Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 124
Текст из файла (страница 124)
(С-28) »-О 6.4. Частотная ха кте истика многосекционных комплексных ФОЧВ 619 Вынося за скобки экспоненты с половинными углами и учитывая множители т, мы получаем Н (ело) = тоУ/2е-унсо/2(т и/2е/№о/2 — тУо/2е /псо/2) Х ко,срух йУ-1 х ~~'Н(у )/[т1/2е — уд/2(т-1/2еуе/2 т1/2е — /О/2)] о=О (С-24) Преобразуя все члены в скобках в экспоненты (скоро мы узнаем зачем), приходим к у (еусо) = 1 и/2е — унсо/2 [ е-[и !п(т)/2 1Нсо/2] е [и !п(т)/2 у№о/21] Х ко,срух У-1 х~~['Н(я)/[т1/2е уо/2[а [1п(т)/2-ув/21 — е [[п(т)/2-ув/211]. (С-25) о=О Н, у,(е3' ) = тю/2е .Р~ /2 [ — 2япЬ[Мп(т)/2 — /Фш/2]] х й'-1 х ~) Н(уо)/[т1/2е — /Е/2 [ — 2о[пЬ[[а(т)/2 — уд/2] Ц .
о-О (С-26) Заменяя угол 0 на ш — 2оп[/ЛУ, сокращая множители — 2, получаем Н, у (е3 ) = тн/2е-Ф«'/2 япЬ[Лу!п(1)/2 — ~Мш/2] х У вЂ” 1 х ~Н(й)/[т1/2е-Л -2 о щ'г япЬ[1п(т)/2 -/(ш — 2отус/)Ч)/2]] . (С-27) о=О Меняя порядок следования слагаемых и приводя подобные члены, мы приходим к окончательному выражению (Е ко) =ъ/т(й 1) Š— Ло(Х вЂ” 1)/2 Х Уо'-1 х ') Н(й) е-ухо/и япЬ[Ф1п(т)/2 — уХш/2] / о-О (С-28) / япЬ[1п(т)/2 — у(ш — 2ог/г/У)/2] . (Впечатляет, не правда ли? Теперь понятно, почему выражение для частотной характеристики в литературе обычно не приводится.) Теперь выкладки несколько усложняются, т.
к. показатели экспонент содержат как действительные, так и мнимые части. Здесь нам помогут гиперболические функции. Напомним: если а — комплексное число, то з[пЬ(а) = (е и — е и)/2, соответственно мы получаем его 17 уложение О. Вывод соотношений я ФОЧВ 0.5. Передаточная функция действительного ФОЧВ Выражение для передаточной функции действительного многосекционного ФОЧВ на первый взгляд выглядит несколько странно, поэтому вместо того, чтобы предложить его вывод в качестве упражнения читателю, мы покажем математические приемы, необходимые для этого. Наш план состоит в следующем: воспользоваться выражением для передаточной функции многосекционного комплексного ФОЧВ и определить множители Н(в) так, чтобы все полюсы фильтра образовывали комплексно-сопряженные пары.
Это приведет нас к структурам действительных ФОЧВ с действительными коэффициентами. Начнем с передаточной функции М-секционного комплексного ФОЧВ с гарантированной устойчивостью (7-18) вида Н вЂ” 1 Н,, 1(г) =(1 — т"г ") 2 Н®/(1 — [те)2~~/~]г 1). (С 29) в=0 При четном Н, разбивая сумму в (С-29) на части, мы можем записать Н („(г) =(1 — тнг и) х ФФ х [Н(0)/(1 — тг 1) + Н(Ж/2)/(1 + тг 1) + (и/2)-1 Н-1 + ~НЯ/(1 — [те)2ле/н(г 1) + '~ь" Н®/(1 — [те)2зе/н[г ~Д . (С-30) в=1 Ь-М/2~-1 (Х/2) — 1 Н-1 Сумма - '~ь НЯ/(1 — [те12еЬ/и[ г 1) + Я Н(в)/(1- [те)2иь/и[ г- 1) (С-31) к=1 Ь=и/2Ч Затем мы объединяем суммы, изменив индекс во второй сумме, как (М/2) — 1 Сумма = ~ [Н®/(1 — [те)2"Щ г 1) + е=1 + Н(Х вЂ” 'в)/(1 — [те/2в(н ь)/и[ г 1) ~ . (С-32) Приведя дроби к общему знаменателю и перемножив их знаменатели, а затем положив множители Н(М вЂ” 'и) комплексно-сопряженными множителям Н(11), за- пишем Первые две дроби в квадратных скобках учитывают частотные отсчеты /1 = 0 и й = Ю/2.
Первая сумма соответствует положительным частотам, которые размещаются на верхней половине единичной окружности в г-плоскости. Вторая сумма соответствует отрицательным частотам, лежащим на нижней половине единичной окружности. Чтобы упростить вывод, запишем две суммы в виде 6.5. Пе едаточная нкция действительного ФОЧВ (У/2)-1 Сумма = ), [Н(л) (1- [те12л()ч к1/и] г 1) +Н"Я (1 — [те12™Р1] г 1]]/ л 1 /[(1 — [те12л(н-л)/1ч] 2-1) — те12л1/1чг-1+ тге12л(ь+)ч-л)/)чг 2], (С-ЗЗ) где символ "" "обозначает комплексно-сопряженное значение.
Определив Н(Н вЂ” () = Н" (л), мы получили полюсы в виде комплексно-сопряженных пар и, как мы увидим, это условие преобразует наш комплексный ФОЧВ в действительный ФОЧВ с действительными коэффициентами. Продвигаясь дальше, замечаем, что Е12л(У вЂ” Е)/У = Е-12лл/1Ч Е-2лл/Ф = Е-12лл/)Ч подставив это выражение в (С-ЗЗ), перегруппируя числитель и объединяя члены, содержащие г 1 в знаменателе, приходим к выражению (М/2) — 1 Сумма =,)' [Н(л) + Н'Я вЂ” [Н(й) те Р™/В1+Н"Я) те12лл/Н] г 11/ л"1 /[1 1 (е-12лл/и <- е12лЩ г — 1+ т2г — 2] (С-34) Затем мы записываем комплексные Н(л) в алгебраической форме: Н® = ~Н(й)~ [сов(фь) +)'в(п(ф~)] Н"Я = ~Н(Й)Ясов(фь) — /'вш(фь)].
Мнимые части суммы при этом взаимно уничтожаются, так что Н(л) + Н"(л) = 2~Н(йИсов(фЬ), и это позволяет нам записать ()Ч/2)-1 сумма= )' (2~н(Й)~сов(фь) — ~н(л)~[те1(ек 2лл/н)+те 1(фв 2л)/)ч)]г 11/ л-1 /[1 т (Е-12лк/И+ Е12лй/)Ч) г-1+ т2г-'2] . (С-35) Вспомнив тождество Эйлера 2сов(а) = е1а + е .к', и объединяя множители (Н(л)), приходим к окончательной форме суммы: (№2) — 1 Сумма = )' (2~Н(11)~[сов(ф,)) — гсов(ф» — 2л1т/Х)]г 1(/ /(1 — [2тсов(2лй/)Ч)] г-1+ тгг 2[. (С-36) Подставляя (С-36) вместо двух сумм в (С-ЗО), мы получаем искомую передаточную функцию 622 П уложение 8. Вывод соогношенийдля ФОЧВ Н „,„~(г) =(1 — т~г ) х х 1Н(0)/(1 — тг-~) + Н(Х/2)/(1 + тг-1) + (М/2) — 1 + )' [2~Н(й)~[сов(фь) — тсоз(фь — 2ял/М)] г ~~/ в=1 /[ 1 — [2т соз(2лМИЯ г 1+ т2г 2И, (С-37) где индекс теа1 обозначает действительный многосекционный ФОЧВ.
0.6. Частотная характеристика ФОЧВ Типа ЬЧ НГ !1/ (г) =(1 — тнг Н)(1 — тгг 2)/ /(1 — 2т сов(2лй/М) г ! + тгг 2), (С-38) где индекс аг обозначает одну секцию. В предположении о том, что коэффициент затухания т настолько близок к единице, что его можно заменить единицей, мы имеем упрощенную передаточную функцию ФОЧВ Нтур, )у (г) = (1 — г-и)(1 — г-2)/ /[1 — 2соз(2лй/!Ч)г г + г 2] .
(С-39) Обозначив сот=2~Й/!Чдля упрощения записи, разложив знаменатель Нтуги !к (г) на множители, получаем Нту, !к и (г) = (! — г-н)(1 — г 2)/[1 — 2соз(вт) г (+ г 2] = = (1 — г-н)(1 — г 2)/[(1 — е!и г ()(1 — е 1и г )], (С-40) в котором заменяем г на е!и: Нт„),е !к (еР") = [(1 — е )'Ц(1 — е 12и)]/[(1 — е3 е ) )(1 — е У"~е ло)]- - [(1 — е — 1ин)(1 — е-12и)]/[(1 — е /( т))(1 — е — М+М)], (С-41) Вынося за скобки экспоненты с половинными углами, получаем Нг ))т (еги) = = Š— / ~н/2(Е/иН/2 — Š— /иН/2)Š— !и(Е1и — Е Р ')/ (С-42) /[е 1(и ид)/2(е)(и ит)/2 е 1(ш шг)/2)е 1(ш+ит)/2(е)(шают)/2 е 1(и+ит)/2)] Частотная характеристика односекционного ФОЧВ Типа 1Ч при четном М равна передаточной функции, вычисленной на единичной окружности. Для начала мы положим в (7-23) )Н(Й))=1 и запишем передаточную функцию одной секции ФОЧВ Типа 1Ч как 6.6.
Частотная ха кте истика ФОЧВ Типа й/ 623 Используя тождество Эйлера 27з1п(а) = е«' — е 1о, имеем Нт„, тк (е«») = е «»~о/~[2/яп(шХ/2)]е «»[27з1п(ш)]/ /(е-1(и- и )/~ 21яп[(ш-ш„)/2) е-1(и+и )/Р 21з1п[(ш+ш„)/2)], (С-43) Сокращая общие множители и складывая подобные члены, мы имеем Нт„р» тт „(ело) е «и/зе 1 /[е 1( "Мзе 1("+Мlз) х х яп(шХ/2)зш(ш)/[яп[(ш — ш„)/2)яп[(ш+ш„)/2)]- = е «и/2[соз(шХ/2 — ш) — соз(шХ/2 + ш))/[соз(ш„) — соз(ш)] . (С-44) Вернув 2лл/Хвместо ш„, получаем частотную характеристику одной секции в виде Нт„, рк (ел») = е «»иЯсоз(шХ/2 — ш) — соз(шХ/2 + ш)]/ /[соз(2»гл/Х) — соз(ш)) .
(С-45) Взяв за основу (С-45), мы можем записать выражение для частотной характеристики многосекционного ФОЧВ Типа 1Ъ' с четным Х как Х/г Нт„, то(ело) = е «»'»/» ~~ ( — 1)«~Н(л) ~ [соз(шХ/2 — ш) — соз(шХ/2+ ш)]/ л-0 /[соз(2лк/Х) — соз(ш)] . (С-46) Для вычисления АЧХ отдельной секции мы опускаем фазовые множители (комплексные экспоненты) в (С-45) и получаем Нт„„, ту (еро) = [соз(шХ/2 — ш) — соз(шХ/2+ ш)]/ /[соз(2Ы/Х) — соз(ш)) . (С-47) Чтобы найти максимальное значение АЧХ на частоте резонанса, мы вычисляем (С-47) при ш = 2яй/Х т.
к. это значение ш, соответствующее расположению полюса. Однако это значение ш обращает знаменатель в ноль, а дробь — в бесконечность. Мы можем продвинуться дальше, применив к (С-47) правило Лопиталя: Нтур»-1У, атр (е ) ~и- 2лл/Х = (Ы[соз(шХ/2 — ш) — соз(шХ/2 + ш)]/Йо)/ /[а[соз(2яа/Х) — соз(ш)]/йо) !„Зл»/Х- - [ — яп(шХ/2 — ш)(Х/2 — 1) + зш(шХ/2 + ш)(Х/2+1)]/зш(ш) ~, зл~/ -[ — [(Х вЂ” 2)/2]яп(»п( — 2як/Х) + [(Х+ 2)/2]яп(як + 2лй/Х))/ (С-48) /яп(2як/Х) .
624 П уложение В. Вывод соотношений для ФОЧВ Устраняя слагаемые лх с помощью тригонометрических формул яп(лв — а) - ( — 1)в[ — яп(а)] яп(л/г + а) = ( — 1)в[яп(а)], получаем значение максимума амплитудной характеристики в виде Нтуре-!у,атр(в~ ) [и 2лЬ/и = [[(М вЂ” 2)/2]( — 1)в з(п(2лй/М) + [(М + 2)/2]( — 1)в з(п(2лй/М) ]/[2яп(2лй/М) ] = = М( — 1)вз(п(2лИ/М)/з1п(2лй/М) = М(-1)Ь, (С-49) в = 1, 2,, [(М/2) — 1] . Выражение (0-49) имеет смысл только при 1< в ( (М/2) — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
