Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Однако, для такой сети утверждение дел~мы вытекает иэ предположения о том, что граница изучаемой сети не пуста. Глава 2. Минимальные сети. 124 Предложение 2.4 На множестве Т всех замкнутых следов на полном римановом многообразии И' функционал длины достигает минимума (нуля~ на произвольном точечном следе. Доказательство. Утверждение предложения немедленно вытекает из предложения 1.12 главы 1: любой след из множества Т можно непрерывно продеформировать в любои другой след из Т. Доказательство закончено. 2.4.6 Теорема существования Подведем итоги, сформулировав следующую общую теорему существо- вания.

Теорема 1 Пусть И' -- связное полное риманово,многообразие, и ЛХ . - некоторое фиксированное конечное множество точек из И', возможно пуслпое. Тогда ° в семействе Мо(тэ1 иараметрических сетией, фиксированного типа С с границей д: дС э ЛХ, возможно пустой; ° в семействе Мы(тэ',ьт) вэвеиэенных пораметирических сетей фиксированного типа С с положительной весовой функцией и границей,д: дС -+ ЛХ, возможно пустой, на котором задан функционал взвешенной длины; ° в семействе М (ХХ) параметпрических сетей гомотпопического типа ф: С э И' с непустой границей д: дС вЂ” т ЛХ; ° в семействе М(ЛХ) всех параметрических сетей с границей ЛХ, возможно ттустой; ° в семейстпве Т(ЛХ'1 сетей — следов с границей М, возможно пустпой, существует ибсомотно мннпмальнал сеть.

В тастности, в этих про- странствах существуют локально минимальные сетпи. Таким образом, на связном полном римановом многообразии, для 7 из 8 естественных классов сетей, перечисленных в таблице 2.1, а именно, для всех этих пространств, кроме семейства залпснутых параметрических сетей фиксированного гомотопического типа, доказаны теоремы существования глобачьно, а, значит, и локаяьно минимальных паралтетрических сетей и следов.

Кроме того, доказано существование параметрических сетей фиксированного типа с 2.4. Теоремы существования. 125 фиксированной границей, глобально и локкчьно минималь- ных относительно функционалов взвешенной длины. Глава 3 Локальная структура минимальных сетей Цель настоящей главы состоит в описании локаяьного устройства минимальных сетей каждого из рассмотренных в главе 2 типов. Каждая такая сеть состоит, очевидно, из отрезков геодезических — — иначе можно легко уменьшить ее (взвешенную) длину, продеформировав любое негеодезическое ребро.

Поэтому описать локальную структуру минимальных сетей это описать, как эти геодезические отрезки стыкуются в вершинах сети. Чтобы дать требуемое описание, мы воспользуемся формулой первой вариации геодезической сети (сы. предложение 1.10 главы Ц, а также следствием 1.7 главы 1 о неотрипательности второи производной функции длины погруженной параметрической геодезическои сети при геодезической деформации.

Затом, мы обобщим теоремы о локальной структуре локально минимальных параметрических сетей на случаи параметрических сетей, локътьно минимальных относительно функционалов взвешенной длины. В последнем разделе данной главы, мы используем полученные результаты о локальной структуре минимальных сетей при обсуждении вопросов локальной единственности минимальных сетей.

3.1 Локальная структура минимальных параметрических сетей Цель настоящего параграфа — изучение локальнои структуры мини- мальных параметрических сетей. 127 Глава 3. Локальная структура минимальных сетей. 128 3.1.1 Критерий локальной минимальности погруженных параметрических сетей Из формулы первой вариации длины геодезической сети легко получается описание локальной структуры минимальных параметрических сетей, являющихся погруженными.

Напомним, что для погруженных параметрических сетей понятия слабой и сильной локальной минимальности совпадают. Локальное устройство минимальных параметрических сетей общего вида мы опишем ниже. Предложение 3.1 Пусть Иг риманово многообразие, а Ф погрузкенная параметрическая сеть в И' с некоторой грььниией,З, возможно пустой. Тогда сеть Ф локально минимальна тогда и только тогда, когда все ее ребра геодезические, и, кроме того, сумма единичных векторов направлений ребер, исходли1их из каждой подвижной вершины сети Ф, равна нулю. Доказательство. Пу.сть сначала Ф погруженная локально минимальная параметрическая сеть с некоторой границей.

Тогда, как уже отмечалосьв все ребра сети Ф - суть отрезки геодезических. Далее, по определению, каждая подвижная вершина И сети Ф обладает такой локальной сетью Ф,„„что все достаточно малые деформации Ф,„,(е) этой локальнои сети, оставляющие на месте ее границу дФ„,, не уменьшают и длину локальной сети Ф1„= Ф~ььь(0).

Поэтому, функция й(е) длины локальной сети имеет минимум в начальный момент е = О. С другой стороны, в силу предложения 1.10 главы 1, функция с(г) диффсренпируема в начальный момент е = О. Отсюда вытекает, что производная функции с(е) при г = 0 существует и равна нулю для произвольной деформации Ф1~~,(е). Эта производная может быть вычислена с помощью того же предложения 1.10 главы 1. Она равна скалярному произведению вектора Е скорости движения подвижной вершины 1' при деформации Фь~ь(е) в начальны момент е = 0 и вектора Х, равного су.мме единичных векторов направлении ребер, исходящих из вершины 1'.

Поскольку вектор Е может быть любым, вектор Дь равен нулю, что и требовалось. Пусть теперь Ф произвольная погруженная параметрическая сеть с некоторой границей. Предположим, что Ф удовлетворяет условиям предложения. Снова рассмотрим произвольную подвижнук> вершину 1' сети Ф, некоторую ее локальную сеть Ф,, и произвольную деформацию ФУ,(е) этой локальной сети, постоянную на границе этой локальной сети. Тогда из предложения 1.10 главы 1 вытекает, что первая производная функции 1'(е) длины продеформированной локальной 3.1.

Параметрические сети. 129 сети Ф~г„равна нулю при е = О. Теперь перейдем к анализу второй производной функции 1(я). Поскольку все рассматриваемые деформации локальных сетей являются малыми, при проверке локальной минимальности сети Ф„достаточно рассматривать только геодезические деформации ее локальных сетей. В силу следствия 1.7 главы 1, каждая подвижная вершина 1з сети Ф имеет такую локальную сеть Фк и что при произвольной геодезической деформации Ф„',. 1л) этой локальной сети, сохраняющей ее границу к дФм,, или вторая производная функции длины гас) продеформированной сети Фг~,(е) положительна в начальный момент времени, или функция 1(е) постоянна. Поэтому, точка с = 0 является точкой локального минимума функции К1е), т.е, длина локальной сети Фг~, не увеличивается при произвольной геодезической деформации. Поэтому, погруженная параметрическая сеть Ф локально минимальна.

Предложение доказано. Пример. Пу.сть С граф с четырьмя вершинами Рш Р„Рз и Я и тремя ребрами РД,1 = О, 1, 2. Пусть Т =.4еАы4з -- треугольник на стандартной евклидовой плоскости мз, и пусть граничное отображение Д переводит Р, в .4;. Пусть Ф локально минимаяьная параметрическая сеть типа С, затягивающая вершины треугольника АаА~Аз по отображению В. Выясним, при каких условиях локально минимальная сеть Ф типа С, затягивающая вершины треугольника АаА~ Аз по отображению,З, существующая в силу теоремы 1, является погруженной, и определим, где расположена вершина Я сети Ф, соответствующая Я.

Заметим, что Ф погруженная если и только если о' не совпадает ни с одной из вершин треугольника Т. Предположим, что это так, и пусть и; --. единичный вектор, со направленный с ЯА, Тогда, по предложению 3.1, Легко проверить, что это условие равносильно равенству между собой углов А,ЯАм ы где сложение в индексах понимается по модулю 3. Поэтому все эти углы равны 120'.

Ниже мы покажем (даже в более общем случае), что такая точка Я существует тогда и только тогда, когда все углы треугольника Т меньше 120', при этом точка Я единственна и может быть найдена как точка пересечения так называемых линий Симпсона. В рассматриваемом случае (см. общее определение в главе 4) линия Симпсонщ соответствующая граничной вершине А,, определяется как отрезок, соединяющий точку А; с вершиной .4', правильного треугольника А; ы4;'Ам м построенного вне треугольника Т.

Легко проверить, что в сделанных предположениях три линии Сим- Глава 3. Локальная структура минимальных сетей. 130 псона пересекаются в единственной точке Ь', лежащей в треугольнике Т. Пример. Пу.сть теперь С дерево. состоящее из четырех ребер РЯ., стыкующихся в одной вершине сХ. Пусть ЛХ -- множество вершин строго выпуклого плоского чотырехугольника. Пусть Д граничное отобралкснис, персводяшее множество вершин Р, в точки из ЛХ. Тогда параметрическая сеть Ф типа С, след которой совпадает с объединением диагоналей четырехутольника ЛХ, является локально минимальной в пространстве ЛХп1Хг). Пример. Пусть теперь С дерево, состоящее из и ребер РД, стыкующихся в вершине ( >, Пусть ЛХ вЂ” - множество вершин строго выпуклого плоского и-угольника.

По теореме 1 существует локально минилгальная параметрическая сеть типа С, затягивающая ЛХ по граничному отображению Д, переводящему вершины Р, в точки из ЛХ. Легко понять, что эта сеть является погруженной, причем ее вершина Я, соответствующая вершине (,) дерева С, расположена внутри многоугольника ЛХ. Расположение этой точки однозначно (ель главу 5) определяется тем условием, что сумма единичных векторов, направленных из э' в вершины многоугольника ЛХ, равна нулю. Отметим, что в случае и > 5 точка Я не может быть построена с помощью циркуля и линейки ~30, 37). Пример. Пу.сть С граф с четырьмя вершинами Ре, Р„Рз и 1'„1, без циклических ребер, причем каждое ребро инцидентно вершине Я. Обозначим через р; количества ребер графа С, инцидентных Р,. Пусть Т = АеАгАз треутольник на стандартнои евклидовой плоскости Глз, и пусть граничное отображение Д переводит Р, в Аь Пусть Ф локально минимальная параметрическал сеть типа С, затягивающая вершины треугольника АеАгАз по отображению Д.

Выясним, при каких условиях локально минилгаяьная сеть Ф типа С, затягивающая вершины треугольника АеАгАз по отображению Д, существующая в силу теорелгы 1, является погруженной, и определим, где расположена вершина Я сети Ф, соответствующая Я. Заметим, что Ф погруженная если и только если Я не совпадает ни с одной из вершин треугольника Т. Предположим, что это так, и пусть п; единичный вектор, сонаправленный с ЯАл. Тогда, по предложенинл 3.

1, р,пл = О, и, в частности, существует треугольник гл, длины сторон которого равны ре, рг и рэ соответственно. Таким образом, условие выполнения 3.1. Параметрические сети. 131 неравенств треугольника для чисел р; является необходимым для того, чтобы точка Я не совпадала ни с одной из вершин треутольника Т.

Отметим, что точка Я не может лежать вне треугольника Т в силу положительности рм По этим же причинам точка Я не может лежать на стороне треугольника Т. Значит, точка Я лежит внутри Т. Пусть а, -- величина ушла треугольника Ь, лелсащего против стороны длины рь и пусть Д = я — а; . величина соответствующего внешнего угла треугольника Ь.

Характеристики

Список файлов диссертации