Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 36
Текст из файла (страница 36)
162 1 = 0 и 1 = 1 свое наименьшее значение. Кроме того, так как функция с11) не постоянна (сы. следствие 1.7 главы 1) и непрерывна на отрезке ~0, 1), в некоторой точке т Е 10, 1) функция еЯ должна иметь максимум. Если соответствующая точка В(т) не принадлежит граничному множеству ЛХ (т.е. все ребра параметрической сети Ф, невырождены), то функция е11) дважды дифференцируема в точке т, и мы полу. чаем противоречие со следствием 1.7 главы 1, в силу которого вторая производная функции е11) в точке т должна быть положительна. Отметим долее, что точки Я,, 1 = О, 1, не могут лежать вне геодезического шара В1е). В самом деле, если, скажем, точка Яо лежит вне В(е), то она лежит на некоторой геодезической сфере дВ(р), где е ( р < г.
Тогда, в силу предложения 3.17, примененного к шару В(р), все ребра погруженной сети Фо приходят в точку Во трансверсально и "изнутри" шара В(р), поэтому сумма касательных векторов к этим ребрам не может равняться нулю эта сумма будет иметь положительную проекцию на внутреннюю нормаль к дВ(р) в точке Яо. Последнее противоречит абсолютной минимальности погруженной параметрической сети Фо. Действительно, абсолютно минимальная погруженная сеть является также и локально минимальной сетью, и мы получаем противоречие с предложением 3.1 о локальной структуре таких сетей. Итак., обе концевые точки геодезической Яф лежат в геодезическом шаре В(е).
Поэтому, в силу следствия 3.2, все внутренние точки геодезической 5(1) лежат внутри геодезического шара В(е). В частности, сеть Ф„, соответствующая максимальному значению функции 1зт), является погруженной. Последнее, как мы уже показали выше, приводит к противоречию. Предложение доказано. Предложение 3.18 позволяет дать следующую сстсствонную интерпретацию понятию локально минимальной погруженной параметрической сети (напомним, что в случае погруженных сетей понятия сильной и слабой локальной минимальности совпадают), Иредложение 3.19 Погруженная параметрическая сеть Ф в рима- новом многообразии И' локально минимальна, если и только если у каждой точки сети Ф существует локальная сеть Ф1„. 01ь, — ~ И', являющаяся абсолютно минимальной сетью типа С~ь„с соогпветствуюШей границей 4м,.
Доказательство. Утверждение теоремы немедленно вытекает из пред- ложения 3.18 и определения локальной минимальности. Замечание. Таким образом, погруженные локально минимальные сети являются "локально кратчаишими', т.с. каждый достаточно малый 3.4. Локальная единственность. 163 фрагмент такой сети явяяется кратчайшей сетью с соответствующей канонической границей. Глава 4 Глобальная структура плоских локально минимальных деревьев В предыдущих главах была построена общая теория локально минимальных сетей на римановых многообразиях, где локальная минимальность понималась в смысле функционала длины или, более общо, в смысле функционалов взвешенной длины. В частности, были дока; зава общая теорема существования;юкально минимальных параметрических сетей и сетей-следов.
см. главу '2,теоремы о локальной структуре локально минимальных параметрических сетей и следов, а также общий результат о локальной единственности параметрических сетей. см. главу 3. Однако. наряду с общей теорией, большой интерес представляет изучение геометрии минимальных сетей на конкретных классических многообразиях, и, .прежде всего, на стандартной евклидовой плоскости и в евклидовом пространстве й". С одной стороны, случай плоскости особенно важен для приложений.
Например, транспортная задача это,как правило, задача о поиске некоторой минимальной сети на плоскости, где минимизируется или функционал длины., или функционал взвешенной длины. С другой стороны, изучение глобальных своиств минимальных сетей в й" — зто, в некотором смысле, изучение локальных свойств сетеи в римановых многообразиях общего вида. Сети на плоскости для краткости обычно называют олескими. Как уже отмечалось во Введении, задача поиска плоских абсолютно или локально минимальных сетей с фиксированной границей еще весьма да- 1бб 166 Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. лека от своего полного решения. В данной главе мы ограничимся рассмотрением плоских локально миниматьных сетей (как сетей-следов, так и параметрических сетей) без циклов деревьев., с фиксированной границей.
При этом основное внимание будет уделяться локально минимальным следам. Отметим, что именно такие сети чаще всего встречаются в реальных прикладных задачах (действительно, на практике обычно ищут абсолютно минимальную сеть, а она, очевидно, лежит в соответствующем пространстве следов и не имеет циклов). Одной из самых естественных постановок задачи о поиске сети. минимальной в том или ином смысле, является обычная граничная задача.
На разработанном в предыдущих главах языке, это, как правило, задача о поиске минимального следа в некотором пространстве Т)31) сетей-пяедов с фиксированной границей ЛХ с аь~. Однако в такой постановке проблема оказывается чрезвычайно сложной (как было показано в ~29) эта задача является ЛгР-трудной, т.е., говоря неформально, кокорев всего" не существует полиномиатьного алгоритма ее решения').
Эта сложность обусловлена прежде всего тем, что сушествует экспоненциально много возможных топологий плоских минимальных сетей с данной границей. И, вообще говоря, для каждой такой топологии приходится провсрятьв а нс реализуется ли именно на ней искомый абсолютный минимум. Поэтому, естественно пытатьсл искать какие-либо априорные ограничения на возможные топологии минимальных сетей, и, прежде всего, — ограничения в терминах геометрии данного граничного множества М. Основная цель данной главы состоит в построении эффективного ограничения на возможные топологии плоских локально-минимальных деревьев с произвольной фиксированной границей в терминах геометрии этой границы.
Напомним, что из теоремы 4 главы 3 вытекает, что при описании минимальных следов можно ограничиться вложенными сетями Штейнера, т.е. вложенными параметрическими сетями, степени вершин парамстризующих графов которых не превосходят 3.
Сеть Штсйнера, являющуюся деревом, будем называть деревом Штейнера. Мы начнем с изучения важного частного случая деревьев Штейнера бинарных деревьев, деревьев, степени вершин которых равны 1 или 3. Эти деревья в литературе часто называют полными деревьями Штейнери При этол1 естественно предполагать, что граница каждого бинарного дерева совпадает со множеством его вершин степени 1. В этом случае подвижные вершины, т.е.
вершины степени 3 часто называют тоннажи Штейнера. Для плоских бинарных деревьев естественно определяется важный гФормальное определение Л'Р-трудности можно найти, например, в книге ~69) 167 планарный инвариант (т.е. инвариант относительно планарной эквивалентности) .-. число вращения, который впервые был введен в рассмотрение автором и А. А. Тужилиным в [42., 43], см. определение ниже. Отметим, что планарнвл эквивалентность сетей Штейнера это сильная деформационная эквивалентность, см. главу 1. С помощью числа вращения автором и А. А. Тужилиным сначала бьщо получено полное описание плоских локально минимальных деревьев, затягивающих вершины выпуклых многоугольников ]42, 43, 45, 46], см, также введение.
В частности, было показано, см, также ниже следствие 4.7, что плоское бинарное дерево тогда и только тогда пленарно эквивалентно некоторому локально минимальному дереву, затягивающему множество вершин какого-.вибо выпуклого многоугольника на плоскости, когда число вращения этого дерева не превосходит 5. Уже тогда., см.
(85, 44, 46], высказывалась гипотеза о том, что число вращения может оказаться полезным и при описании устройства локально минимальных бинарных деревьев в общем случае. Эта гипотеза подтвердилась в работе автора ]38]. А именно, оказалось, что существует связь между числом вращения плоского локально минимального бинарного дерева и количеством уровней выпуклости его граничного множества, Напомним определение разбиения произвольного непустого конечного множества ЛХ точек плоскости на уровни выпуклости.
Отнесем к первому уровню выпуклостпи ЛХ множества ЛХ все точки из ЛХ, лежащие на границе выпуклой оболочки множества ЛХ. Заметим, что ЛХ1 не пусто. Выбросим ЛХ' из ЛХ. Если полученное в результате множество не пусто, используем для его преобразования ту же процедуру. А именно, все точки из ЛХ, попавшие на границу выпуклой оболочки множества М 1 ЛХ1, отнесем ко впюрому уровню выпуклости ЛХз множества ЛХ. Продолжим этот процесс до тех пор, пока все точки из ЛХ не попадут на какой-нибудь уровень выпуклости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
