Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

с 1;, и назовем число д, = ~, о,. 1 ц индексом вырождения вершины 1',. 3.2. Взвептснные параметрические сети. 153 Сл~ --. приведенная компонента, соответствующая вершине 1'. Как и выше, зададим на Сг какую-нибудь правильную ориентацию.

Определим взвешенную,натрццу смежности (с, ), положив сб по величине, равным суммарному весу всех (вырожденных) ребер графа Слг, соединяющих вершины Ъ; и 1', и присвоив с, знак "плюс", если и только если 1; --. начало всех ребер из С~~, идущих из 1тт в 1', и знак "минус'в противном случае. Поставим в соответствие каждой неупорядоченной паре ('тп1') соседних вершин графа Ст, переменную х; размерности п, а именно, х, = (х~п,...,х,'.',.), Отметим, что, по определению, хп — — хт1. Определение. Линейную систему уравнений с, х; =Х;, т=1,...,й, Е Ъ; смежна с т)т где Й --. количество подвижных вершин графа С~~, назовем характеристической системой локальной структуры вериионы 1т.

Объединение характеристических систем локальной структуры по всем подвижным вершинам 1' приведенной сети называется характеристической системой лака ьной структуры взвешенной параметрической сети Ф. Предложение 3.15 11усть Ф взвешенная параметрическая сеть с положительныаи весами. Тогда если сеть Ф сально локально минимальна, то все ее ребра геодезические, и, кроме того, ее характеристическая систпема локальной структуры имеет такое решение, что значение каждой его и-мерной переменной х; по модулю не превосходитп единицы.

Если все ребра взвтлиенной параметрической сент Ф с положительныаи весами геодезические, и ее характеристпическая система локальной структуры имеет такое решение, чпто значение каждой его п-мерной колтоненты х,. по модулю строго меньше единицы, то сеть Ф сильно локально минимальна. Доказательства предложений 3.14 и 3.15 получаются дословным повторением доказательств предложения 3.2 и предложения 3.11 соответственно. Глава 3.

Локальная структура минимальных сетей. 154 3.2.3 Сильно локально минимальные взвешенные па- раметрические сети в евклидовом пространстве Если объемлющее многообразие И' -- это стандартное евклидово пространство л", то, как и в случае обычнои длины, предложение 3.15 можно превратить в критерий. Предложение 3.16 Пушаь Ф взвешенная параметрическая сегпь с положительными весами в евклидовом пространстве К".

Тогда сеть Ф сильно локально минимальна, если и только если все ее ребра — прямолинейняае отрезки, и харатперистическая система локальной структуры сети Ф имеет такое решение х, что значения каждой и- мерной переменной х, из х по модулю не превосходит единицы. Доказательство. Для доказательства заметим, что функционал взвешенной длины на семействе линейных сетей данного типа с фиксированной границей, представляет собой выпуклую функцию на пространстве 2"~, где и количество подвижных вершин рассматриваемых параметрических сетей.

Дальнейшее доказательство совпадает с доказательством предложения 3.12. 3.2.4 Общие теоремы о локальной структуре параметрических сетей Подведем итоги, сформулировав следующую общую теорему о локальной структуре взвешенных локально минимальных параметрических сетей на римановом многообразии. Отметим., что в случае постоянной весовой функции мы получаем обычные локально минимальные сети. Теорема 2 (О локальной структуре) Пусть И"ь - риианово многообразие, и Ф: С вЂ” ~ И' взвешенная параметрическая сеть типа С с границеа дФ, возможно пуспьой, и положительной весовой функ'цией.

Для каждой подвижной вершины К из Ф обозначим через Х, линейную комбинацию единичных векторов направлений приходяигих в Г невырожденных ребер сети Ф с коэффициентами — весами эгпих ребер. Если гпаких ребер нет., положим Х; = О. ° Погруженная сепв Ф локально минимальна, если и только если все ее ребра геодезические, а вектора Х, = О.

° Сегпь Ф слабо локально минимальна еслн и только если все ее ребра геодезические, и для каждой подвижной вершины )'; сумма 3.3. Следы. 155 весов всех инцидентных т; вырожденных ребер болыие или равна ,модулю вектора Л,;. ° Если сеть Ф сильно локально мин мальна, то все ее ребра геодезические, и ее характеристическая система локальной стт~руктуры имеета решение, каждая и-мерная компонента которого по модулю не превосходит 1. Если характеристическая система локальной структуры геодезической сети Ф имеет решение, каждая п-,мерная компонента которого по модулю строго меньтае 1, то Ф сильно локально минимальна.

В случае И' = К" теорему 2 удастся превратить в критерий локальной минимальности. Теорема 3 (О локальной структуре) Пусть Ф: С вЂ” > $Г взвешенная параметрическая сеть типа С с границей дФ и положительной весовой функцией, заданная в евклидовом пространставе 2". Для каждой подвижной вершины 1т, из Ф обозначим через Дт, линейную комбинацию единичных векторов направлений приходящих в К невы- рожденных ребер сетпи Ф с коэффициент ми весами этих ребер. Если пшких ребер непн положи,м Х, = О. ° Погруженная сетаь Ф локально минимальна если и только если все ее ребра прямолинейные отрезки, а вектора Х, = О. ° Сеть Ф слабо локально минами ьна если и только если все ее ребра — прямолинейные отрезки, и для каждой подвижной веритины Р; сумма весов всех инцидентных т', вырожденных ребер больше или равна модулю вектора Х;. ° Сеть Ф сильно локально минимальна, если и только если все ее ребра прямолинейные отрезки, и ее характеристическая система локальной структуры имеета реитение, каждая и-мерная компонента котпорого по модулю не превосходят 1.

3.3 Локальная структура минимальных сле- дон В настоящем параграфе мы опишем локальное устройство минимаяьных следов. Напомним, что след Г, затягивающий конечное множество ЛХ (возможно пустое) точек риманова многообразия И', называется Глава 3. Чокаяьная структура минимальных сетей. 150 локально минимальным, если всякая его точка имеет такой локальный след Гм„что любая малая деформация следа 1 ш и неподвижная на его границе дГьшэ не уменьшает длину этого свела. Теорема 4 След Г, затягивающий конечное (возможно пустое'1 множество ЛХ точек риманова многообразия И', является локально минимальнь м тогда и только тогда, когда след Г обладает следующими свойствами: 1, след Г обладает каноническим представителем Ф; 2.

все ребра канонического представите я Ф следа Г геодезические; 3. угол между каждан паров смежных ребер парамеепри невкой сегпи Ф не меньше 120'; 4. все вершины шаеаени 1 являются граннчными; б. все вершины сепепена 2 также являются граничными за исключением ровно одного тривиального случал, когда граница параметрической сети Ф пуста, а сама сеть Ф состоит из одной вершины, и одного циклического ребра, стыкующегося в этой вершине под углами в 180' (т.е.

след Г замкнутая геодезическая). Доказательство. Пусть Г --. локально минимальный след, затягивающий ЛХ. Покажем, что для него выполняются все условия предложения. Пусть х Е Г произвольная точка из Г. По определению, существует такой локальный след Г~ „точки х, что любая малая деформация следа Г,*„неподвижная на его границе дГь„не уменьшает длину следа Г,. Поэтому, в силу свойств геодезических, каждое ребро следа Г должно являться следом некоторой геодезической (иначе можно уменьшить длину.

следа малой деформацией негеодезического ребра). Таким образом, Г является следом некоторой геодезической сети и, в силу утверждения 1.6 главы 1, обладает каноническим представителем Ф. Первые два условия теоремы проверены. Далее, пусть о и ~г два ребра сети Ф, встрочаюшиеся в вершине х Е И' под углом меньшим чем 120'. Рассмотрим локальный след Г,*, точки х, каждая малая деформация которого, неподвижная на его границе, не увеличивает длину следа Г,*,. По определению, след Г,*„состоит из конечного числа, скажем к, геодезических отрезков, 3.3. Следы. 157 каждый из которых соединяет точку т с некоторой точкой, принадлежащей границе дГ,"„следа Г~ „причем все эти геодезические отрезки пересекаются только в точке л.

Обозначим через 1~ и у! ребра следа Г~,я соответствук>щие ребрам л и б~а следа Г. Пусть Ф': С' — ~ И' канонический представитель следа Г;;„и г' вершина в С', соответствующая т, а е~ и е!~ -- ребра из С', соответствующие у' и уэ. Расшепим вершину г' в следующем смысле, Рассмотрим граф С". получающийся из С' так. Разрежем граф С' по вершине г' на две компоненты так, чтобы в одной компоненте оказались оба ребра е' и е', стыкующиеся в вершине, которую мы обозначим через в~, а во второй --- все остальные ребра (если они есть), стыкующиеся в вершине, обозначаемой гэ.

Соединим вершины г', и вз ребром е'. Полученныи в результате граф мы и обозначим через С". Определим теперь параметрическую сеть Фл: С" — ~ И'., совпадающую с Ф' на всех ребрах графа С", кроме ребра е', а ребро е' отображающее в точку т. По определению, след сети Фл совпадает с Г~„,. Поэтому каждая достаточно малая деформация сети Ф", постоянная на границе дГ,* „задает деформацию следа Г,*,, и, поэтому, не должна уменьшать длину сети Ф". Однако, в соответствии с предложением 3.2, сеть Фл не является даже слабо локально минимальной, поскольку степень вырождения подвижной вершины г~~ равна 1, а соответствующий вектор Лт равен сумме двух единичных векторов„утол между которыми меньше 120', и, поэтому, ~~Х~~ ) 1.

Поэтому существует сокращающая деформация следа Г,',. Противоречие. Итак, локально минимальный след Г обладает свойством (3). Свойства (4) и (5) очевидны. Докажем теперь обратное утверждение. Пусть след Г обладает всеми свойствами (1) — (5) . Покажем, что тогда след Г является локально минимальным. Пусть л - — произвольная точка из Г. Если л не является вершиной канонического представителя Ф следа Г, то существует такой локальный след точки л, который представляет собой достаточно малый отрезок геодезической. Поэтому любая его деформация не увеличивает длину, что и требовалось.

Пусть теперь л — - вершина параметрической сети Ф. Если л имеет степень 1, то, снова, в силу свойств геодезических, любая деформация достаточно малого локального следа точки л не увеличивает длину этого локального следа,что и требовалось. Пусть теперь л имеет степень 2. Если х не граничнзл вершина, то опять же все следует из свойств геодезических.

Характеристики

Список файлов диссертации