Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Если мы заменим разности х(п) — х„в (П-3) обозначением Л(п), то дисперсию можно записать как 592 П иложение0. С еднее,диспе сияистанда тноеотклонение Итак, мы имеем три числовые характеристики последовательностей: среднее алг„, дисперсию о э и стандартное отклонение о. При этом хаче показывает постоянный уровень, относительно которого колеблются отдельные отсчеты последовательности, о з является мерой размаха этих колебаний. Если последовательность представляет собой набор отсчетов случайного сигнала, мы можем сказать, что сслг определяет среднее значение, или постоянную составляющую, сигнала.
Дисперсия с ~ представляет собой мощность переменной составляющей сигнала. Соответственно, стандартное отклонение характеризует амплитуду переменной составляющей сигнала. 0.2. Стандартное отклонение или СКЗ непрерывного синусоидального сигнала Для синусоидальных сигналов инженеры-электротехники взяли квадратный корень из (Р-3) при х „,=О и определили полезный параметр, который называется среднеквадратическим значением (СКЗ), который равен стандартному отклонению. Для дискретных сигналов этот параметр, хскз, определяется как (Р-6) Значение хСКЗ в (Р-6) получено в результате подстановки х =О в (Р-5) и является квадратным корнем из среднего квадрата последовательности х(п).
Для пепрерывнойсинусоидых(г)=А з1п(2луг) =А яп(шг),среднеезначениекоторой равно нулю, СКЗ хс~~~„„имеет вид: хскзиэ =Ад/ ч' 2 (Р-?) 0.3. С еднее идиспе сия сл айных нкций при расчете средней рассеиваемой мощности элементов схемы это выражение использовать гораздо проще, чем брать интеграл от более сложных выражений для мгновенной мощности. Дисперсия синусоидального сигнала, конечно же, равна квадрату (0-7), или А з/2. Мы получили выражения для среднего и дисперсии последовательности дискретных значений, ввели выражение для стандартного отклонения, или СКЗ, последовательности, и вывели выражение для стандартного отклонения непрерывной синусоиды. Здесь возникает следующий вопрос: «Как вычислять параметры случайных последовательностей, для вычисления отсчетов которых аналитические выражения отсутствуют, и отсчетов которых у нас нет?» Ответ на этот вопрос выглядит так: мы должны использовать функции плотности вероятности.
0.3. Среднее и дисперсия случайных функций Чтобы определить среднее или дисперсию случайной функции, мы используем нечто, известное под названием функция плотности вероятности (ФПВ). ФПВ представляет собой меру правдоподобия появления некоторого значения функции. Мы можем объяснить это понятие на простых примерах подбрасывания монеты или бросания игральной кости, как показано на рисунках 0.3 (а) и 1).3 (Ь). Результатом подбрасывания монеты может быть только один из двух вариантов: орел или решка. На рисунке П.З (а) показана соответствующая ФПВ, а также то, что вероятность (правдоподобие) равна одной второй как для орла, так и для решки.
Это значит, что мы имеем равные шансы получить орел или решку. Сумма этих двух вероятностей равна единице, т. е. вероятность того, что выпадет орел или решка, равна единице. ФПВсуммы Фпв ФПВ с учетом 4О6 2 2 4 6 6 т 6 610\112суааапе Пинай костей ,«Е ва, Порядок попов Сторона ОРЮП Ре» а Мсяатм по о поен оо еа» а и о паап (с) (ь) (а) Рис. 0.3. Простые функции плотности вероятности: (а) выпадения монеты; (Ь) вероятность получения заданной суммы на гранях двух костей; (с) вероятность наличия у девочки сестры На рисунке ().3 (Ь) показана вероятность получения заданной суммы граней на двух игральных костях. Эта функция вероятности неравномерна, поскольку, например, для получения суммы, равной семи, имеется в шесть раз больше возможностей, чем для получения суммы, равной двум. Мы можем сказать, что после многократного бросания костей мы ожидаем, что бут36 = 16.7 % всех результатов П уложение О.
С нее, диспе сия и стенда тное отклонение Значения ФПВ никогда не бывают отрнцательнымн: - РЯ ~ О, (Р-8) ы 1 рЯд/= 1 (Р-8') — ОР Сумма всех значений ФПВ равна единице:- В разделе Р.1 мы показали, как вычисляются оценки среднего (математического ожидания) и дисперсии для дискретных отсчетов. Мы можем также вычислить эти статистические параметры для случайной функции, если мы знаем ФПВ этой функции. Среднее случайной функции/, рр по определению равно (П-9) а дисперсия/определяется как 13]: ОО с2 ~(/ р/)2 ° риф = 00 =.г/2 рЯ4-и/2. — СО (Р-10) В цифровой обработке сигналов мы будем встречать непрерывные функции плотности вероятности, значения которых постоянны, подобные примерам, показанным на рисунке Р.З. В таких случаях для определения среднего и дисперсии будут равны семи, а в 1/36 = 2.8 % результатов мы будем иметь сумму два. Сумма одиннадцати возможных значений вероятности на рисунке П.З (Ь) равна единице, и ето говорит нам о том„что эта ФПВ учитывает все (100%) возможных исходов бросания костей.
На рисунке Р.З (с) интересным образом подчеркнут тот факт, что ФПВ должна учитывать все возможные результаты. Допустим, женщина говорит: «Из двух моих детей один ребенок — девочка. Какова вероятность того, что у нее есть сестрау» Здесь будьте внимательны — как ни странно, 0.5 — неверный ответ на этот вопрос. Следует рассмотреть больше возможностей, чем просто наличие у девочки брата или сестры. Мы должны подумать обо всех возможных вариантах порядка рождения двух детей, один из которых — девочка. Поскольку мы не знаем, какого пола первый рожденный ребенок, существую три возможных порядка рождения детей: девочка, потом мальчик; мальчик, потом девочка и девочка, потом еще девочка, как показано на рисунке Р.З (с).
Следовательно, вероятность того, что дочка имеет сестру, равна 1/3, а не 1/2! (Поверьте этому) И снова сумма трех вероятностей по 1/3 равна единице. Примеры на рисунке 1).3 иллюстрируют две важные особенности ФПВ: ФПВ всегда положительны, и площадь под ними должна быть равна единице. Понятие ФПВ делает их мерой правдоподобия появления того или иного события, и если некоторое событие должно наступить непременно, то это эквивалентно высказыванию, что существует единичная вероятность (100 %) его наступления. Для непрерывной функции плотности вероятности р(~) мы записываем эти свойства как О.Э. С еднееидиспе сиясл айных кций легко воспользоваться выражениями (1)-9) и (1)-10). На рисунке ПА показана равномерная непрерывная ФПВ, описывающая случайную функцию, значения которой с равными вероятностями принимают значения в диапазоне от — а до Ь.
Из (П-8) мы знаем, что площадь под кривой ФПВ должна быть равна единице (т. е. вероятность того, что значение случайной величины попадет куда-нибудь под эту кривую, составляет 100 %). Следовательно, максимальное значение рЯ должно быть равно площади, деленной на ширину, или рЯ - 1/(Ь + а). Согласно (1)-9) среднее для этой ФП В рЯ равно ОО ОО и/- ]/ ° рЯЯ=] / ° [1/(Ь+а)'4=, Ь Ь - [ 1/(Ь +а)]] / ф - [ 1/(Ь +а)] [/з/2~ = (У вЂ” аз)/[2(Ь + а)] = — а = (Ь + а) (Ь вЂ” а)/[2(Ь + а)] = (Ь вЂ” а)/2, (Х)-11) что в данном случае совпадает со средней точкой интервала от — а до Ь.
Дисперсия ФПВ, приведенной на рисунке РА, имеет вид и в - ]/~ ° рффи —,и ~ - ~ / ~' [1/(Ь + а)] ф — (Ь вЂ” а) /4 = ф -й - [1/(ь + а)] ° [1з/3] — (ь — а)з/4 - (1/[у(ь + а)]]'(ьт ~- аз) — (ь — а)з/4 - (Ь + а)(Ьз — аЬ + аз)/[у(Ь + а)] — (Ьз — 2аЬ + аз)/4- = (Ьз + 2аЬ + а~)/12 = (Ь + а)з/12 . (Р-12) Непрерывная р(0 1 1 Г-а) Ь+ а -а О Ь Рис. м.4. Непрерывная равномерная функция плотности вероятности Мы используем результаты (1)-11) и (1)-12) в главе 12 для анализа ошибок квантования АЦП и эффектов конечной длины слова аппаратурных регистров.
П уложение О. С ее, дисле сия и стенда гное отклонение 0.4. Нормальная функция плотности вероятности Одна функция плотности вероятности, которая так часто встречается в природе, заслуживает нашего внимания. Эта функция так широко распространена, что ее назвали нормальной функцией плотности вероятности . Эта функция, форма которой показана на рисунке 1г.5, имеет такое большое значение, потому что данные с таким распределением вероятностей очень полезны при тестировании программных алгоритмов и аппаратурных процессоров. Нормальная ФПВ имеет вид р(х) = 11/(ойж)~е (х )~/2о~ (0-13) ьь -гь х х ь х х,„, -о хае +ю — — ев га†гь ггъ х~~ -Зь х, +з Рис. 0.5. Нормальная ФПВ,имеющая среднее к и стандартное отклонение о Библиография 1.
Рароц11з, А. РтоЬаЬ11гсуЯапс1от УапаЫез, апИ5сосЬазйсртосеззез, МсОгасч-Н111, Хе~ч Уог1с,1965, рр. 266-268. 2. М111ег, 1., апс1 Ргецпс1, Д. РтоЬаЬ11Ку апс15гагиг1сз/от Еп8гпеегз, 2пс1 Ес)., Ргепс1- се-На11, Еп8!е-н оос1 С11ссз, Хетт )егзеу, 1977, р.
118. 3. Вепс1ас, 1., апс1 Рсегзо1, А. Меаяитетепг апс(Апа1узгз о/ЯаЫот 7)ага, 1о1сп Ж11еу апс1 8опз, Хеч~ Уог1с, 1972, р. 61. 1 Нормальную функцию плотности вероятности иногда называют Гауссовой функцией. Схема генерации данных с таким распределением вероятностей обсуждается в разделе 13.11. Площадь под этой кривой равна единице, а проценты в нижней части рисунка Р.5 говорят нам, что в 68 27% случаев значениях отличаются от среднего не более чем на а. Аналогично, в 99.73 % случаев значения х находятся в пределах Зст от х ПриложениеЕ Децибелы (дБ и дБм) Это приложение знакомит читателя с логарифмическим масштабом, используемым для улучшения разрешения по уровню графиков функций частоты, таких как спектры сигналов, амплитудно-частотные характеристики фильтров и амплитудные спектры окон. Когда мы исг1ользуем для построения графиков логарифмический масштаб, вертикальная ось системы координат размечается в децибелах.
Е.1. Использование логарифмов для сравнения мощности сигналов Знакомясь с децибелами, интересно узнать, как эволюционировала эта единица измерения. При сравнении уровней непрерывных (аналоговых) сигналов первые специалисты по электронной связи обнаружили, что полезно было бы определить меру различия двух сигналов по мощности. Если это различие определить как логарифм отношения мощностей, его можно использовать как простую аддитивную меру для определения общего усиления или ослабления последовательно включенных электронных схем.
Положительные значения логарифма, соответствующие усиливающим компонентам системы можно прибавить к отрицательным логарифмам тех компонентов, которые вносят ослабление, и получить общее усиление или ослабление системы. С учетом этого разность уровней мощности двух сигналов (Рг и Р2), измеренная в белах', была определена как логарифм по основанию 10 отношения этих двух мощностей, или Разность мощностей = 1оя1о(Рг /Р~) бел . (Е-1) Использование (Е-1) привело к следующему шагу эволюции, т. к. единица «бел» оказалась слишком большой, что делало ее использование несколько неудобным. Например, было установлено, что человеческое ухо может различать разность уровней мощности звукового сигнала в одну десятую бела. При измерениях разности мощности так часто оказывались меньше бела, что была введена единица децибел (Ье!/10), а использование устаревшей единицы «бел» сошло на ! Безразмерная единица измерения бел была названа в честь Александра Грэхема Белла (А)екав!(ег ОгаЬан! Бей).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
