Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Тогда, в соответствие с формулои первой вариации длины сети (сьь предложение 1.10 главы 1), первая производная Глава 3. Локальная структура минимальных сетей. 140 длины деформируемой сильно локальной сети имеет вид; — 1Е,Я,) + 1 о,.ЦŠ— Е// = (Е, ~~ Х,). Е л=о 1<у Ф Утверждение 3.1 Пусть Ф: С вЂ” > И' сильно локально и'ани.вольная параметрическая сеть, и 11', —. сумма единичных векторов направлении невырожденных ребер, исходящих из подвижной вершины 1~, сети Ф. Тогда, для произвольной вершины Х приведенной сети Ф, сумма векторов до отвечающих всем вершинам сети Ф, соответствующим Х, равна нулю: лл(ц)=Х Пусть теперь задано произвольное разбиение множества подвижных вершин компоненты вырождения вершины Х приведенной соти Ф на два множества., которые мы обозначим через А и В.
Рассмотрим деформацию сети Ф, при которой все подвижные вершины из А движутся со скоростью Ел, а все подвижные вершины из В со скоростью Ен. В этом случае производная длины дефорлвируемой сильно локальной сети,в соответствие с формулой первой вариации, записываетсл так: — = (Ел, ~~' Х,) + (Ев; ~ и' ) + яЕл — Ев~я 2 щз'. Е=О ~' уел ы:,ев синел, ъ;ен Введем обозначения Хл= ~Х;, Дгв = ~ 1Уо олв = ~ оп, акен ш:цел, 1',ен и перспишел1 выражение для дс/де в следующем виде; (Ел, 1Ул) + 1Ен, Дсн'1 + ~ ~ Ел — Ев ~~ глн. Из утверждения 3.1 вытекает, что Мн = — 1чл, поэтому, окончательно, имеем: ~И вЂ” = 1Ел — Ен, Лл) + СЕл — Енйолп.
.=о Это выражение должно быть неотрицательным при произвольном зна- чении вектора Ел — Ьн, откуда вытекает справедливость следующего утверждения. Поскольку это выражение должно быть неотрицательным для любого вектора Е, имеет место следующее утверждение. 3.1. Параметрические сети. Ъ'тверждение 3.2 Пусть Ф: С вЂ” ~ И' -- сильно локально минимальная параметрическая сеть, и А 0 В -- произвольное разбиение множестава подвижных вершин некоторой се компоненты вырождения. Тогда, во введенных вьпае обозначен ях, имеют место следующие нсравенствш ~~Ха~~ < олн Рн~~ < олн. Можно было бы ожидать, что если нсравенства из утверждения 3.2 выполнены для произвольного рззбиенил множества подвиясных вершин каждой компоненты вырождения параметрической сети Ф, то сеть Ф будет сильно локально минимальной.
Однако это не так. Пример. Пусть С граф, имеющий шесть вершин Р„ье„1 = О, 1, 2, ребра вида РД, в количестве р штук для каждого 1, и ребра вида гас,) . в количестве д штук для каждой пары (г, 1), 1 < 11 Рассмотрим плоску.ю параметрическую сеть Ф: С вЂ” > Кз, параметризованную графом С с границей Д, заданной на множестве вершин 1Р;) и отображающей его на множество вершин правильного треугольника АвА1Ах, и пусть Ф отображает ребра ЦД в центр В этого треугольника, а ребра РЯ, - в отрезки А,В.
Несложно проверить, что если положить р = 2д — 1, то выполнено и равенство из утверждения 3.1, и неравенства из утверждения 3.2. Однако. построенная нами сеть нс является сильно локально минимаяьной при достаточно больших у. В самом деле, рассмотрим деформации> сети Ф, при которой вершина ( ~; движется вдоль отрезка А;В; в сторону А, с единичной скоростью. Тогда, очевидно, (Еп Х,) = — р, ~вЕ, — Ез)( = ъ'3, ом — — у. Поэтому, в силу формулы первой вариации, производная длины сети Ф в начальный момент времени имеет вид: — Зр+ ЗигЗд = Зд(ъ'3 — 2) + 3. Ясно, что Зу(Л вЂ” 2) + 3 < О при у > 2+ АЗ > 3, поэтому, начиная со случая у = 4, р = 7 построенная сеть Ф не является сильно локально минимаяьной.
Получим теперь достаточное условие сильной локальной минимальности параметрической сети Ф: С -+ И', Для этого следует разобраться с локальным устройством вершины соответствующей приведенной сети, т.е. понять как и в каком количестве могут стыковаться Глава 3.
Локальная структура минимальных сетей. 142 ребра сильно локально минимальной параметрической сети в точке Р = Ф(Г) многообразия И', где 1' --- произвольная подвижная вершина графа С, параметризующего приведенную сеть Ф, Обозначим через л некоторую вершину графа С, переходящую в Г при канонической проекции т: С -э С, и рассмотрим деформацию Ф, сети Ф, носитель которой содержится в параметризующем графе С;.м некоторой сильно локальной сети Ф~,„, сети Ф. Формула первой вариации в этом случае может быть записана в следующем виде (см, следствие 1.5 из главы Ц: с1с — = (Е. Л~ ) + 1~ (Е). ~=-о Напомним обозначения из главы 1.
Пусть и количество подвижных вершин сильно локальной сети Ф~( „т.е. количество подвижных вершин в приведенной компоненте, соответствующей вершине Г, и пусть и — - размерность объемлющего многообразия И'. Тогда вектор Е из пространства К"ь имеет вид (Ем..., Еь'1, где Е, Е К" Ть Иг вектор скорости 1-ой подвижной вершины Г сети Ф„*„, при деформации Фз при е = О. Далее, вектор Хк также принадлежит Кп~ и составлен из векторов Х; е Ки Т~ У~, г = 1,..., я, где вектор Х, равен сумме единичных касательных векторов невырожденных ребер, приходящих в воршину Г (если такие ребра есть).
Наконец, Кг (Е) это функция на пространстве К"ь,которая строится по сети Ф~„ так: Рк(Е) = ~ и;ДЕ, — Е ~~, где и; количество вырожденных ребер сети Ф;;,, соединяющих вершины 1, и По определению сильно локально минимальной сети., если сеть Ф сильно локально минимальна, то для каждой подвижной вершины Г соответствующей приведенной сети имеет место неравенство (Е,Хи'1+г (Е) > О. С другой стороны, если для каждой подвижной вершины Г геодезической сети Ф и для произвольного ненулевого вектора Е выполнены строгие неравенства (Е, Лг) + Р~ (Е) > О, то для любой деформации сильно локальной сети Ф,*м„первая производная функции длины положительна, поэтому такая деформация увеличивает длину, откуда вытекает сильная локальная минимальность параметрической сети Ф. 3.1.
Параметрические сети. 143 Рассмотрим функцию 1 = 1т (Е) на Кпь. Имеет место следующее утверждение. Ъ'тверждение 3.3 Функция 1г) Ймь — > Й выпукла ониз на протьран- стве К"~. Доказательство. Напомним, что функция б)» имеет вид: ~г(Е) = ~ Ъ[[Е; — Е)[[ »с) Поскольку линейная комбинация выпуклых вниз функций с положительными коэффициентами снова выпуклая вниз функция, см.
предложение 3.4, достаточно доказать следующую лемму. Лемма 3.1 Предположим, что на пространстве К»' фиксировано некоторое скалярное произведение (».). Пусть (х,у) пара точек из Е"»»)*,») = )*-»сь — »)», .д» скалярного произведения (ч ). Тогда функция р: (х,у)» — > р(х,у) выпукла на пространстве Бз".
Доказательство леммы. Рассмотрим пару произвольных точек Л) = (хыу~) и Хз = (хг»уз) из 1)1'", ипусть16 [0,1). Таккак 11з" выпукло, то, в силу предложения 3.3, достаточно показать,что Р((1 — г)х~ + без,(1 — г)У~ +еря) ~ (1 — 1)Р(хмр~) + 1Р(хя, Уз). В самом деле, пусть а» = у, — х„1 = 1, '2. Тогда» возведя обе части неравенства в квадрат и выразив соответствующие расстояния через скалярные произведения векторов аб получим: (1 — 1) [а~ [ +1 [аз[ +2(1 — 1)1(а) ) аэ) < (1 1) [ад [ +1 [аз [" +2(1 — 1)1[ад[[аз[, что верно в силу неравенства Коши — Буняковского — Шварца.
Лемма доказана. Итак,. функция 1 = Рт (Е) выпукла вниз на я)п)1 Далее, рт (ЛЕ) = [Л[К~ (Е), поэтому график этой функции представляет собои ~опус Си в пространстве 11"Я ~ с вершиной в начале координат О е )а"»т», Конус С)» лежит в верхнем пояупространстве 1 > О, симметричен относительно оси 01 и, по определению, ограничивает выпуклое подмножество ((х,1) й и"»т) [ 1 > 1г(х)) --- надграфик функции 1г.
Поэтому неравенство (Е» )»' ) + К~ (Е) > О дяя любого вектора Е е К"ь, Глава 3. Тональная структура минимальных сетей. 144 которое переписывается в виде ( — Хк, Š— О) < си(Е) — ь~ (О) для любого вектора Е Е Г'" эквивалентно тому, что гиперплоскость 1 = -(Е, тт~ ) в пространстве 2ГЯ+ является опорной в точке 0 к конусу Ск. При этом неравенство и ячы выполняется строго для всех ненулевых Е, если и только если эта ги- перплоскость пересекает конус Ск только по точке О, Таким образом, доказано следующее предложение, Предложение 3.10 Если сетаь Ф сально локально минимальна, то, для каждой иодшсисной вертанны т' ее приведенной сетпи, гиперплос: кость 1 = — (Е,Дти) является опорной в точке О для конуса Си в соотаветствуюьцем пространстве 1ячьч ', т.е.
вектор — Хь является субградиентом функции 1 = йг(Е) в точке 0' = (О,..., О) й ич", Есми для каждой тюдвижной веритны 1т приведенной сети Ф геодезической сети Ф гииерплоскость 1 = — (Е, Мг) является опорной в точке О для конуса Сг, иричем пересечение этой гиперплоскости с конусом Сг соппоит из единственной точки О, то сеть Ф является сильно локально минимальной. Переформулируем теперь требования предложения 3. 10 в более конструктивной форме. Для этого рассмотрим приведенную компоненту Са, соответствующую вершине 1т, и ориснтируем ес ребра так, чтобы все ребра, соединяющие одну и ту.
же пару вершин из С„имели одни и те же начало и конец. Каждую такую ориентацию будем называть правильной. Определим матрицу смежности правильно ориентированного графа С~а, положив сб равным по величине числу гб всех (вырожденных) ребер графа Саь, соединяющих вершины 1; и 1', и присвоив с; знак "плтос', ее хи и только если 1', начало всех ребер из С,, соединяющих 1'; и У'0 и знак "минус" в противном случае. Поставим в соответствие каждой неупорядоченной паре Я, 11) соседних вершин графа Св, переменную хб размерности и, а именно, х; = (х~,...,х",.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
