Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 120
Текст из файла (страница 120)
П уложение Е. ецибелы дБ идБм нет. Таким образом, децибел (дБ) является единицей измерения относительной разности уровней мощности двух сигналов, вычисляемой по формуле Разность мощнос2пей = 10 ° 1ой)О(Р~ /Р2) 42В . (Е-2) Логарифмическая функция 1О'!оя1 ф график которой приведен на рисунке Е.1, на первый взгляд не кажется полезной. Обратите внимание на большую скорость ее изменения при малых отношениях мощностей (Рг/Р2) и небольшие изменения при больших отношениях мощностей. В результате этой нелинейности при малых отношениях Р~ /Р2 разрешение по уровню оказывается выше, что дает нам возможность различать очень маленькие разности уровней мощности в спектрах сигналов, частотных характеристиках фильтров и спектрах окон.
-12 -14 -1Е Рис. Е.1. График логарифмической функции (Е-2) Продемонстрируем возможности переменного разрешения логарифмической функции. Во-первых, вспомним, что мощность любой последовательности в частотной области, представляющей амплитудный спектр )Х(т) ~, пропорциональна ~Х(т) ~2. Для удобства коэффициент пропорциональности предполагается равным единице, так что мы говорим, что мощность |Х(п2) ~ определяется в соответствии с Дискретпный спектр мощности Х(т) - ~Х(т) Г'.
(Е-3) Хотя (Е-3) на самом деле может не представлять мощность (в ваттах) в классическом смысле, здесь важна операция возведения в квадрат, поскольку она аналогична традиционной операции возведения амплитуды в квадрат, используемой для определения мощности непрерывных сигналов. (Конечно, если Х(п2) представляется комплексным числом, мы можем вычислить спектр мощности, используя соотношение )Х(т)!2 = Хг,„)(2п)2 + Х; (2п)2.) Умножение логарифма в (Е-3) на !О позволяет выразить спектр мощности Х~в(т) в децибелах: Х2в(т) = 10!од)о(~1(т))2) дБ.
(Е-4) Поскольку 1оя(х2) = 1ой(х) + 1оя(х) = 2 1оя(х), мы можем обойтись без операции возведения в квадрат в (Е-4), удвоив коэффициент перед логарифмом и переписав выражение в виде Е.1. Использоааниелога и моадляс аанениямо ностисигналоа 999 Х,(а(т) = 20 1ой)о(~Х(т)1) дБ. (Е-5) нормированный Х40(т) =10 ° 1од 1О(1Х(т) Г/ 1Х(0) Г) = = 20 ° 1оя 1О(1Х(т)1/ 1Х(0) 1) аВ . (Е-6) Деление на 1Х(0) г' или 1Х(0)) приводит к тому, что первый отсчет нормированной логарифмической последовательности Х(а(т) равен О дБ'. Благодаря этому мы можем легко сравнивать различные логарифмические графики спектров.
Для иллюстрации сказанного давайте посмотрим на спектры окна Хэннинга и треугольного окна. Амплитудные спектры этих окон в линейном масштабе приведены на рисунке Е-2 (а), где максимальные значения спектров мы произвольно приняли равными 2. Сравнивая две последовательности в линейном масштабе %н пп;пп (я) и %; п( „(т), мы можем видеть некоторые незначительные отличия их зйачений. Если нас интересует мощность, соответствующая двум этим функциям, мы можем возвести отсчеты амплитудного спектра в квадрат и построить графики мощности в линейном масштабе, как на рисунке Е.2 (Ъ).
Разность между двумя спектрами мощности на частотах выше т = 8 на рисунке Е.2 (Ъ) практически незаметна. В этом случае нам может помочь логарифмический масштаб. Если мы построим графики нормированных спектров мощности в логарифмическом масштабе, используя (Е-б), различие двух функций становится очевидным. Нормирование в случае окна Хэннинга сводится к вычислению последовательности, нормированной относительно 1%О „„; (0)), в соответствии с выражением %Н(т) =10 ° 1од (о('1%нппп;па(т) г/ ~1%н ь ~0)'г) = - 20 ° 1оК ш(1%нпптпа(т)~/ 1%напп1па(ОЙ аВ. (Е-7) Графики нормированных логарифмических последовательностей приведены на рисунке Е.2 (с).
Мы теперь можем видеть различия этих функций намного лучше, чем в линейном масштабе на рисунке Е.2 (Ъ). Заметьте, что благодаря нормированию максимальные значения обоих спектров на рисунке Е.2 (с) равны О дБ. (Точки на рисунке Е.2 соединены линиями, чтобы подчеркнуть форму боковых лепестков двух последовательностей.) Хотя мы показали полезность графиков в логарифмическом масштабе для окон, шкала дБ может использоваться с тем же успехом при построении графиков спектров мощности сигналов или частотных характеристик фильтров.
Мы можем продемонстрировать использование логарифмического масштаба на примере потому что 1оя1в(~((0)!/ 1х(0))) - 1оя1в(1) - О. Благодаря отсутствию возведения в квадрат (Е-5) является более удобным, чем (Е-4), при вычислении последовательности отсчетов логарифмического спектра мощности Х,~~(ш) по последовательности Х(т). Уравнения (Е-4) и (Е-5), таким образом, представляют собой выражения, используемые для преобразования линейного масштаба амплитуд в логарифмический масштаб мощности, измеряемой в дБ. Наиболее часто в литературе мы встречаем нормированные графики в логарифмическом масштабе, на которых каждый отсчет 1Х(т) Г разделен на мощность первого отсчета 1Х(0) г' (при т = 0), в соответствии с воо П иложениеБ.
ецнбелы дБндБм простого цифрового фильтра. Допустим, мы проектируем КИХ фильтр верхних частот с 1( ответвлениями, коэффициенты которого показаны на рисунке Е.З (а). (а) (Ь) -1О -го -зо -1О (с) -то 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Частота (в) Рис. Е.2. Спектры окон Хэннинга (белые квадратики) и треугольного (черные квадратики): (а) амплитудные спектры в линейном масштабе; (Ь) квадра- ты амплитудных спектров в линейном масштабе; (с) нормированные спектры мощности в логарифмическом масштабе в дБ 2.0 18 1.6 1.4 тг 1.О 08 О.О О.4 Ог о 0 2 4 4О З.О 32 28 г4 20 1.6 12 Оо 0.4 о 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Частота (т) 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Частота (т) Е. 1.
Ислользование лога и мов для с внения мощности сигналов Коэффициенты КИХ-фильтра Л(й) О.4 а О.г г 6 8 (а) а 1 а З 6 7 а 9 10 -Ог -ол и - -0.48 -О.о АЧХ КИХ-фииьтра т.г О.а (Ь) 0.4 0.2 0 2 4 6 8 10 !2 14 16 18 20 22 24 26 28 ЗО (ло -1О -20 (с) -ЗО -4О -6О О г 4 6 8 1О тг 14 16 18 2О 22 24 26 28 За Частота (лт) Рис.
Е.Э. АЧХ КИХ-фильтра: (а) коэффициенты КИХ-фильтра; (з) АЧХ в линейном масштабе; (с) АЧХ в логарифмическом масштабе в дБ Если центральный коэффициент Ь(5) равен — 0.48, график амплитудно-частотной характеристики фильтра (Н 6 48(т) ! может быть построен белыми точками на рисунке Е.З (Ъ). При замене )т(5)-значения — 0.48 значением -0.5 новая АЧХ )Н од(гл) ! будет иметь вид, показанный черными точками на рисунке Е.З (Ъ). В линейном масштабе трудно заметить разницу между ~Н а48(т)) и (Н 8 5(т) (. Если же мы используем (Е-6) для вычисления логарифмических АЧХ, они будут иметь вид, показанный на рисунке Е.З (с), где изменение боковых лепетсков фильтра при изменении Ц5) хорошо видны. 602 П иложениеЕ.
ецибелы дБи Бм Е.2. Некоторые полезные числа, связанные с децибелами Если читатель регулярно пользуется логарифмическим масштабом, ему полезно запомнить несколько констант. Разность мощностей в 3 дБ соответствует отношению мощностей, равному 2, в соответствии с (Е-2) Разность мощностей = 10 1о81о(2/1) - 10 ° 1оя1е(2) = 3.01 = 3 ИВ . (Е-8) Аналогично, если отношение мощностей компонентов составляет 1/2,то разность мощностей равна — 3 дБ, потому что Разность мощностей = 10 1о81е(1/2) - 10 ° 1о81е(05) = -3.01 = — 3 аВ. (Е-9) Таблица Е.1.
Некоторые полезные соотношения в дБ 10-1/2 10 ' -10 21 2-1/2 20 21/2 21 ° - Р, в четыре раза больше Р2 101/2 10 ° - Р, в десять раз больше Р2 Р/ в сто раз больше Р2 Р, в тысячу раз больше Р2 101 20 102 = 1000 103/2 30 В таблице Е.1 приведены некоторые часто используемые отношения мощностей с соответствующей разностью в дБ.
Помните, что децибелы показывают только относительное соотношение мощностей. Например, если нам говорят, что сигнал А на 6 дБ превышает сигнал В, мы знаем, что мощность сигнала А в четыре раза больше мощности сигнала В, а амплитуда сигнала А в два раза больше амплитуды сигнала В.
Мы можем не знать абсолютных мощностей сигналов А и В в ваттах, но мы знаем, что РА/Рв - 4. Отношение Отношение Примерная амплитуд мощностей разность (Р1/Р2) уровней вдв 2 2=1/4 2-1 = 1/2 20 — 1 21=2 22-4 101=10 102 = 100 ° - Р, равна одной десятой Р2 Р, равна одной четвертой Р2 Р, равна половине Р2 Р, равна Р2 Р1 а два раза больше Р2 Е.3. Задание абсолютной мощности в децибелах 603 Е.З.
Задание абсолютной мощности в децибелах Обсудим другой способ использования децибелов, который читатель может встретить в литературе. Специалисты по электронным системам связи находят удобным измерять уровень мощности непрерывных сигналов по отношению к некоторому заданному значению абсолютной мощности. В этом случае они получают возможность говорить об уровне абсолютной мощности в ваттах, используя в то же время преимущества логарифмического масштаба. Наиболее часто используется опорный уровень, равный одному милливатту. Например, если Р2 в (Е-2) представляет собой опорный уровень в один милливатт, то Абсолютнал мощность Р~ - 10 ° 1оя 1о(Рт / Р~) = = 10 ° 1он 1~ЯРт в ваттах/1 милливатт) дБм .
(Е-10) Единица измерения дБм в (Е-10) читается как «дБ относительно одного милливатта». Следовательно, если для некоторого непрерывного сигнала известно, что его мощность равна 3 дБм, то мы знаем, что абсолютная мощность этого сигнала в 2 раза превышает один милливатт, или равна 2 милливаттам. Аналогично, сигнал уровня — 10 дБм имеет обсолютную мощность 0.1 милливатт'. Читателю следует быть внимательным, чтобы не смешивать использование дБ и дБм. Они обозначают очень разные понятия. Повторим, что дБ представляют собой относительный уровень, а дБм представляет собой абсолютную мощность в милли ваттах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
