Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

перестроить ломаную ! ч в ломаную, не образующую пустых областей относительно Еч, н находящуюся с Ь! в общем положении. Результат этой перестройки будем называть редуцированной ломаной. Докажем теперь следующуи> важную лемму. Лемма 4.3 Элементарные деформации ломаной Ьз сохраняют как индекс чпд(ч.з, А!), так и начальный о(ч.ч, ь!) и конечный Яч з, А!) твиз стинеи ломаной 7- по отношению к Ь~.

Доказательство. По опредечению, каждая элементарная деформация Ф затрагивает лишь три посяедоватечьных й-области, скажем й! й,, йьы, средняя из которых, й„яюшется строго пустой. Области й, ! и йьче! будем называть крайними, В результате элементарной деформации эти три области перестраиваются в одну й-область, которую мы обозначим через й'. Граница области й' явллется объединением двух ломаных, пересекающихся только по своим концевым вершинам: основания б' области й', и ломаной Р с Ь~.

Рассмотрим деформацию Ф ч, обратную к элементарной деформации Ф. Напомним, что элементарная деформация Ф определена как последовательность двух деформаций Ф! и Фз. Поэтому обратная деформация также представима в виде посчедовательности двух деформаций: деформации Ф. !, обратной к Фз, и деформации Ф ', обратной к Ф!.

В процессе деформации Фс ! некоторая подломаная лол!аной Р "слипается" с ломаной Ь!: деформация Ф, ! "снимает" Р с Ь!, в результате чего образуются области й, !, й, и й,ч!. Возможны следующие два случая, см. рис. 4.3. 1. При деформации Ф ломаная Р подходит к 1.ч, оставаясь при этом внутри замыкания области й'.

Легко видеть, что в этом случае знаки краиних областей й,, и й!е! совпадают со знаком об.части й' ~эти три области лежат по одну и ту же сторону от ломаной Ьч), а знак области й! противоположен знаку области й' (область й, расположена по другую сторону от Ез): вчКп(й, ч) = в!Кп(й, ы) = ЯКп(й'), — в!Кп(й,) = в|Кп(й ).

Поэтому в!Кп1Й !) + в1Кц(Й,) + в!Кц(йьь!) = в!К!Цй ). 2. При деформации Ф, ломаная Р подходит к Ьч, оставаясь при этом внутри области Вз !! й'. В этом случае одна из крайних областей, пусть, для определенности, й, ч, не пересекается с й' и 4.1.

Плоские ломаные 1. 179 л.', » св 'о, Рис. 4.3; Деформация, обратная к элементарной имеет противоположный знак, так как лежит по друтую сторону от т,-'. Вторая же крайнял область содержит й' и имеет тот же знак, так как лежит по ту же сторону от т ~. Знак области П, также совпадает со знаком области 11'. Таким образом, зЮ1(~А — 1) — яКп(П ) ° я3п(11;) = ябп(йы1) = я3п(11 ), Поэтому снова я|3п(11, 1) + ядп(11,) + з1р~(йьь,) = з13п(11') Таким образом, су мма знаков трех последовательных областей й, Пе й,ты участвующих в деформации, совпадает со знаком области П', в которую они перестраиваются, что и означает сохранение индекса. Для завершения доказательства леммы осталось показать, что концевые твистинги также не меняются.

Но это так, поскольку построя синая деформация не меняет направления концевых ребер ломаной Т,» Лемма 4.3 доказана. Итак., для доказательства предложения 4.3 осталось показать, что оно справедливо для случая ломаных А1 и Ьз, таких что ьв нс образует пустых областей с т '. Нам понадобится следующее определение. Рассмотрим произвольную внутреннюю точку пересечения Р ломаных А~ и 1з.

Пусть Д) и 1з — последовательные элементы канонического разбиения, первый из которых заканчивается, а второй начинается в точке Р. Обозначим через Я начальную точку 1'ы и через В конечную точку А Определение. Точка Р называется точкой монотонности, если точка Я предшествует Р, а точка Л следует за Р на ориентированной ломаной Т,~. Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. 180 Приведем несколько очевидных свойств точки монотонности, Лемма 4.4 Пусть й; 1 и й; -- последовательные й-области, и предположим, что концевая точка Р области й, м совпадающая с начальной точкой области й;, является точкой монотонности.

Тогда Е еслц й, яв яется А-областью, то й; 1 С йо и поэтому й, 1 или А-область, или Е-область; 3. если й; является Р-областью, то й, ~ с й„и й; 1 или А- область, или Е-область; 3. если й, 1 является Е-областью, то й, 1 з йо и й,; -- или В- область, или Е-область; 4. если й, 1 является В-областью, то й; ь З й„и. й;, или В-область, или Е-область. Доказательство. Докажем, например, первое утверждение. Граница области й; состоит из элемента канонического разбиения Е, ломаной 2 Ег и основания 6; с Е~. При этом часть Ь1~А,Р~ ломаной Еь от А до Р лежит, очевидно, внутри й,. Поэтому начальная точка предыдуг а щего элемента Ь;, канонического разбиения ломаной Е- лежит внутри области й,. Так как конечная точка элемента Е,, совпадает с 2 Р, отсюда вытекает, что и весь элемент Е,.

содержится в замыкании 2 области йь Поэтому область й; 1 содержится в йп и, в частности, не может содержать точки В. Доказательство первого утверждения закон 1ено. Остальные утверждения доказываются аналогично. Следующая лемма поясняет важность понлтия точки монотонности для доказательства предложения 4.3. Лемма 4.5 Предположим, что Ьх не имеет пустых областей охпнотилельно ь~.

Тогда все внутренние точки пересечения ломаных Ь' и Ьг являются точками монотонности. В частности, порядки, индуцпрованные на множесппе точек пересечения ломаных Ь' и Еа ориентац ями этпих ломаных, совпадают. Доказательство. Предположим противное, и пусть й, первал из й-областей, такая что одна из концевых точек соответствующего элемента Тл не является точкой монотонности.

Ясно, что у такого Е, ровно одна концевая точка не является точкой монотонности, причем 4.1. Плоские ломаные 1. 181 эта точка -- конечная для Ть Обозначим эту точку через Р и покажем, что в этом случае ломаная В2 имеет пустую й-область. Это противоречие и завср2пит доказательство леммы. Пусть й, явчяется А-областью. Тогда, так как Р первая точка не монотонности, из леммы 4.4 следует, что й!Сй2С"''Сй! и все области й,, у' = 1,...,! .являются А-областями, Так как Р не точка монотонности, конечная точка Р элемента Л;„,! расположена 2 внутри основания области й!.

Ломаная Е2 входит внутрь области й, через точку Р, и, так как й, не содержит точки В, ломаная Вз должна выйти из области й, через некоторую внутреннюю точку О ф Р основания области й!. Обозначим через Х часть ломаной В2 между Р и О Напомним, что все области й., у' < 2, являются последовательно вложенными друг в друта А-областями. Пусть уя обозначает наименьшее целое число у, для которого й: й Х ~ 6, Положим й' = й „, В' = В2,, и обозначим через В связную компоненту пересечения ломаной В с замыканием области й'. — ! .Чоманая В пересекается с ломаной В! только по своим концевым точкам, причем эти концевые точки лежат внутри основания области й'.

Действительно, Ь лежит в замыкании области й', а часть лоь!ш!ой В2, расположенная внутри замыкания области й', разбита, на основания й-областей й, у < уш поэтому, если бы В пересекла В' в некоторой своей внутренней точке, или одна из концевых точек ломаной В не лежала бы внутри основания области й', то В пересекла бы область й„у < уо, что невозможно в силу выбора уа. Отсюда вытекает, что — ! — ! область й, которую В ограничивает вместе с соответствующей частью ломаной Т,!, является й-областью, основание которой лежит внутри основания области й'.

Так как В лежит в замыкании области й', — ! — ! то й с й', и, поэтому, область й не содержит точки В. Покажем, — ! что й также не может содержать точку .4. Пусть Х и В' концевые точки ломаной Ь', причем, без ограничения общности, предположим, что.4' 6 В!(А, В'). Обозначим через А и — Р В концевые точки ломаной В . В силу доказанного выше, В![А, В ) С В'[Х, В'). Кроме того, так как дй' П дй = В! [А, В ) и й с й', то А' не принадложит замыканию области й . Если А б й, то В! [.4,.4') пересекает дй, и так как дй = Т,! [А, В ) 0Х и В! [А, А') П В! [А, В ) = 2). то 1![4 А') ОХ ф И. Однако, Х О Ь2[.4 В) = 1А,В ), В![А Х) ~ А, и Глава 4.

Плоские локально минимальные деревья. 182 т,1~А, А') ф В, поэтому о~ [А, А') О Х = 9, противоречие, завершаи1шее рассмотрение этого случая. Пусть й; является Е-областью. По лемме 4.4, й1 С йз С ' ' ' С йб и все йу при у' < 1 представляют собой .4-области. Пусть А, и В, = Р первая и последняя точки из Ц.

Коли Ь~ь приходит на В1(АО В,), то мы получаем Е-область с помощью тех же рассуждений, что и выше. Если Ьзь1 приходит на В1(Л,А,), то ь' приходит на границу некоторой А-области снаружи этой области, и мы опять можем применить рассуждения, приведенные выше. Таким образом, осталось рассмотреть последний случай, а именно, когда й; является В-областью. Если опять мы обозначим через А; и В,, = Р первую и последнюю точки элемента 1,з, то, как легко видеть, элемент 1,з должен вернуться на т,1(А„В,), и мы опять получаем Е-область. Это противоречие и завершает доказательство леммы 4.5. Из лемм 4А и 4.5 немедленно вытскаст важное следствие.

Следствие 4.1 Пусть ь~ и Па произвольная пара незамкнуп1ых ломаныз., соединяющих фиксированньи точки А и В а находтаихся в общем положении. Предположим, ч1по ьз не ограничивает пустых областей относительно 11. Тогда слово И'(та,Ь1) имеет одну из следующих двух форм: ° А"Р"Во, где все р, у и г одновременно или положительны, или отрицательны, и г = х1; или ° ЛгВ', где ру < О, причем, если р = О, то ~д~ > 2, и если у = О, то )р) > 1.

Вернемся к доказательству предложения 4.3. Рассмотрим произвольную область й; и фиксируем направление обхода ее границы в соответствие с ориентацией ломаной Вз, Обозначим через Л; и В; начальнук1 и конечную точки ломаной В, соответственно, а через Ь, основание области й„т.е. участок ломаной ь1 между А, и В,. Тогда, в силу предложения 4.1 и свойств кручения замкнутой ломаной, имеем; спЦ вЂ” спВ,'. + о,(ЕюВ~) + 3,(Е,,Т~) = бв1бцй„(*,) где через о1 (Ц, В1) и )з, (1 ~, В1) обозначены соответственно начальныи и конечный твистинги Ь;. по отношению к 1,1. 4.1. Плоские ломаные 1.

183 Из монотонности всех внутренних точек пересечения ломаных В' и Вз вытекает, что Поэтому, суммируя соотношения (*,) для всех 1, получаем сийз — упйс + а(йз, Вс) + 11(Ь,В ) =- 6шс1(В,В ). Предложение 4.3 полностью доказано. 4.1.3 Некоторые следствия и оценки Пусть Вс и Т,з, как и выше, пара ломаных в общелс положении при фиксированньсс общих концевых вершинах А и В.

Предложение 4.3 дает возможность вычислять кручение вдоль одной из них. если известно кручение вдоль второй, концевые твистинги и индекс !пс!(1,-', Вс). Однако нам в дальнейшем будут также полезны оценки кручения в терминах общего числа А- и В-областей, порожденных ломаными Вс и Т,з. Мы получим их как следствия предложения 4.3. Определение.

Количоство всех А- и В-элементов канонического разбиения ломаной ЕР по отношению к ломаной Лс называется АВ-модулем ломаной Вз относительно Вс и обозначается через АВ-Мос!(Тз, В'). Также удобно назвать число АВ-Мод(йз, В') + 1 модулем Ь-' относительно В' и обозначать его через Мос1(Т-', Вс), Следствие 4.2 В предположени х предложения 4.3, выполнены сле- дующие оценки; ~ шс!(Вз,Х~)~ = ~ Уре18Ы(йз, Вс)~ < Мос1(Вз, Ь~), и, поэтому, ) Сп Вз ( < ! сп В') + 6 Мос1(йз, 1 ') + 6.

Характеристики

Список файлов диссертации