет собой бинарное дерево, и, обратно, по каждому плоскому бинарному дереву несложно построить соответствующую диагональную триангуляцию. Описание ~шоских бинарных деревьев с числом вращения не превосходящим 5 удобно проводить в терминах диагональных триангуляций специального вида. А именно, назовем паркетом диагональную триангуляцию, все треутольники которой - правильные.

Оказывается, паркеты очень хорошо "чувствуют" геометрию таких бинарных деревьев. Отметим, что если мы попытаемся построить паркет для произвольного бинарного дерева, то может оказаться., что соответствующий плоский многоугольник имеет самопересечения, Однако, оказывается, если число вращения бинарного дерева не превосходит 5, то таких проблем не возникает.

А именно, имеет место следующий результат. Введение. 26 Предложение В.11 Каждое плоское бинарное дерево планарно экви- валентно двойственному грифу некоторого вложенного паркета, Поэтому задача описания всех плоских бинарных деревьев с числом вращения не превосходящим б сводится к классификации всех вложенных паркетов. двойственные графы которых удовлетворяют атому ограничению. Обозначим класс таких паркетов через Иэу; Оказывается, каждый паркет из ИЩ обладает, в некотором смысле, 'регулярной" частью так называемым скелетом, и "случайной" частью так называемыми наростами.

Назовем треугольник паркета крайним, если не менее двух его сторон лежат на границе паркета как подмножества плоскости. Треугольник паркета назовем внугаренним, если все три его стороны не лежат на границе паркета. Ерайний треугольник, смежный с внутренним треугольником, называется наростом. Оказывается, каждый паркет можно превратить в скелет. Для этого нужно для каждого внутреннего треугольника паркета, смежного с наростами, выбросить ровно один нарост.

Эта неоднозначная процедура задает представление паркета в виде объединения скелета и наростов, см. рис. 9. о Пвряст с наростами Ху Скелеты Рис. 9: Паркет с наростами и соответствующие ему скелеты. В работах [42[, [43[, [45[ получена полная классификация паркетов из И'Ту. Оказывается, что скелеты паркетов из ИЯ имек>т достаточно регулярную структуру и могут быть разделены на три основных семейства.

Также удается описать всевозможные расположения наростов на скелетах паркетов из ИЯ. Мы нс будем здесь приводить формулировки соответствующих теорем, так как они требуют введения ряда новых объектов. Отметим лишь, что эта классификация является эффективной в том смысле, что она позволяет при доказательстве предложения В,10 перебрать все паркеты из ИЯ' и для каждого из них предъявить явно способ построения соответствующего локально минимального бинарного дерева с выпуклой границей. 3.

Локально минимальные ссти. 27 В серии работ А. А. Тужилина и автора, см. [43], [45], [50], [51] начато исследование всех локально минимальных сетей, затягивающих вершины правильных многоутовьников. Эта задача была поставяена А. Т. Фоменко в [26]. А. А. Тужилин в [82] — [84] завершил полное описание всех локально минимальных бинарных деревьев. затягивающих вершины правильных п-угольников, в важном частном случае., когда соответствующие им паркеты являются скелетами.

Оказалось, что среди скелетов, допускающих правильную минимальную реализацию, имеется две бесконечные серии и одна конечная по п серия. В работе [56] автором и А. А. Тужилиным получены некоторые новыс ограничения на возможные топологии локально глиниьиальных бинарных деревьев, затягивающих вершины правильных многоугольников. Кроме того, в [56] изучаются локально минимальные сети затягивающие множества точек, близкие к правильным многоутольникам. Оказывается, на таких граничных множествах локально минимальные сети устроены существенно иначе. А именно, в [56] построена бесконечная серия квазиправильных многоугольников (многоутольников, множества вершин которых лежат на окружности и не сильно отличаются от множеств вершин соответствующих правильных многоугольников), которые нельзя затянуть ни одним локально минимальным бинарным деревом.

Сформулируем соответствующий результат. Пусть Р = 1р,~ --- правильный п-угольник, вписанный в единичную окружность У с центром в нуле, и е неотрицательное число, меньшее чем п(п. Пусть в = [вь,..., в„] произвольная последовательность из +1. Обозначим через т; точку, полученную из р, поворотом на угол в,е, и пусть ЛХ = 1т,1.

Многоугольник ЛХ называется е-квазиправильнь м многоугольником типа в. Предложение В.12 Пусть в периодическая последовательность длины п = 101 с периодом [ — 1,1,1,1,— 1,— 1,1,— 1,1,— 1], и е произвольное положительное число, такое что п((2п] < е < к(п. Тогда ири к > 8 множество М вершин е-квазиправильного п-угольника типа в нельзя затянуть ни одним минимальным бинарным деревом. 3.2 Невырожденные плоские локально минимальные сети с выпуклой границей Локально минимальные сети, в отличие от абсолютно минимальньпсетей, вовсе не обязаны быть деревьями. Оказалось, см.

[43], [46], что описанный в предыдущем пункте подход применим также к случаю произвольных плоских локально минимальных сетей без вершин степени 2 с выпуклой границей. Сети Штеинера без вершин степени 2 Введение. 28 называются невсярожденньсми, Пусть Г плоская локально минимагьная невырожденная сеть с выпуклой границей. Тогда, как нетрудно показать, все ограниченные грани плоской сети Г представляют собой шестиугольники.

Плоские невырожденные сети Штейнера, все ограниченные грани которых являются шестиугольниками, называются тривиальнсями сетями. Вообще говоря, дословно перенести понятие числа вращения на случай произвольной плоской невырожденной сети Штейнера нельзя. Дело в том, что для фиксированной пары са, 6) ребер такой сети может существовать несколько соединяющих их путей.

Число вращения от а до Ь может быть подсчитано вдоль каждого из таких путей, и, вообше говоря, могут получиться разные ответы. Однако, на случай тривиальных сетей понятие числа вращения обобщить удается, см. ~43). Дело в том, что имеет место следующий результат.

Утверждение В.13 Пусть Г тривиальная сеть, и (а, 6) произвольная пара ег граничных ребер, т.е. ребер, инцидгнтных вершинам степени 1. Тогда число врасцения от а до Ь одинаково вдоль всех путеи, соединяющих а и Ь. Утверждение В.13 обосновывает корректность следующего определения. Определение.

Числом вращения ск Г плоской тривиальной сети Г называется максимум чисел вращения ск(а, 6) между произвольными у.порядоченными парами ее граничных ребер. Имеет место следующий результат. см. ~43). Предложение В.13 Плоскал невыроокдгнная лок льна минимальная сеть с вьтуклой границей является тривиальной, и ее число вращения не превосходит 5. Оказывается, язык паркетов применим и для описания плоских тривиальных сетей, чисю вращения которых не превосходит 5, В работе ~43) для тривиагьных сетей доказывается аналог предложения В.11 и строится описание всех вложенных паркетов, двоиственные графы которых тривиальны, а число вращения этих двойственных графов нс превосходит 5.

Однако, это описание оказывается существенно более сложным чем в сгучае бинарных деревьев, Это является одной из причин того, что следующее утверждение, обратное к предложению В.13, пока не доказано. 3. Локально минимальные соти. Гипотеза Пусть Г --- плоская тривиальная сеть, число врашен я которой не превосходит 5.

Тогда существует яланарно эквивалентная Г локально минимальная сеть Г с выпуклой границей. 3.3 Локально минимальные сети в других объемлющих пространствах Минимальные сети на римановых многообразиях. отличных от К", также представляют интерес. Отметим, что в случае 11' ~ Гла точные алгоритмы построения минимальных сетей не известны, см. однако [78), что делает задачу еще более сложной. На римановых многообразиях общего вида имеет смысл рассматривать также минимальные сети с пустой границей, так называемые эанкнулвые сепга, которые можно представлять себе "свободно плавающими' в многообразии.

Каждая такая сеть --- это граф в многообразии, все вершины которого имеют степень 3, а ребра представляют собой отрезки геодезических, стыкующихся в вершинах под углами в 120'. Замкнутые локально минимальные сети на сфере и проектив- ной плоскости Задача об описании всех замкнутых локально минимальных сетей на стандартной двумерной сфере Яа возникла при изучении особенностей минимальных поверхностей - мыльных пленок, см... например [26), [85). Пусть М минимальная поверхность в стандартном евклидовом пространстве 1лз, и Р некоторая ее внутренняя точка.

Характеристики

Список файлов диссертации