Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 118
Текст из файла (страница 118)
(В-7) И, наконец, члены выражения (В-2) в форме (В-6) равны р = О, а = 1 и г е 12км/и .' Так что их подстановка из (В-2) в (В-6) дает Г4 — Г ~~~ е )2лкт/зГ = 1 (е /2л~~/Н вЂ” е 12лмН/ж)/(1 — е /ачм/Ж) = к=а = (1 — е 12лм)/(1 — е Ркм/и), (В-8) чем доказывается справедливость (В-2). ! Согласно математическому тождеству а*к = (а*)к мы можем сказать, что е Р""м и = (е ~2"~'н)", так что г= е 12к~~Н. п 0 1 2 3 4 П иложениеВ. С ммагеомег ическойл ог ессии пгв ж2е3в 2 ° За=2 2 ° 3'=6 2еЗз=18 2'За=54 2 ° 3~=162 Сумма этого столбца равна П иложеннеС.Инве сняв емении ПФ последовательность отсчетов ДПФ Х"(т) представляет собой последовательность отсчетов ДПФ Х(т), отсчеты которой взяты в обратном порядке.
х(0) х(0) х(З) х(з) (ь) (а) Рис. С.1. Циклические представления периодических последовательностей: (а) ис- ходная последовательность«(п); (Ь) циклическая инверсия времени х(п) Продемонстрируем (С-З) на примере. Если последовательность Х(т) представляет ДПФ х(л), мы можем записать ее отсчет с индексом т = 4, Х(4), как Х(4) = (О) -12лО/Б+ х(1),-12л4/6 + х(2)е-12лб/б + + х(3)е — 12™2/6 + х(4)е — 12л16/6 + х(5)е — Увл20/б (С 4) Поскольку период последовательности е 12лх/6 равен 6, мы можем записать (С-4) как Х(4) «(0)е-12тО/б+ х(1)е — 12л4/6 + х(2)е — 12л2/б + + х(3)е-12лО/б + х(4)е — 12л4/б + х(5)е 12л2/6, (С-5) Теперь запишем отсчет с индексом т = 4 последовательности Х,(т) (для инвертированной во времени последовательности) как Хх(4) = х(0)е 12лО/6+ х(5)е 12л4/б + х(4)е /алб/6 + + «(у)е-12л12/6 + х(2)е-12л16/б + х(1)е-12л20/6 (С-6) или Хх(4) - х(0)е — /алО/б+ х(5)е — 12л4/6 + х(4)е-12 2/б + + х(3)е 12лО/6 + х(2)е 12л4/б + х(1)е 12л2/б.
(С-7) Заменив отрицательные углы в Х,(4) их положительными эквивалентами, мы получаем Х (4) = х(0)е/2лО/б+ х(5)012л2/б + «(4)012л4/б + + х(У)е/алО/6 + х(2)012л2/6 + х(1)012л4/б (С-8) что представляет собой выражение, сопряженное выражению (С-5), и показывает, что Х(т) и Х,(т) являются комплексно-сопряженными. 687 П иложениеС. Инве сняв емении ПФ Другой вариант инверсии времени, который мы будем называть линейной инверсией времени, состоит в простом изменении порядка следования отсчетов х(л) из (С-1) на обратный, в результате че- о получаем последовательность х,(п) х,(и) = х(5), х(4), х(3), х(2), х(1), х(0), (С-9) где индекс 5 обозначает линейную инверсию.
Для действительной Ж-точечной временной последовательности ДПФ х,(л) имеет вид Х (1в) Х+(гл)е — 12»т(н — 1)/и (С-10) Мы можем продемонстрировать справедливость (С-10) так же, как мы это делали для (С-З), но рассматривая рисунок С.2. На нем мы показываем инверсию времени периодической последовательности х(п), отмечая как 6-точечную последовательность х,(л), так и 6-точечную последовательность х,(а). Обратите внимание на то, что х (и) сдвинута во времени на 5 отсчетов назад по сравнению с х,(л). — — х,(п) — —.~ х(1), х(0), х(5), х(4), х(З), х(2), х(1), х(0), х(5), х(4), х(3), х(2), х(1), х(0),, )4 — — х,(п) — х) Рис.
С.2. Периодические последовательности х (и) и х (л) Используя теорему о сдвиге из раздела 3.6, мы можем сказать, что последовательность отсчетов ДПФ Х,(т) равна последовательности Х,(т), умноженной на фазовый множитель с линейной фазой е 21»тЮ15 для нашего примера с Ж = 6. Итак, в случае Ж-точечной последовательности общего вида Х (т) = Х (т)е 22 «(Р-1УР = Х"(т)е 12» ~(х1-1Ух1 (С-11) что подтверждает (С-10).
Приложение Р Среднее, дисперсия и стандартное отклонение При изучении цифровой обработки сигналов мы часто вынуждены рассматривать случайные функции. Они описывают шумовые сигналы, которые мы не можем описать явно с помощью уравнений во временной области.
Эти функции, однако, можно описать количественно с использованием статистических понятий среднего, дисперсии и стандартного отклонения. Хотя мы здесь только слегка касаемся обширной и важной области статистики, мы расскажем, почему, как и когда следует использовать эти статистические параметры, чтобы включить их в наш арсенал средств анализа сигналов.
Сначала мы определим, как вычисляются эти значения для набора дискретных отсчетов, рассмотрим пример с непрерывной аналитической функцией и завершим это приложение обсуждением функций плотности вероятности нескольких случайных величин, которые часто встречаются в цифровой обработке сигналов. Итак, продолжим, погрузившись в холодные воды математической статистики, чтобы получить некоторые определения. 0.1. Статистические параметры Рассмотрим непрерывную синусоиду частотой~, Гц, амплитуда которой равна Ар, описываемую выражением х(г)-А а(п(2яХо г). (Р-1) Выражение (Р-1) полностью описывает х(Г), т.е.
мы можем определить точное значение х(г) в любой заданный момент времени. Например, когда с - 1/4~„мы знаем, что х(г) принимает значение А, а в более поздний момент времени г - 1/2~, синусоида х(Г) принимает нулевое зйачение. С другой стороны, у нас нет определенного способа выразить последовательные значения случайной функции или случайного шума'. Не существует соотношения, подобного (1)-1),.которое позволило бы предсказывать значения шума. (Поэтому его и называют случайным.) ! Мы определяем случайный щум как нежелательные, непредсказуемые возмущения, искажающие интересующий нас сигнал нлн последовательность данных. 5ЭО П иложвние О. С вднее, диспе сия истанда гное отклонение Специалисты по статистике, однако, разработали мощные математические средства для описания свойств случайных функций.
Наиболее важные из этих свойств получили названия среднее, дисперсия и стандартное отклонение. Математически среднее, или математическое ожидание, Х отдельных значений последовательности х, обозначенное как х, определяется следующим образом [1] М х, = (1/Х) ~> х(п) = [х(1) + х(2) + х(3) + ... +х(Х)[/Х. (1)-2) и-1 Соотношение (Г)-2), уже известное большинству читателей, показывает, что среднее последовательности Х чисел вычисляется как сумма этих чисел, деленная на Х. Графически среднее можно изобразить как значение, вокруг которого концентрируются значения отсчетов данных, как показано на рисунке 0.1.
Если восемь значений, показанных на рисунке Р,1 точками, представляют результат измерения некоторой величины, и мы подставим эти значения в (1)-2), то получим среднее, равное 5.17, как показано широкой серой линией. х(п1 60 х, -" 5лт 5,5 5.0 ° 4.0 3.5 1 2 3 4 5 6 7 8 Рис. 0.1. Среднее последовательности из восьми отсчетов Теперь, когда мы определили среднее, следующим важным параметром является дисперсия последовательности, а2, определяемая как п2 = (1/Х) ~~> [х(п) — х [2 = и=1 - [[х(1) — х„~]2+ [х(2) — х [2+ [х(3) — х [2+ + + [х(Х) хазе[ )/Х (1)-3) Иногда в литературе мы можем встретитыт2, в определении которой перед суммой используется множитель 1/(Х вЂ” 1) вместо 1/Х в (Г)-3).
Имеются тонкие статистические причины, по которым иногда множитель 1/(Х-1) дает более точный результат [2[. Однако когда Х превышает, скажем, 20, как во всех интересующих нас случаях, разность между этими двумя множителями не имеет практического значения. Дисперсия представляет собой важное понятие, потому что она дает средство измерения, которое мы используем, например, для измерения влияния ошибок квантования или эффективности алгоритмов усреднения сигналов. Она позволяет 0.1.
Статистические па амет ы оз = (1/Ж) ), [Ь(п))з, 0=1 (Р-4) где б(п) — з(п) — ха,е . Читатель может спросить, почему суммируются квадраты разностей, а не сами разности. Если мы будем суммировать просто разности, отдельные отрицательные Л(п) компенсируют отдельные положительные Л(п), что даст очень маленькую сумму. Например, если мы сложим разности Л(п), соответствующие рисунку Р.2, положительные разности Л(6) и Л(7) и отрицательная разность Ь(3) практически уничтожат друг друга, чего мы не должны допустить. Поскольку нам необходима беззнаковая мера каждой разности, мы используем квадраты разностей, как в (Р-4).
При этом отдельные разности Л(п) вносят свой вклад в общее значение дисперсии независимо от их знака. Подстановка значений Л(п) из примера, приведенного на рисунке Р.2, в (Р-4) дает нам значение дисперсии 0.34. Другой полезной характеристикой последовательности данных является квадратный корень из дисперсии, известный как стандартное отклонение о, (Р-5) и 1 х(п) о.о ко 4.0 зл 1 2 3 4 5 6 7 8 Рис. 0.2.
Значения разностей А(п) последовательности, показанной на рисунке 0.1 нам представить, кзк значения отсчетов последовательности флуктуируют относительно среднего значения и дает нам хорошо определенную численную меру величины этих флуктуаций. (Поскольку положительный квадратный корень из дисперсии, стандартное отклонение, в литературе обычно обозначается'како, мы будем использовать для дисперсии обычное обозначение оз.) Формула (Р-3) может несколько озадачить, если вы не видели ее раньше.
Ее смысл становится понятным при внимательном рассмотрении. Значение х(1) — х„в квадратных скобках, например, есть разность значения х(1) и среднего значения последовательности х . Для любого значения отсчета последовательности х(п) разность х(п) — х „, ко™торую мы обозначаем как Л(п), может быть либо положительной, либо отрицательной, как показано на рисунке 0.2. В частности, Л(1), Л(2), А(3) и Л(8) отрицательны, потому что соответствующие отсчеты последовательности меньше среднего значения, показанного широкой серой линией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
