Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

вдоль каждой Вз, Припишем каждой из Вз знак следующим образом. Определим знак 813п(4 ~г) .! ' 1 ломаной л" 3 равным +1, если обход области Пу против часовой стрелки индуцирует движение вдоль Ьз, как вдоль части границы дй области П, в положительном направлении. В противном случае, положим п~йз) Определение.

Пусть Вз = 0'у 4,3 каноническое разбиение ломаной Вз относительно В!. Сумма знаков вг3п(4,9) по всем 3 = 1,..., Х называется индексам ломаной Вз отношипсльно В! и обозначается через шг1(Ь3, В ! ) . Рассьготрим теперь концевые области П! и П19, и ориентируем их границы замкнутые ломаные, в соответствие с положительныл! направлением движения вдоль Вз и Ьз~. Обозначим через о(Хз, Е!) твистинг точки А как вершины ориентированной замкнутой ломаной дйг, и через ДР9,Е') твистинг точки В как вершины ориентированной замкнутой ломаной дПк. Назовем эти числа начальным и конечным твнстингож лаз!аной Ва по отношению к В!. Отметим, что о(Ь9, В') совпадает с деленным на п,г3 ориентированным углом между направлением, противоположным направлению начального звена ломаной Вг, и направлением начального звена ломаной Вз. В свою очередь,,у(1-, Х г) з "1'акое определение канонического разбиения было дано и 138, 391.

В разделе 4.3 мы дадим друное определение канонического разбиения, работающее без предпояожений об общем положении ломаных. !1оэтому определенное только-что поня"гие естестеенное назынагь, скажем, резуллрнмм канонпьщскам раэбпенаем, что мы н будем делать начиная с раздела 4.3. Здесь мы сохраним терминологию из )38). 174 Глава 4. Плоские локально минимальные деревья. совпадает с деленным на к/3 ориентированным углом между направлением последнего звена ломаной Ь~ и направяением, противоположным направлению последнего звена ломаной ь~. (Напомним, что так как ломаные Х1 и Ьэ находлтся в общем положении, величины этих углов отличны от к. поэтому ориентированный угол определен.) Теперь все готово.

чтобы сформулировать главный результат данного раздела. Предложение 4.3 Пусть Ь1 и Ех ломаные, соединяющие нару различных точек А и В и ориентированные от А к В. Предположим, что единственные фиксированные вершины ломаных Л и Ео это точки А и В, и, кроме того, пустаь ломаные Л1 и Ех находяния в общем положении.

Тогда Фп Ь~ = 1п Ь' + 61пс1(Ь', Л~) — а(Ьз, Е~) — ЯЕ', Е ). Прежде чем доказывать это предложение, приведем другое, иногда более удобное, определение индекса одной ломаной по отношению к другой. Пусть Л~ и Лх такие же,как и выше. Рассмотрим каноническое разбиение Ех относительно Л~,и пусть Й . произвольная внутреннял область, а Ех — соответствующий элемент канонического разбиения.

Определение. Область й и ломаная х,х называются А-областью и А- элементом соответственно, если Й содержит точку А и не содержит В. Если Й. содержит В и не содержит А, то Й и ЬД называются В-областью и В-элементом. Далее, если й содержит как А, так и В, то йу и Ц называются нолнь ми, или Е-областью и Е-элементом. Наконец, если й; не содержит ни А, ни В, то й и Ьх называются пустыми, или Е-областью и Е-элементом. Ясно, что каждая внутренняя й-область (внутренний элемент канонического разбиения) является или А-, или В-, или Еч или Е-областью (элементом). Таким образом, мы разбили множество всех внутренних Й-областей (внутренних элементов канонического разбиения) на четыре класса, каждый из которых может быть пустым.

Продолжим теперь это разбиение на концевые й-области (элементы) так. Отметим, что концевая Й-область не могкст содержать внутри себя одновременно точки А и В. Если концевал Й-область содержит внутри себя точку А или В, то отнесем ее, соответственно, к .4- или В-областям. В противном случае, если замыкание концевой Й-области содержит точку А, то отнесем эту область к А-областям, иначе к В-областям. В 4.1.

Плоские ломаные 1. 175 ~Ы Йм А-область А-обаасть АЯ'" ь л~ата у 1' 1., В-область А-область Рис. 4.1; Примеры концевых А- и В-областей. частности, если существует ровно одна П-область (она же конпевая), то отнесем ее к А-областям, см. рис. 4.1. Построим теперь по паре ломаных ь' и ьз некоторое слово. Определим знак области й как знак в13п(1з) и обозначим его через йдп(йу). мва(п, ) Припишем каждой й-области букву Хс ', где буква Х равна .4, В, Е или Е в зависимости от того, к какому классу принадлежит область П .

Составим слово И'(Ьз, Вт ), записав полученные буквы по порядку: И,.1Вз В1) Ха~в цпб Ха1в цпн~ Определим вес слова 1т'1Ьз, В') как сумлау степеней всех входящих в него букв, и обозначим его через %е13Ы(1 а, В'). Непосредственно из определений вытекает следу ющее у тверждение. оттверждение 4 1 Во введенных выше обозначениях, 1пс)(Л, Е ) = М'е1дЫ(Х, В ). Перейдем теперь к доказательству предложения 4.3. Доказательство предложения 4.3. План доказательства таков.

Мы определим специальную деформацию некоторого измельчения ломаной Вз (такую деформацию мы будем называть элементарной), в результате которой ломаные Ь' и Ва остаются в общем положении, уменьшается количество ограниченных ими пустых областей, но индекс и концевые твистинги нс меняются. Ясно, что последовательным применением таких деформаций ьюжно преобразовать ломаную Лз в ломаную, не образующую пустых областей с т ', для которой, как оказывается, легко описывается структура канонического разбиения по отношению к Вт, и непосредственно доказывается искомая зависимость между кручениями. 176 Глава 4.

Плоские локально минимальные деревья. Рассмотрим произвольную пустую область Йп и предположим, что внутри ее основания Ь; расположена некоторая точка Р е ьз, Так как Ез и Е1 находятся в обшем положении, и Р не является фиксированной э вершиной, то ломанал П входит внутрь области Й,. С другой стороны, область Й, не содержит концевых точек ломаной Ег, так как Й,, пустая, поэтому ломаная ьз должна выйти из Йо пересекая при этом основание Ь, в некоторой внутренней точке Р' ф.

Р, Таким образом, если внутри основания Ь; пустой области Й; содержится точка из Е-', то существует другая пустая область Й„ содержащаяся внутри Й,. Множество пустых областей образует, очевидно, частично упорядоченное множество относительно операции включения. Рассмотрим в этом множестве некоторую максимальную цепь: Ясно. что ни внутри основания области Й„, являюшейся минимальным элементом этой цепи, ни внутри самой области Йио нет точек ломаной ьг Определение.

Пустая Й-область, внутренность (а значит, и внутренность основания) которой не содержит точек ломаной ь~, назовем строго пустой областью. Соответствуюшие основания будем называть пустыми. Итак, доказана следуюшал лемма. Лемма 4.1 Если множесхпво пустых Й-областей не пуспю, то среди них найдется строго пустая Й-обласп1ь.

В дальнейшем нам будет полезна следующая элементарная лемма, см. рис. 4,2. Лемма 4.2 Пупть И произвольный многоугольник, А и В любые его различные вер1аины, а 6 и Ь две ломаных, на которые точки А и В разбивают границу многоугольника И'. Тогда для некоторых измельчений Р и Ь' ломаных 7 и Ь существует деформац я ~', сохраняющая на месте точки А и В, переводящая Р в Ь' и так я, что все. ломаные Ц лежат в многоугольнике И'. Определим теперь элементарные деформации ломаной ь'-, образующей пустые области относительно Е~, Каждая элементарная деформация Ф будет состоять из двух шагов. Первый шаг Ф1 определяется так. Выберем одну из строго пустых областей, сушествуюших в силу 4.1. Плоские ломаные 1. 177 Рис.

4.2; Деформация ломаной 1 на измельчение ломаной Ь внутри многоугольника И'. леммы 4.1, и обозначим ее через Й,. Концевые точки соответствующей ломаной А~ разбивают границу области Й; на две ломаных, одна из которых является основанием 6; этой области, а вторая совпадает с Ь,. 2 Деформация (измельчения) ломаной 1,; на (измельчение ломаной) Ьб существующая в силу леммы 4.2, задает дсформапию всей ломаной Ез, и, так как Й; строго пуста, в результате этой деформации у ломанои 7, самопересечений не возникает. Итак, первый шаг Ф~ элементарной 2 деформации ломаной Ез состоит в вытеснении некоторой ее строго пустой области Й; на основание Ь;. Ломаную, полученную в результате описаннои деформации, обозначим через Ьз.

Перейдем к построению второго шага Фя элементарной деформации. Для этого в каждой вершине Ъ; построенного на первом шаге измельчения основания Ь; области Й; выберем единичный вектор е;, направленный в сторону, противоположную той, с которой к 6, примыкает Й,, Второй шаг Фя элементарной деформации состоит в следующем. Вершины ломаной 1 з, не являющиеся вершинами измельчения 6,, остаются на месте, а каждая вершина Ъ' измельчения движется с единичной скоростью вдоль воктора е,.

Очевидно, всегда можно сдвинуть вершины г' настолько мало, что не возникнет новых пересечений деформированной ломаной 1,з с 1.~, псрссеченио по 6, исчезнет, и не возникнет самопересечений у деформируемой ломаной 1.з. Итак, мы определили два шага элементарной деформации ломаной Ез, образующеи пустые области относительно А'. Последовательно применяя их, мы получим деформацию Ф ломаной 7з, которую будем называть элаиентарной.

Отметим, что злементарныс деформации не меняют направления концевых ребер ломаной 7, поскольку 2 элементы канонического разбиения ломаной т -', содержащие ее концевые ребра, не являются пустыми по определению. Даяее, из леммы 4.1 следует, что последовательными элементарными деформациями можно 178 Глава 4. Плоские локально минимальные деревья.

Характеристики

Список файлов диссертации