Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 123
Текст из файла (страница 123)
На рисунке Е4 (Ъ) показана центральная частота полосового фильтрами . Цифровой фильтр — вычислительный алгоритм, преобразующий дискретную последовательность чисел (входной сигнал) в другую дискретную последовательность чисел (выходной сигнал), имеющую измененный частотный спектр. Цифровой фильтр может быть реализован в форме программы, обрабатывающей данные, хранящиеся в памяти компьютера, или в форме специализированного устройства.
Частота среза — наивысшая частота полосы пропускания для ФНЧ (и наинизшая частота полосы пропускания ФВЧ), на которой АЧХ еще не выходит за пределы пульсаций полосы пропускания. На рисунке Р.б показана частота среза 1 для ФНЧ. П уложение г. Те минология в области ци оной ильт ацин Подавление в полосе звдерживения Г/2 Частота Переходная «- Попооз -» попове — — Полоса — » пропуохзния зздерживенип Рис. Р.б.
АЧХ цифрового ФНЧ. Относительный уровень АЧХ в полосе задержнва- ния составляет -20 дБ Ширина полосы фильтра — ширина полосы пропускания фильтра. Для ФНЧ ширина полосы равна частоте среза. Для полосового фильтра ширина полосы обычно определяется как разность верхней и нижней частот, на которых АЧХ уменьшается на 3 дБ. Эллиптическая функция — математическая функция, используемая для расчета фильтров с самой крутой переходной полосой АЧХ при заданном порядке фильтра. Однако фильтры, спроектированные на основе эллиптических функций, которые также называют фильтрами Кауэра', имеют наихудшую форму ФЧХ по сравнению с фильтрами на основе других популярных функций.
АЧХ эллиптический фильтров имеет пульсации одинаковой величины как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Библиография 1. КаЬ1пег, 1.. К., апг1 Со!д, В. Тйе ТИеогу апг1Аррйсапоп о/Р(81га!%8па1Ргосезз1пд, Ргепйсе-На11, Епй!етчоод С11ггз, )Чеи )егзеу, 1975, рр.
206, 273, апд 288 (есть русский перевод: Рабинер Л., Голд Б. «Теория и применение цифровой обработки сигналов», М.: Мир, 1978, доступен по адресу Иггр://Кео81п.пагогьги/агглэ/йр/йрЗ.Игт). 2. ОррелЬе)т, А. Ъ'., апд ЗсЬа(ег, К. Ж. Ю(эстете-Т(те 518па1 Ргосезяпй, Ргепйсе-На11, Еп81етчоод С11г(з, Ыеч ) егзеу, 1989, рр.
236 апд 441 (имеется русский перевод одного из предыдущих изданий: Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. «Цифровая обработка сигналов», пер. с англ. / под ред. С. Я. Шаца, Мс Связь, 1979, доступен по адресу йр-боой.пагод.ги/Ор5ЮБРЩри). 1 А также фильтрами Золотарева-Кзузра, поскольку эллиптическая аппроксимация использует дробь Золотарева — (прим. перев). 614 П уложение Р. Те минология в области ци оеой иль ации 3. 1ааЬо, Т. 1, ега1. «Бр11гг1щгЪе Ип1г Ие1ау»,1ЕЕЕ5щю1ртосеяялдМарите,1апыжу 1996, р. 46. 4.
Р1с1гегй, 1. «1гпры1ае-Кеаропяе Тевг1п6 1.его а Япя1е Тенг Ро йе Жог1г оГТЬоызапй», ЕОХ, Арп1 27,1995. Приложение 0 Вывод соотношений для фильтров на основе частотной выборки В литературе значительная часть математических выкладок, связанных с фильтрами на основе частотной выборкй, обычно опускается, что вполне оправдано, но здесь мы решили привести вывод некоторых соотношений по двум причинам: во-первых, для того, чтобы подтвердить состоятельность уравнений, использованных в разделе 7.1; и, во-вторых, чтобы продемонстрировать различные математические приемы, которые могут быть полезными в ваших будущих исследованиях.
0.1. Частотная характеристика гребенчатого фильтра Н, ~(елз)=Н ~(4~,ь=(1 — е ~~~). (С-1) Вынося за скобки экспоненту с половинным углом, е льЧ'2; мы имеем Н ~(ем)=е — 3 ~12(е>~'Н~2 — е У"аУ2), (С-2) Используя тождество Эйлера 27з1п(а) = еФ вЂ” е ~", мы приходим к ь(е~")" ™РФп(шН2Н. Заменивши' на еФ~2, получаем сота(еУ") =е 7(з~-з)/22з1п(шН/2). (С-З) (С-~) Частотная характеристика гребенчатого фильтра представляет собой передаточную функцию Н, ь(г), вычисленную на единичной окружности.
Мы начинаем с подстановки еУ"' вместо г в Н ь(г) вида (7-2), т. к. уравнение г = еУ" описывает единичную окружность 616 П уложение 6. Вывод соотношений для ФОЧВ В ЦОС зачастую важно знать максимальное значение АЧХ фильтра, которую мы получаем как модуль (0-4): ~Нсоть(е~ ) ~ =211яп(вЖ/2) ). (С-5) Здесь максимум равен 2. 0.2. Частотная характеристика отдельного комплексного ФОЧВ Частотная характеристика односекционного комплексного ФОЧВ представляет собой передаточную функцию Н (г), вычисленную на единичной окружности. Мы начинаем с подстановки еУ" вместо г в Ни(2), т. к. г - еР" описывает единичную окружность.
Имея Н (г) в виде Н„(2) = (1 — г-и) НЯ/[1 — [е)2™/и) г 1), (0-6) мы заменяем г на еУ", что дает нам Н„(еУ4) = Н,(гЯ,,/ь, = (1 — е .~~~и) НЯ~[1 — [еР~Щ е Р") = = Н® (1 — е Р'")/[1 — е 1("-2л"/и)). (С-7) Вынося за скобки экспоненты е .М~/2 и е-1(и/2-ль/и), мы имеем Н (е/ь) = Н(й) [е — 1ин/2(е/ин/2 — е — У~н/2))/ /[е-1(е/2-ле/Н)[еу(е/2-ле/и) е — 1(в/2 — ле/и)]) (С 3) Используя тождество Эйлера 21з1п(а) - е1а — е 1а, мы приходим к Н (е>) = Н(л) [е 3™/2[2/э(п(шН/2)'1)/ /[е ла/2еуль/н[21яп(а/2 — лл/Ж))) .
(0-9) Сокращая общие множители и меняя местами сомножители, мы приходим к требуемой частотной характеристике одной секции комплексного ФОЧВ: Н,(ез ) = - е-У~(н — 1)/2е — У™/и Н(л) [яп(геН/2)1/[яп(в/2 — ле/А()1. (С-10) Далее мы вычисляем максимум АЧХ одной секции ФОЧВ в случае, когда ее полюс лежит на единичной окружности и Н(1) = 1. Опуская в (С-10) фазовые множители (экспоненты), мы получаем амплитудную характеристику одной секции ФОЧВ в виде Нм лия(еР") = яп(вУ/2)/яп(в/2 — ле/А() . (С-11) Нам необходимо знать значение (0-11) при в = 2я1/А(, поскольку это значение в соответствУет полюсУ пеРедаточной фУнкции, но ~ Н„(е> ) ~ „, 2ль/иве опРеделен, т. к.
6.3. ФЧХмногосекционного комплексного ФОЧВ [Н„акр(ела)[ 2»/и = яп(л»)/яп(л»/Х вЂ” л»/Х) = = з1п(л»)/зш(О) = О/О. (С-12) Применяя к (С-11) правило маркиза де Лопиталя, получаем ~Н р(еуа) [ 2»/Х = = ф[з1п(вХ/2)1/йо)/(с([яп(в/2 — л»/Х) 1/йо) ~ - [(Х/2)/( 1/2)1 [соз(вХ/2)/соз(в/2 — л»/Х) 1 ~ - [Хсоз(л»)1/[соз(тй/Х вЂ” лИ/Х)1 = Х( — 1)» . (С-13) Фазовые множители в (С-10) при в = 2л»/Х равны е — /~(н — г)/2е л»/и [ 2»/и = е 1™ ез~»/не У™/и = ( — 1)» (С-14) Объединяя результаты (С-13) и (С-14) с (С-10), имеем [Н, атр(ела) [а,-2»/М =!Н(»)[~Х( 1)З = ~НЯ~'Х' (С 15) Таким образом, максимальное значение АЧХ односекционного комплексного ФОЧВ при резонансе равно )Н(»))'Х независимо от».
0.3. ФЧХ многосекционного комплексного ФОЧВ В этом разделе показано, как в (7-13) появляются множители ( — 1)» для много- секционного комплексного ФОЧВ с четным Х и линейной ФЧХ. Подстановка множителей )Н(») [еФ(») для положительных частот, О <» < (Х/2) — 1, со значениями фазы ф(Й) из (7-11), в (7-10) дает (м/2) — г Н, 1„1 /(еаза) =е ла(н г)/2яп(вХ/2) ~> [[Н(»)[ е рт»(н ~)/не ук»/х~/ (С-16) /зш(в/2 — гй/Х), где индекс р~' обозначает положительные частоты. Рассматрйвая только числитель под знаком суммы в (С-16), имеем числитель /- [Н(») [ е — 1»к(н — Г)/и е 1»к/и - [Н(») ) е 1™/н(Н г+Г) = - [Н(») [ е 1»" = [Н(») [ (е — /к)» - ) Н(») [ ( — 1)», (С-17) которое показывает, как появляются множители ( — 1)» в первой сумме (7-13). Далее подставим множители [Н(») [ еФ(») для отрицательных частот, (Х/2)+1 <» < Х вЂ” 1, при значениях фазы ф(») из (7-11") в (7-10), в результате чего получаем 81В П уложение В.
Вывод соотношений для ФОЧВ Ж-1 Н ( 1 „/(ель) - е —.Мн-т)/2 яп(шЮ/2) ~) ИНЯ ~ е1'«и — »)(и ~)!не 1» Р~~/ »-(и/г)+( /яп(ш/2 — пй/Х), (С-18) где индекс п~'обозначает отрицательные частоты. Рассматривая снова только чис- литель под знаком суммы в (С-18), имеем числитель„/ = = щ») ~ е) (и-»)(и-()/не-р /и - ~ Н(») ~ е ~' 1»-(и-»)(к-()1/и = = ~ Н(А) ~ е — лт(н+ »и — нг)lн = ~ Н(lг) ~ е 1л(т +» -.и) = - ~ Н(й) ~ (е-1л) (е 1»е) (еУ™) .
(С-19) Множитель ер™в (С-19) при четном бравен 1, так что мы можем записать числитель /= ~Н(Й)~ ( — 1) (е 1»л) (1) = — ~Н(Й) ~(е 1»л) = = — ~Н(А) ~(е-и)» = — ~Н(») )( — 1)», (С-20) что объясняет появление и знака минус, и множителя ( — 1)" во второй сумме (7-13). Чтобы учесть одну секцию А =Л(/2 (соответствуюп(ую частоте Найквиста, или /, /2, на которой ш=п), мы подставляем множитель |Н(И/2)е Я и А - Л(/2 в (7-8), получая Н,~ц, ~~,р/(е»")~,- = - е-У"(и-()/2 е-Рт(н/2)/и ~Н(Ю/2) ~ е-/О з1п(шМ/2)/яп[ш/2 — л(Х/2)/о()- = е-.»ь(н — ~)/2 е — лт/2 ~ Н(И/2) ~ яп(ш)т/2)/яп(ш/2 — и/2), (С-21) 0.4. Частотная характеристика многосекционных комплексных ФОЧВ Частотная характеристика комплексного )((-секционного ФОЧВ с гарантированной устойчивостью, когда т <1, представляет собой Н „ср(„(г), в которой переменная г в (7-18) заменена на ель: Н~„р~ (ел") = Н~, ср»(г) ~,=ел и†( (1 — тле 1н ) ,') Н(»)/(1 — (те/2™/н1е 3 ), »-О (С-22) Чтобы на время упростить наши выражения, введем обозначение д - ш — 2пlг/7т' и получим и — 1 Н„р(т(ель) = (1 — тие 1ии) ~~Г НЯ/(1 — те Ф) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
