Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Задача поиска абсолютно (локально) минимальной сети на классе сетей Мо(Д) состоит в поиске среди всех сетей типа С, затягивающих фиксированное граничное множество ЛХ по отображению д, сети наименьшей длины (соответственно, локально минимальных сетей) . В некоторых отдельных случаях зта задача разрешима. Например, если объемлющее многообразие зто стандартная плоскость Кз, параметризующий граф С дерево, степени вершин которого не превосходят трех, то, как отмечалось во Введении, хорошо известен алгоритм Л1елзака ~64), позволяющий или найти на плоскости погруженную локально минимальную сеть из пространства Мо(11), или убедиться в том, что такой сети не существует.

В общем случае зта задача чрезвычайно сложна, 2.3.3 Множество всех параметрических сетей Чтобы найти сеть действительно наименьшей возможной длины, следует рассматривать класс всех параметрических сетей, замкнутых или с фиксированной границей. Обозначим через Л4 множество всех замкнутых параметрических сетей, а через М1ЛХ) -- множество всех параметрических сетей, затягивающих фиксированное множество М по всевозможным граничным отображениям. Ясно, что множество М является дизъюнктивным объединением множеств Мо, каждое из которых состоит из всех замкнутых параметрических сетей данного типа С, а множество М(М) является дизъюнктивным объединением всевозможных множеств Мо 1)Х) параметрических сетеи всевозможных типов С, затягивающих множество М по всевозможным граничным 2.3.

Классы сетей 115 Рис. 2.2: Минимальные сети, затягивающие квадрат отображениям. Решение задач о поиске локально минимальных сетей на пространствах М и М(ЛХ) -"- это просто дизъюнктивные объединения решений соответствующих задач на пространствах Мо и Мо (,3). Чтобы найти абсолютно минимальную сеть, нужно, очевидно, найти абсолютно минимальныс сети на каждом из пространств Мо и Мо(3), а затем среди построенных сетей взять сеть наименьшей длины. Уже в случае, когда объемлющее пространство И' --- это стандартная евклидова плоскость Лхз, эта задача нетривиальна. Рассмотрим следующий простой пример.

Пусть ЛХ множество вершин квадрата. Слева на рис. 2.2 показана сеть, состоящая из четырех ребер н одной вершины, расположенной в центре квадрата. Эта сеть абсолютно минимальная в классе сетей топологии звезды с четырьмя вершинами степени 1.

Однако, как известно, вершины квадрата можно затянуть сетью меньшей длины и друтого топологичсского типа, изображенной на рис. '2.2 справа. Причем, очевидно, таких сетей две. Таким образом, мы видим, что при поиске абсолютно минимальных сетей произвольного топологического типа, вообще говоря, приходится перебирать различные топологии. Именно это обстоятельство и делает задачу очень сложной. 2.3.4 Параметрические сети, гомотопные данной Рассмотрим теперь задачу о поиске минимальных сетей фиксированного гомотопического типа.

Чтобы пояснить смысл понятия гомотопичсского типа сети, отметим, что, вообще говоря, нс каждые две сети из Мо могут быть продеформированы одна в другую непрерывной деформацией. Пусть Фя и Ф1 некоторые параметрические сети. Мы скажем, что сети Фя и Ф1 зомотопньк если существует такая непрерывная де- Глава 2. Минимальные сети. 116 формация Фм 1 е ~0,11, сети Фа что Фа = Ф~~~.=о и Фс~~=1 = Фм Отметим, что гомотопные сети по определению имеют один и тот же топологический тип.

Если у сети Ф„г = О, 1 фиксирована граница Зо то будем предполагать дополнительно, что деформацил Ф~ неподвижна на границе. Очевидно. при этом границы Д совпадают. Фиксируем теперь некоторую параметрическую сеть Ф: С вЂ” + И' с фиксированной границей Д (возможно пустой). Рассмотрим в Мг(д) подмножество Ма, состоящее из всех сетей, гомотопных Ф. Задачи поиска глобально или локально минимальных сетей на пространстве Мф как правило, не тривиальны, если только сеть Ф не гомотопна точечной сети. В последнем случае, тривиальной оказывается задача о поиске абсолютно минимальной сети.

2.3.5 Следы Рассмотрим теперь задачи минимизации в классе Т следов. Легко видеть, что след абсолютно минимальной длины (с границей ЛХ ияи замкнутый) совпадает со следом параметрической сети, абсолютно минимальной в классе М(М) всех параметрических сетей с тои же границей М или, соответственно, в пространстве М всех замкнутых параметрических сетей. Интересней дело обстоит с задачами о локально минимальных следах. На рис. 2,3 приведен пример непрерывной деформации следа. Сеть, соединяющая центр квадрата с его вершинами, нс является локально минимальной в пространстве Т: матин деформация, расщепляющал вершину степени 4 на две вершины степени 3, изображенная на рис. 2,3, и постоянная вне маюй окрестности вершины степени 4, уменьшает длину сети, Переход от первой сети ко второй называется раси4еплеиием вершины (в данном случае, вершины степени 4 на две вершины степени 3).

о Рис. 2.3; Расщепление вершины 2.3. Классы сетей. 117 2.3.6 Другие важные семейства сетей Как уже говорилось выше, задача описания всех минимальных сетей, затягивающих фиксированное множество точек, чрезвычазйно сложна. Существует несколько способов редукции этой проблемы. Во-первых, можно ограничить набор топологий рассматриваемых сетей. В частности, как будет показано в следующей главе, минимальные следы обладают следующим свойством: степень каждой вершины канонического представителя минимального следа [канонический представитель существует в силу утверждения 1.7 главы Ц не превосходит 3. Это обстоятельство позволяет выделить класс так называемых сетей Штейнера — вложенных сетей, параметризующие графы которых обладают только вершинами степени не более 3.

Другой способ упрощения проблемы состоит в изучении возможных топологий минимальных сотей, затягивающих конкретное множество ЛХ, исходя из геометрических свойств множества ЛХ. Так, например, рассмотрим экстремальное множество ЛХ точек плоскости, т.е, такое множество, которое лежит на границе своей выпуклой оболочки. Оказывается, что свойство лзножества ЛХ быть экстремзльных накладывает сильные ограничения на возможные топологии минимальных сетей с границей Лй, см. Введение. Далее, если граничное множество ЛХ обладает большой группой симметрий, то это приводит к еще большим ограничениям на возможные топологии минимальных сетей.

Так, например, А. А. Тужилиным совместно с автором изучаются минимальные сети, затягивая>щие вершины правильных многоугольников на плоскости, см. работы [42, 44, 45, 40, 46, 50, 51, 82, 83, 84]. Наконец, можно выбирать в качестве объегшющего пространства многообразия специального вида. например многообразия ззостоянной кривизны. В работе [41] И. В. Птицыной, А. А. Тужилиным и автором получена полная классификация замкнутых локально минимальных сетей на плоских торах. В работе [80], см. также [46], получено полное описание замкнутых локально минимальных сетей на плоских бутылках Клейна. В [46] также построен ряд примеров таких сетей на двумерных замкнутых поверхностях постоянной отрицательной кривизны.

Наконец, в [46] приведены примеры замкнутьсс локально минимальных сетей на поверхностях многогранников, которые рассматриваются как плоские многообразия с конечным набором особых точек вершин. В [81] получена классификация замкнутых локально миниьлальных сетей на поверхности тетраэдров, см. также [46]. Глава 2. Минимальныс сети.

118 2.4 Теоремы существования В настоящем параграфе мы докажем теоремы существования минимальных сетей в основных семействах сетей, введенных в рассмотрение выше. Отметим, что из существования абсолютно минимальных сетей вытекает существование локально минимальных сетей. 2.4.1 Параметрические сети с фиксированной границей Пусть ЛХ множество, состоящее из хь > 0 точек связного полного риманова многообразия И', и пусть С .-- некоторый связный топологический граф, с границей дС.

Предположим, что задано сюръективное граничное отображение,З; дС вЂ” ь ЛХ, и рассмотрим семейство Мм(й) всех параметрических сетей Ф: С вЂ” ь И' с границей й. Предложение 2.1 Существует такая параметрическая сеть Фо Е Мо(й), что ее длина К(Фв) не превосходит длины любой другой сети 'аз Мо()1). Другими словами, в каждом семействе МнЯ существует абсолютно минимальная сеть. Доказательство. Пусть а точная нижняя грань длин сетей из Мн(д). Рассмотрим произвольную последовательность Ф, сетей из Мо(ХХ), такую что числовал последовательность Х(Ф,) сходится к а при 1' ,— ь со. Поскольку объемлющее многообразие И' полно, каждые две точки на нем можно соединить кратчайшей геодезической. Перестроим каждую сеть Ф„заменив каждое се ребро на кратчаишую геодезическую, соединяющую вершины, инцидентные этому ребру.

Сети. каждое ребро которых является кратчайшей геодезической, будем называть кратчайшими геодезическими сетями. Таким образом, мы получили новую последовательность Ф'„состоящую из кратчайших геодезических сетой. При этом, К(Ф';) ( К(Ф,;) для каждого 1. Так как кратчайшая геодезическая, соединяющая пару точек, вообще говоря, не единственна, то описанный только что способ построения может привести к нескольким сетям.

Однако, очевидно, все они имеют одинаковую длину. Ясно, что при 1 — + сю также имеем с(Ф',.) — > а. Таким образом, доказана следующая лемма. Лемма 2.1 Точная нижняя грань длин всех сетей из Мо(Я совпадает с точной нижней гранью длин всех кратчайших геодезических сетей из МгЩ. 2А.

Характеристики

Список файлов диссертации