Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Зададим правильную ориентацию графа Сл, ориентировав все ребра из С„от Я я Ф к Об+1~,вм 2, 1 = О, 1. 2. При такой ориентации, матрица смежности (с,.) имеет вид 3.1. Параметрические сети. 149 Условие ~~хПЙ < 1 эквивалентно существованию такого вектора у, ЙУЧ < 1., что оба вектора рХо + Чу и — ранг + Чу не превосходят по модулю Ч, т.е. лежат в круге радиуса Ч с центром в нуле. Предположим, что такой вектор у существует.
Рассмотрим на плоскости треугольник Т, одна вершина которого расположена в точке нуль, а две другие в точках рХо и — ранг. Этот треугольник, очевидно, правильный, и длина его стороны равна р, Сдвинув треугольник Т на вектор Чу мы снова получим правильный треугольник Т', который по предположению целиком лежит в круге радиуса Ч с центром в точке нуль. Такое, очевидно, возможно только если длина р стороны треугольника Т' не превосходит длины стороны правильного треугольника, вписанного в круг радиуса Ч, т.е.
р < ъ'ЗЧ. Последнее неравенство эквивалентно следующему геометрическому условию; круги радиуса Ч, построенные в вершинах правильного треугольника Т имеют общую точку.. Обратно, предположим, что круги радиуса Ч, построенные в вершинах треугольника Т имеют общую точку г. Это означает. что существуют такие векторы уо, У1 и уг, что ~~д,~~ < 1, и рдо+ Чуо = ЧУ1 = Р?чг+ Чуя = ж Но тогда РД э ЧУ1 Чуя ~ РДео — ЧУ! = — Чдо, У1 = г?Ч~ т.е.
существует вектор д = — ум не превосходящий по модулю единицы, и такой, что вектоРы РХо + ЧУ и — РХд + Чд лежат в кРУге РаДиУса Ч с центром в нуле. Итак, доказано следующее утверждение. эетверждеине 3.4 В рассматриваемом случае, характеристическая система локальной структуры (ь) имеет решение (хоп хкпхго), такое что ~~х,.~~ < 1, если и только если три круга радиуса Ч, построенные в веритнах правильного пьреугольника со стороной р, имеют общую точку, т.е. если и только если р < т/ЗЧ. Дплее, если р < х?ЗЧ, то эти круги лересекаютсл по внутренней точке, система (*) имеет решение, удовлетворяющее строгим неравенствам, и сеть Ф сильно локально минимальна.
Замечание. Предположим теперь, что р и Ч не обязаны быть целыми числами. Это соответствует случаю функционала взвешенной длины, см. ниже. Тогда имеет смысл ставить вопрос о том, что же происходит, если р = ч?ЗЧ? В этой ситуации теорема 3.11 неприменима, так как характеристическая система локальной структуры имеет лишь решение (хоы хпп хго) удовлетворяющее равенствам ~~х; ~~ = 1, которое Глава 3.
Локальная структура минимальных сетей. 150 соответствует единственной точке пересечения трех окружностей радиуса у, построенных в вершинах правильного треугольника со стороной р = зуЗд. Оказывается, тем не менее, используя специфику стандартной евклидовой плоскости можно доказать сильную локальную минимальность рассматриваемой сети (этот факт вытекает из доказанной в следующем разделе общего результата, см. предложение 3.12). Данный пример интересен тем, что строгий локальный минимум оказывается не единственным: существует целое семсиство сильно локально минимальных сетей одной взвешенной длины, изображенное на рис.
3.3. Аз "1з Рис. 3.3: Семейство сетей, сильно локально минимальных относительно функционала взвешенной длины 3.1.5 Критерий сильной локальной минимальности параметрической сети в евклидовом пространстве Если объемлющее многообразие И' .-- это стандартное евклидово про- странство 12", то предложение 3.11 можно превратить в критерий. Предложение 3.12 Пусть Ф .
параметрическа сеть обиьего вида в евклидовом пространстве 2". Тогда сеть Ф сильно локально минимальна, если и аполько если все ее ребра прямолинейные отрезки, и характеристическая система локальной структуры сети Ф имеет тпакое равнение х, что значения каждан и-мерной переменной х;. из х по модулю не превосходит единицы.
Доказательство. Необходимость условий продложения 3.12 вытекает из предложения 3.11. Перейдем к доказательству достаточности. Поскольку объемлющее многообразие †. это стандартное евклидово пространство Б'.", значение функционала длины на каждой параметрической сети, все ребра которой отрезки прямых, однозначно 3.2.
Взвешенные параметрические сети. 151 определяется положением подвижных вершин этой сети. Пусть сеть Ф имеет ь. поДвижных веРшин. тогДа фУнкционал Длины на МсД13) Э Ф можно представить как функцию, заданную на прямом произведении Нв х .хан =К"ь, Й согвножителей и равную, очевидно, сумме длин ребер линейной сети, которая однозначно восстанавливается по положению подвижных вершин (элементу из Н"ь). фиксированному граничному множеству и фиксированному топологическому типу С сети Ф. Но тогда, в силу леммы 3.1 и предложения 3.4, функционал длины выпуклая вниз функция на пространстве Н ~.
Далее, в сьшу предложения 3.7, множество точек локального минимума функционала длины на Н"~ совпадает со множеством его стационарных точек. Наконец, см. доказательство предложения 3.11, наше условие эквивалентно тому, что производная функционала длины в точке Ф по любому направлению неотрицательна, откуда, в силу предложения 3.5, вытекает, что точка Ф стационарна для функционала длины. Предложение доказано. 3.2 Локальная структура взвешенных ло- кально минимальных параметрических сетей Результаты раздела 3.1 могут быть обобщены на случай взвешенных параметрических сетей с положительными весами.
Для этого следует воспользоваться следствием 1.8. Как и выше, мы приведем отдельно критерий для погруженных параметрических взвешенных сетей, и необходимое и достаточное условия для взвешенных параметрических сетей общего вида. 3.2.1 Критерий локальной минимальности взвешенных погруженных параметрических сетей Напомним, что для погруженных сетей понятия сильной и слабой локальной минимальности совпадают. Имеет место следующий результат. Предложение 3.13 Пусть Ф вЂ” погруженная взвешенная параясетрическая сеть, веса всех ребер которой ноложитиельньь Тогда сеть Ф Глава 3.
Локальная структура минимальных сетей. 152 локально минимальна если и только если все ее ребра --. геодезиче- ские, и, кроме того, линейная комбинация единичных векторов на- правлений ребер, исходящих из каждой подшьжной вериьины сети Ф, с козсрьриииентами, равными весам эппьх ребер, равна нулю.
Доказательство. Доказательство предложения 3.!3 получается дословным повторением доказательства предложения 3.1, в котором вместо формулы первой вариации длины сети (предложение 1.10 главы Ц нужно использовать формулу первой вариации взвешенной длины сети (следствие 1.8 главы 1). Доказательство закончено, Общий случай: условия слабой и сильной ло- кальной минимальности взвешенных параме- трических сетей 3.2.2 Предложение 3.14 Взвешенная параметрическая сеть Ф с положительными весами слабо локально минимальна если и таолько если все ее ребра геодезические, и, кроме того, модуль суммьь векторов Л;, исходящих из каждой подвижной вершины г; сети Ф, не превосходит индекса сЦ вырождения этой вершины: ()Х;!) ( д,.
Чтобы сформулировать условие сильной локальнои минимальности. мы обобщим понятие характсристичсской системы локальной структуры на случай взвешенных сетей. А именно, пусть Ф взвешенная параметрическая сеть с положительными весами, параметризованная графоьи С. Как обычно, обозначим через Ф соответствующую приведенную сеть. Пусть 1х произвольная подвижная вершина из Ф, и Пусть Ф: С вЂ” ь И'" взвешенная параметрическая сеть общего вида (не обязательно погруженная) с границей В: ВС ь ЛХ с И', и предположим снова, что веса всех ребер сети Ф положительны. Рассмотрим произвольную подвижную вершину Ь; и все инцидентные ей невырожденные ребра сети Ф, если они есть.
Обозначим через Х; линейную комбинапию единичных векторов скоростси, с которыми точки, движущиеся по этим невырожденным ребрам, приходят в вершину 1;., взяв в качестве коэффициентов линейной комбинации веса соответствующих ребер, Если все ребра, инцидентные вершине е;, вырождены, то положим Х, = О. Далее, пусть 1~; и 11 -- две произвольные подвижные вершины. Обозначим через и; сумму весов всех вырожденных ребер, соединяющих Ъ;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
