Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 116
Текст из файла (страница 116)
1988. 76. Апа|о8 Реч|сея, 1пс., «80 МБРБ, 1)па|-СЬаппе! ЖСРМА Кесе!че Б!8па1 Ргосеязог (КБР) А1)6634», Вайа БЬеей Кеч. О, 2002, рр. 28-34. 77. Тпгпег, С. «Кеспгз!че 1)!зсгейе-Типе Яппзо!с|а! Ояс|11айогя», 1ЕЕЕ5|дпа1ртосеяяпд Мадам!пе, Уо1. 20, Хо. 3, Мау 2003, рр. 103-111. 78. Ра|11агс|, В. апс! Вопс|геап, А. «Раяй, Сопй!ппопз, Б!перваче Сепегайог», ЯоЬа!05Р Оп-!!пе Мадаг!пе, 1)ес. 2003. Приложение А Арифметика комплексных чисел Чтобы понять цифровую обработку сигналов, мы должны освоить использование комплексных чисел.
Первый шаг к этой цели — изучение арифметических операций над комплексными числами. К счастью, эта задача облегчается тем, что при этом мы можем использовать наши знания о действительных числах. Физический смысл комплексных чисел обсуждался в главе 8, здесь же мы сосредоточимся на правилах выполнения арифметических операций над ними. А.1. Графическое представление действительных и комплексных чисел Начнем с действительных (вещественных) чисел, которые представляют собой те положительные или отрицательные числа, к которым мы привыкли в повседневной жизни. Примерами действительных чисел являются 0.3, — 2.2, 5.1 и т.д. Имея это ввиду, мы видим, что действительное число можно представить как точку на одномерной оси, которую называют действительной осью, как показано на рисунке А.1. Мы в самом деле можем говорить о взаимно-однозначном соответствии всех действительных чисел всем точкам действительной оси.
Зта тачка представляет двйствитальисв числа -2.2 . -7 -6 -6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 6 7 Действительнал ось Рис. А.1. Представлениедействительного числа в виде точки на одномернойдействительной оси. Комплексное число, в отличие от действительного, имеет две части: действительную и мнимую. Точно так же, как действительное число можно рассматривать как точку на одномерной действительной оси, комплексное число можно рассматривать как точку на комплексной плоскости, как показано на рисунке А.2. 574 П уложение А.
Я и метика коиплекснык чисел Мы будем использовать это геометрическое представление, чтобы облегчить понимание арифметики комплексных чисел'. ке представляет опчяспо С = Ле!! Действительная ось Рис. А.2. Представление комплексного числа С = Я+11 в виде фавора на комплекс- ной плоскости А.2. Арифметическое представление комплексных чисел В литературе комплексное число С представляется разными способами: Алгебраическая форма: С = Л +71, (А-1) Тригонометрическая форма: С = М(соз(ф) + гтйп(ф)1, (А-1') Экспоненциальная форма: С= МеФ, (А-1") Модуль и аргумент: С-Мг' ф.
(А-1"') Формулы (А-1") и (А-1"') напоминают нам о том, что комплексное число С можно также рассматривать как координаты на комплексной плоскости фавора длиной М, направленного под углом ф градусов к положительной полуоси действительной оси, как показано на рисунке А.2. (Мы будем избегать называть фавор М вектором, потому что термин вектор имеет разный смысл в разных контекстах. В линейной алгебре вектор представляет собой термин, используемый для обозначения одномерной матрицы. С другой стороны, в механике и теории поля векторы используются для обозначения величины и направления, но существуют операции над векторами (скалярное, или точечное, произведение и вектлорное произведение), которые неприменимы к нашему определению фавора.) Соотношения между переменными на этом рисунке соответствуют стандартной тригонометрии прямоугольного треугольника.
Помните, что С вЂ” комплексное число, а переменные )с, 1, М и ф — действительные числа. Длина, или модуль, С равна М= 1С!=тЯ~+Р, (А-2) и, по определению, фазовый угол, или аргумент, С представляет собой арктангенотношения 1/Я, или ф = 1ап 1(1/Я). (А-3) ! Представление комплексных чисел на комплексной плоскости иногда называют двагграммой Арганла в честь французского математика Жана Робера Арганда (в другой транскрипции — Аргана) (1768-1825). А.2. и метическое п дставление комплексных чисел Величина (э в (А-3) может иметь размерность градусов или радиан.
Конечно, мы можем преобразовывать градусы в радианы и обратно, зная, что л радиан равны 180'. Таким образом, если ф„измеряется в радианах, а ф,( — в градусах, то мы можем преобразовать ф„в градусы с помощью выражения (А-4) ф,(= 180(э,/л. Аналогично, следующее выражение поможет нам преобразовать ф(в радианы фт=лф,(/180. (А-5) Экспоненциальная форма комплексных чисел обладает интересным свойством, о котором нам нужно знать. В то время как алгебраическая форма однозначно определяет комплексное число, в экспоненциальной форме последнее может быть представлено бесконечным количеством способов; т.
е. комплексное число С, представленное в экспоненциальной форме как С - МеФ, может быть также представлено выражением С =Ме'т =Ме1(т+~кл), (А-6) где и = +1, +2, +3, ..., аф измеряется в радианах. Когда ф измеряется в градусах, (А-6) приобретает вид (А-7) С = МеФ = Ме1(Ф+ "Убс') Формулы (А-6) и (А-7) почти не требуют пояснений. Они показывают, что точка, на которую указывает конец фазора С, остается неподвижной при повороте фазора на угол, кратный 2л радиан или 360'. Так, например, если С = МеРС; то (А-8) Переменная ф, угол фазора на рисунке А.2, не обязательно должна быть константой.
Мы часто будем встречать комплексные синусоиды в форме (А-9) С = Ме)и~. С = Ме — л к (А-9') описывает фазор длиной М, вращающийся по ходу часовой стрелки вокруг нача- ла координат комплексной плоскости с отрицательной угловой частотой — в. Выражение (А-9) представляет фазор длиной М, угол которого на рисунке А.2 линейно возрастает со временем со скоростью и радиан в секунду. Если в = 2л, фазор, описываемый выражением (А-9), вращается в направлении, противоположном ходу часовой стрелки, со скоростью 2л радиан в секунду — один оборот в секунду — и поэтому в называют угловой, или круговой, частотой.
В общем случае фазор (А-9) вращается в направлении, противоположном ходу часовой стрелки, со скоростью и = 2л1 радиан в секунду, где 1 — частота в периодах в секунду (Гц). Если частота 1' = 10 Гц, то фазор вращается со скоростью 20л радиан в секунду. Аналогично, выражение П уложение А. А и метика комплексных чисел А.З. Арифметические операции над комплексными числами А.3.1. Сложение и вычитание комплексных чисел Ст+ С2 = Кт+11т+ Кт+11~ =Кт+ Кт+1(1т+12) (А-10) На рисунке А.З приведено графическое изображение суммы двух комплексных чисел в форме фазоров. Фавор суммы Ст + С на рисунке А.З (а) представляет собой новый фавор, соединяющий начала фавора Ст и конец фавора С~ на рисунке А.З (Ц.
Напомним, что К и 1 могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Вычитание комплексных чисел также не вызывает сложностей, т.к. сводится к вычислению разности действительных частей и разности мнимых частей. Таким образом Ст — С2- (Кт +11т) — (Кз+112) = Кт — К2+1(1т — 12) (А-11) Пример сложения комплексных чисел приведен в разделе 11.3, где мы рассматривали вопрос усреднения выходов быстрого преобразования Фурье.
ствительнея Ось ительнвя (а) (Ь) Рис. А.З. Геометрическое представление суммы двух комплексных чисел А.3.2. Умножение комплексных чисел Для умножения двух комплексных чисел мы можем использовать алгебраиче скую форму: С~С2 = (К~+11т)(Кг +112) = (Кто — 1т12) +1(КтЬ+ Кг1т) (А-т2) Какая из приведенных в (А-1) форм представления С лучше7 Это зависит от того, какую арифметическую операцию мы хотим выполнить. Например, если мы складываем два комплексных числа, то проще всего использовать алгебраическую фоРмУ в (А-1).
Сложение двУх комплексных чисел, Ст = Кт +11т и С2 = К2+11з сводится к сложению их действительных и мнимых частей А.З. А и метические опе ации над комплексными числами 577 Но если мы представим сомножители в экспоненциальной форме, то умножение выполняется проще СгС~ = МгегФ~ М2егФг = МгМ2еу(Ф~+Фг), (А-13) (А-14) ИС = НК+17) = ИК+1И, или в экспоненциальной форме 1гС = Й(МегФ) = IгМегФ, (А-15) А.З.З. Комплексно-сопряженные числа Комплексное число, сопряженное данному, получается в результате инверсии знака мнимой части исходного комплексного числа. Так, если мы обозначим число, сопряженное комплексному числу С =В +11 = МегФ, как С, то мы можем записать С" = Я вЂ” 11 = Ме гФ (А-16) Комплексно-сопряженные числа обладают двумя полезными свойствами. Во-первых, сопряженное произведению есть произведение сопряженных сомножителям.
Если С = СгСг, то из (А-13) следует, что С = (СгСг)" = (МгМ2еу(Фг+Фг))*= МгМге 1(Ф~+Фгй= = Мге гФ~Мг е гФг = Сг "Сг'. (А-17) Во-вторых, произведение комплексного числа на сопряженное ему комплексное число равно квадрату модуля этого числа. Это легко показать в экспоненциальной форме как СС" =МегФ ' Ме гФ = Мгега = М2. (А-18) (Это свойство часто используют в цифровой обработке сигналов для вычисления относительной мощности комплексного синусоидального фавора вида Мегг"() А.З.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
