Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Лсгко видеть, что угол А;ЯАьы равен Даьз, где сложение в индексах здесь и ниже понимается как сложение по модулю 3, см. рис. 3.1. р, а„ а р, Рис. ЗА: Треугольник Гт и вид минимальной сети. Опишем окружности вокруг треугольников ЯА,А,тм и продолжим отрезки А;Я за вершину Я до пересечения с окружностью, описанной вокруг треугольника 5А,.ь~ А, ьэ, в точке А',. Легко видеть, что треугольники А,А,+~А',+. подобны между собой и подобны треугольнику Л, при этом в треугольнике А,А,.ь~ А'; э угол при вершине А', равен он а при вершинах А равен а .
Так как точка 5 находится внутри Т, то о, + А; < я, где через А, обозначена величина угла треугольника Т при вершине А,, Легко видеть,что неравенства треугольника на числа рп а также неравенства оп + А; < я, связывающие величины углов треугольника Ь и треугольника Т, являются необходимыми и достаточными условиями того, что точка Я не совпадает ни с одной из вершин треугольника Т, т.е. условиями невырожденности минимальной сети Ф. Итак, способ построения точки Я можно описать так. Предположим, что существует треугольник Ь со сторонами ро, р~ и рз. и пусть о; угол этого треугольника, лежащий против стороны длины рь Бу— дем считать,что обход треугольника з, для которого при движении от стороны длины ро к стороне длины рэ мы проходим сторону длины рм происходит в противоположном направлении обходу треугольника Т, для которого при движении от Ао к Аз мы проходим вершину Ам Глава 3. Локальная структура минимальных сетей.
132 Построим на сторонах треугольника Т и вне его треугольники вида А;А, 1Ащэ, ориентируемо подобные с1, причем так, чтобы углы А', равнялись а,. Несложные рассуждения показывают, что если о, + А; < к для любого 1, ~, '= 1, 2, 3, то отрезки А,,А', пересекаются в одной точке., лежащей внутри треугольника Т.
Эта точка пересечения и есть искомая точка э. Нак и выше, отрезки А,А', назовем линиями Симасона. В частности, если числа р; равны между собой, то точка 5 определяется из условил равенства нулю суммы единичных направляющих векторов ребер оА, Ясно, что в это условие равносильно равенству между собой углов А;ЯАщы откуда вытекает, что все эти углы равны 120'. Наше необходимое и достаточное условис невырожденности минимальной сети в этом случае превращается в условие того, что каждый угол треугольника Т меньше 120'. Отметим, что описанная конструкция позволяет построить точку о, а значит и всю минимальную сеть Ф, с помощью циркуля и линейки с делениями.
3.1.2 Общий случай: критерий слабой локальной минимальности параметрических сетей Пусть теперь Ф; С вЂ” > И' параметрическая сеть общего вида (не обязательно погруженная) с границей,д: дС вЂ” ~ ЛХ С И'. Рассмотрим произвольную подвижную вершину 1~ и все инцидентные ей невырожденные ребра сети Ф, если они есть. Обозначим через Х„суглму единичных векторов скоростей, с которыми точки, движущиеся по этим нсвырожденным ребрам, приходят в вершину 1;.
Если все ребра, инцидентные вершине Ъ; вырождены, то положим Х, = О. Пусть Ъ"; и 11 --- две произвольные подвижные вершины. Обозначим через оо число вырожденных ребер, соединяющих 1', с 1', и назовем число д; = 2 щ индексом вырождения вершины Ъ;. Предложение 3.2 Пусть И' - риманово многообразие. Параметрическая сеть Ф на 1И слабо локально минимальна в пространстве.ЧоЦ3), если и только если все ее ребра геодезические, и, кроме того, модуль суммы Х; единичных векторов направлений невырождемных ребер, исходящих из каждой подвижной вершины Ъ', сети Ф, не превосходит индекса д, вырождения этой вершины; ()Х;1) < д,.
Доказательство. Пусть сеть Ф слабо локально минимальна, К произвольная ее подвижная вершина, и Ф „, такая слабая ло- г 3.1. Параметрические сети. 133 кальная сеть вершины И, что любая достаточно малая деформация этой сети, неподвижная на ее границе ЛХ~, не увеличивает длину сети Ф „„,.
Рассмотрим произвольную такую деформацию и запишем с под мощьк> предложенил 1.10 главы 1 формулу первой производной длины с(е) сети Ф~'.м, при этой деформации. Эта производнал, по условию, должна быть неотрицатеяьна. Поскольку сеть Фг~ „имеет ровно одну подвижную вершину - вершину Иь имеем: сЫ вЂ” = (Е; Х;) .+ "~ ~ОЕД~гп — — (ЕОХ;) + ~ОЕДа; > 0 (я) Это неравенство должно быть выполнено для произвольного вектора Еь в частности, для вектора Еь противонаправленного вектору Хь В этом случае имеем: 'ОЕ,!)(с~, — !)Х,)!) > О, поэтому ()Х,;!) < д;, что и требовалось.
Пусть теперь все ребра параметрической сети Ф вЂ” — геодезические, и в каждой подвижной вершине г'; сети Ф выполнено неравенство ~~Х, ~ ~ < д,. Иак и при доказательстве предложения 3.1, в силу малости рассматриваемых деформаций, при проверке локальной минимальности достаточно рассматривать лишь геодезические деформации локальных сетей (в данном случае слабых локальных сетей).
Снова воспользуемся предложением 1.10 главы 1 для вычисления первой производной Л,/Ж длины слабой локальной сети Ф '', произвольной подвиж- К ной вершины ~. при геодезической деформации. Из формулы (я) ясно, что наименьшее значение этой производной в начальный момент е = 0 достигается на такой деформации, при которой вектор скорости Е; подвижной вершины 1'; в начальный момент е = 0 противонаправяен вектору Х, Таким образом, По предположению, это значение неотрицательно.
Итак, производная функции с,(с) длины деформнруемой локальной сети Ф '*,„, произ- К вольной подвижной вершины р"; неотрицательна. Если все неравенства строгие, то эта производная строго больше нуля, и, очевидно, соответствующая деформация увеличивает длину сети Ф *, „откуда вытекает слабая локальная минимальность сети Ф. Пусть теперь для некоторой подвижной вершины г;. выполнено точное равенство ~~Х,~~ = д,. Тогда деформация 1л, локальнои сети Ф *, „ у которой Е, = — оЖ„а > О, в первом приближении нс меняет длину Глава 3.
Локальная структура минимальных сетей. 134 сети Ф .'„,, поскольку сИ;/Ж = 0 (в начальный момент времени). Любая деформация, не удовлетворяющая этому условию, по прежнему увеличивает длину сети Ф ',„, Построим по сети Ф *,„, новую погруженную ц ц сеть Ф' „„, заменив каждое вырожденное ребро сети Ф,„*,„, на отрезок единственной кратчайшей геодезической, выходящий из 'с; в направлении вектора Ло и приходящий в некоторую близкую к Р'; точку А Е И', являющуюся граничной для новой сети Ф',„, По построению, погруженная сеть Ф',„„удовлетворяет условию предложения 3.1, и, следовательно, локально минимальна. Поэтому любая ее достаточно малая деформация не увеличивает длину сети Ф' „,.
В частности, деформация р,', порожденная дсформапией у„постоянная на ребрах с;А сети Ф',, также не увеличивает длину. этой сети. Отметим, что при этой деформациях вершина 1; движется по продолжению геодезической АЪ; за точку со Осталось заметить, что длины сетей Ф~*, и Ф',, во все время деформации отличаются на константу 4рЯ, А), где р('со А) расстояние от Г до А. Поэтому деформация р„как и все остальные деформации, не увеличивает длину исходной локальной сети Ф„*„,.
Предложение доказано, Пример. Рассмотрим граф С с 6 вершинами Рб Х~о 1 = 1, 2, 3, и шестью ребрами вида РД; и ЩЯ (смь рис. 3.2). Пусть ЛХ множоство вершин произвольного фиксированного треугольника на плоскости. Пусть задано взаимно однозначное граничное отображение ,3: (Р;) — ~ ЛХ. Рассмотрим сеть Ф: С вЂ” у йз с границей,З, отображающую цикл Ц1Яз1,)з в произвольную точку Я плоскости, а ребра РЯ, в отрезки, соединяющие точку 5 с соответствующей точкой из ЛХ.
Построенная сеть будет слабо локально минимальной в классе Л4о(6) для произвольного положения точки Я. В самом деле, для каждой подвижной вершины с", сети Ф величина вектора Х, равна 1, а индекс вырождения д; равен 2, поэтому условия предложения 3.2 выполнены. Тем не менее, если сумма — 2„, Х, нс равна нулю, то длину такой сети можно уменьшить, двигая точку Я в направлении вектора — 2,', Х,. Отметим, однако, что у.казанная деформация не является "слабо локальной", т.е. не может быть представлена в виде деформации какой-либо слабо локальной сети из Ф.
3.1.3 Необходимые факты из теории выпуклых функций При изучении условий сильной локальной минимальности нам понадобится несколько хорошо известных понятий и результатов из теории выпуклых функций, которые мы напомним в данном разделе. Дока- 3.1. Параметрические сети. 135 ° Р ' г Рис. 3.2: Слабо локально минимальная параметрическая сеть зательства привсдонных здесь результатов можно найти, например, в книгах [63]и [7Ц.
Подмножество Х линейного пространства 2" называется выпуклым, если для любых двух точек х и у из Х отрезок [х, у] целиком лежит в Х. Другими словами, для каждого чиста Л из отрезка [О, Ц точка х(Л) = (1 — Л)х + Лу принадлежит множеству Х. Пусть 1: Х вЂ” г К - некоторая функция, заданная на подмножестве Х пространства Б'.а.
Рассмотрим график С(1") = ((х,г"(х)) [ х Е Х) как подмножество пространства 1ь"ьг. Надградгиком функции 1" называется подмножество С+(1) пространства й"+~ следующего вида: С "(1) = ((х,1) [ х 6 Х, 1 > 1(х)). Определение. Функция 1: Х вЂ” ь К называется оыпуклой (вниз), если ее надграфик С+ (1) является выпуклым подмножеством пространства ио-~- г Непосредственно из определения вытекает следующий результат.
Предложение 3.3 Функция 1: Х вЂ” ~ К является выпуклой вниз, если и только если одновременно выполнены следующие два условия: 1. множество Х являегпся выпуклым; 2. для любых двух точек х и у множества Х и произвольного числа Л ггз отрезка [О, Ц имеет место следующее неравенсгавог Л1'(х) + (1 — Л)((у) > ((Лх+ (1 — Л)у). Условие (2), очевидно. означает, что ограничение функции г" на отрезок [х, у], целиком лежащий в Х для произвольных х и у из Х в силу условия (1), является выпуклой функцией на этом отрезке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
