Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пусть л - граничная вершина. Рассмотрим локальный след Г;„точки ад прсдставвяющии собой объединение двух геодезических отрезков, стыкующихся в вер- Глава 3. Локальная структура минимальных сетей. 158 шине х под утлом не меньшим чем 120'. Рассмотрим произвольную малую деформацию следа Г~~, неподвижную на границе этого следа. По определению, так как эта деформапия имеет конечный тип, она на достаточно малом начальном отрезке времени представляет собой деформацию Ф', некоторой параметрической сети Ф', параметризующеи Гневы Если сеть Ф' .—. погруженная, то она локально минимальна в силу предложения 3.1, поэтому деформация Ф,' не уменьшает длину сети Ф'.
Пусть теперь сеть Ф' имеет вырожденные ребра, которые в этом случае, очевидно, отображаются в вершину х. Тогда из формулы первой вариации вытекает, что первая производная функции длины с(е) длины сети Ф'ф неотрицатемьна. Если гИ/де > О, то длина сети Ф' возрастает. Далее, эта производная равна нулю в том и только том случае, если угол о между ребрами следа Г~ „в точности равен 120', выроькденное ребро, инцидентное х единственно, и вершина х', отщепляющаяся от вершины х, движется вдоль геодезическои, выпущснной из х в направлении биссектрисы угла о внутрь этого угла. Однако, и в этом случае деформ,щия Ф,' не уменьшает длину сети Ф'.
В самом деле, предположим противное, и рассмотрим сеть Ф", полученную из сети Ф' добавлением отрезка геодезической, выпущенной из х вдоль продолжения биссектрисы угла о вне этого угла, и заканчивающегося граничной вершиной. Тогда деформация Ф', легко продолжается до деформации погруженной локально минимальной сети Ф", причем эта деформация должна укорачивать сеть Ф". Противоречие, Случай, когда вершина х имеет степень три, разбирается точно также, Итак, каждая точка х следа Г обладает локальным следом, длина которого не уменьшается при деформациях.
Доказательство предложения закончено. Из теоремы 4 вытекает следующий результат. Следствие 3.1 Пусть Г --. локально минимальный след с границей ЛХ, возможно пустой. Тогда степень каждой вершины из Г не превосходисп трех, а в вершине степени 3 векторы направлений ребер расположены в одной двумерной плоскости (в касательном иростпршпстве к многообразию Иг в этой вершине).
Из следствия 3.1 вытекает, что при описании минимальных следов можно ограничиться следами вложенных параметрических сетей, параметризующие графы которых обладают только вершинами степени нс более 3. Такие сети мы будем называть сетями Штейнера. 3.4. Локальная единственность. 159 3.4 Локальная единственность Одна из трудностей, стояших на пути решения задач.
связанных с поиском минимальных сетей, состоит в том, что минимальная сеть, как правило, не единственна. Например, в случае замкнутых параметрических сетей, у которых не фиксирован гомотопический тип, решение задачи о поиске минимальных параметрических сетей, очевидно, не единственно, поскольку решением является каждзл точечная сеть. Если же фиксирован гомотопический тип параметрической сети, то решение может как не существовать (сьь пример выше), так и быть не единственным.
Например, на поверхности вращения, заданной в стандартном евклидовом пространстве йз в цьшиндрических координатах 1г,~р,г) уравнением г = 2+ зшг, существует бесконечно много минимальных сетей с одной вершиной и одним цикличоским ребром, следы которых имеют вид г = Зк/2+ 2кк, я Е Т,. Если фиксирована некоторая не пустая граница, то, вообще говоря, единственности решения задачи о поиске минимальной сети тоже ожидать не приходится. Описание множества всех локально минимальных (взвешенных) сетей фиксированного типа С с данной границей в евклидовом пространстве Пя" приводится в главе 5.
В случае же рима- нова многообразия И' общего вида удается по,чучить только следующий важный локальный результат. Пусть ю произвольная точка римзнова многообразия И'. Напомним, что геодезическим шаром В(зо,е) с центром в значке ю и радиуса е называется образ шара Зо е Т ИИ ) Йий' < е) при экспоненциаяьном диффеоморфизме схр„(здесь е выбирается достаточно малым). Все геодезические шары В(ю,е) достаточно малого радиуса выпуклы в том смысле, что любые две точки х и у из В(ю, е) соединяются единственной кратчайшей геодезической, лежащей в Г(ю), см, например ~68). Более того, имеет место с;чедующий результат.
Предложение 3.17 Пусть и~ -- произвольная точка риманова многообразия И'. Тогда существует такой замкнутьзй геодезический шар В(ю,е) = )х е И' ! р(х,ш) < ) с центром в точке ш, что любые две точка из В(ю,е) соединяютея единственной нратчазоаей геодезической, которая целиком, за исключением, быть может, своих концевых точек, лежит в открытом шаре 5з(ш,е).
В последнем случае, кратчайшая геодезическая подходит к геодезической сфере дВ(ш,е) трансверсально. Доказательство. Как уже отмечалось выше, существование открытого геодезического шара, такого что любые две его точки соединяет Глава 3. Чокаяьная структура минимальных сетей. 160 единственная кратчайшая геодезическая, лежащая в этом шаре, хорошо известно, см. например )68). Поэтому, переходя к замыканию, заключаем, что существует замкнутый псар В(ид г), обладающий тем же свойством. Для завершения доказательства предложенил остается проверить, что каждал кратчайшая геодезическая, соединлюшая произвольную точку х геодезической сферы дВ(ю, г) с любой другой точкой из замкнутого шара В(ю, г), трансверсальна сфере дВ(ю, г) в точке х. Это вытекает из следующей леммы.
Лемма 3.4 Геодезическая, касающаяся геодезической сферы ВВ(ш, г), нс лежит внутари ограничиваемого этой сферой замкнутого геодезического шара Всю,г). Доказательство. В самом деле, рассмотрилс произвольную геодезическую б, касающуюся геодезической сферы дВ(ид г) в некоторой точке х. Из точки х в центр о~ шара В(со, г) идет единственная кратчайшол геодезическая, которую мы обозначим через 7. Геодезическая Ч порожДаст гсодезическУю ваРиацию Оы пРи котоРой конец ш геоДезической ус стоит на месте, а дРУгой ее конец точка хс, хо = х, движетсЯ по геодезической ~.
Обозначим через с® длину геодезической 7с. Тогда, как следует из форлсулы первой вариации (следствие 1.2 главы 1), первая производная функции 1(1) в точке 1 = 0 равна нулю. С помощью следствия 1.4 главы 1 вычислим вторую производную функции с11) в начальный момент времени. Она имеет вид = (~нВ,Х)+(В,17хВ), я=о гДе Х поле скоРостей геоДезической уо, К поле ДсфоРмации, Б его нормальная составляющая., и значение правой части вычисляется в точке Ч10) Е дВ(ю, г). Однако первое слагаемое в правой части равно нулю, так как кривая ~, вдоль которой движется точка:г --.
геодезическая. Второе же сяагаеьсое неотрицательно в силу следствия 1.4 главы 1,причем равенство нулю достигается если и только если геодезическая с,,является продолжением геодезической ,о. Последнее невозможно, так как Ч и цо перпендикулярны. Итак, вторая производная функции Сс11) в точке 1 = 0 положительна, поэтому с11) > с10) = г при достаточно малых й Последнее означает, что начальный отрезок геодезической с, лежит вне геодезического шара В(ю, г). Лемма доказана. Из леммы 3.4 вытекает справедливость предложения 3.17. Доказательство закончено. 3.4. Локальная единственность. Из предложения 3.17 вытекает следующее полезное следствие, Следствие 3.2 Пусть ВЯ геодезический шар, обладающий свойствами, описанными в предложении 3.17, и 1 — произвольная кратчайшая геодезическая.
Тогда 7 пересекает геодезическую сферу ВВЯ не более чем в двух точках. Если же начальная и конечная тпочки геодезической 7 лежат внутри шара ВЯ, то геодезическая 7 не пересекает геодезическую сферу дВ1е). Доказательство. Действительно, выйдя из геодезического шара В(е), кратчайшая геодезическая уже не может в него вернуться, поскольку, в силу предложения 3.17, кратчайшая геодезическая, соединяющая пару точек из геодезической сферы дВ(е), целиком лежит в геодезическом шаро В(е).
С помощью следствия 1.7 главы 1 и следствия 3.2 можно доказать следующий общий результат о локальной единственности. Предложение 3.18 Пусть М - множество, состоящее из и > 3 попарно различных точек, лежащих на некоторой геодезической сфере ВВ(е) радиуса е в римановом многообразии И'. Пусть С звезда с и лучами и )1 некоторое взаимно однозначное отображение множества вершин степени 1 звезды С на множество М.
Тогда, если е достаточно мало, то в просгаранстве параметрических сетей Мо(д) существует единственная абсолютно минимальная сеть. При этом единственная подвижная вершина этой сети расположена в замкнутом геодезическом шаре В1е). Доказательство. Прежде всего, выберем е настолько малым, чтобы каждая абсолютно минимальная сеть, затягивающая множество М, лежала бы в выпуклом геодезическом шаре В (г) некоторого фиксированного радиуса г.
Предсюложим, что в пространстве Мн(13) существует две разных абсолютно минимальных сети Фо и Фы Так как каждые две точки в шаре В(г) соединяются единственной геодезической, каждая такая сеть однозначно определяется положением своей единственной подвижной вершины. Обозначим через 5; подвижную вершину сети Ф„У = О, 1. Построим единственную кратчайшую геодезичсскук~ 5(у) С В(г), 1 Е ~0, Ц, соединяющую точки Яо и Яь. Геодезическая Я(1) порождает геодезическую деформацию Ф(1), переводящую сеть Фв в сеть Фы Обозначим через с(1) функцию длины сети Ф11). Так как сети Фо и Фь абсолютно минимальны в Мг()3), функция с11) принимает в точках Глава 3. Локальная структура минимальных сетей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
