Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Деление комплексных чисел Деление двух комплексных чисел также лучше всего выполнять в показательной форме или в форме модуля и аргумента, как Сг/Сг = (МгегФ~)/(МгегФг) = (Мг/М2) ег(Ф~ Фг) (А-19) и С,/С,=(М,/М,) ~ (ф,-ф,). (А-19') потому что операция сводится к умножению модулей и сложению аргументов.
Как особый случай умножения, масштабирование заключается в умножении комплексного числа на другое комплексное число, мнимая часть которого равна нулю. Мы можем использовать как алгебраическую, так и экспоненциальную формы: П иложениеА. А и метика комплекснык чисел 5тв Мы можем выполнить деление и в алгебраической форме, хотя это не так удобно, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, следующим образом С, lСг = (Я1 +311)/(22+312) = ~( 1+3 1)/( 2 3 2)1 1( 2 312)/(В2 312)] = Н 1 2 1 2) 3()У1 )~112)1/(й2 12 ) ' (А-20) А.3.5.
Обращение комплексного числа Обращение представляет собой частный случай деления. Если С = Ме11', то обратное ему число вычисляется как 1/С = 1/(МеФ) = (1/М)е .М, (А-2 г) В алгебраической форме число, обратное числу С = Я +31, записывается следующим образом 1/С = 1/(Я+у)) =(Я вЂ” Я/(й2+12). (А-22) Мы получили (А-22), предположив, что в (А-20) Я1 = 1,11 = О, Я2 = Я и 12 - й А.3.6. Возведение комплексных чисел в степень Возведение комплексных чисел в некоторую степень в показательной форме выполняется очень легко.
Если С = МеФ, то (А-23) С к = Мк(еФ) к = Мке1Ьт, Например, если С = Зе1123', то Св кубе равно (С )3 = 33(е13 ° 123') = 27е)37Т = 27е113 (А-24) Мы завершаем это приложение обсуждением четырех арифметических операций, которые нечасто встречаются в цифровой обработке сигналов, но которые могут когда-нибудь понадобиться. А.3.7. Корни из комплексных чисел Корень 11-й степени из комплексного числа С представляет собой число, кото. рое, будучи умножено само на себя 11 раз, даст С. Для нахождения корней нанлуч. шей является экспоненциальная форма.
Когда задано комплексное число С = Ме4 его можно записать как (А-25) Мат(а эк360') В этом случае переменная р в (А-25) измеряется в градусах. Существует ( раз ных значений корня к-й степени из С. Под разными мы понимаем корни, аргумен ты которых меньше 360'. Мы находим корни с помощью следующего выражения: А.З. А и магические осе ации над комплексными числами й к )1 Ъ)С = УМ ~~Ф "))~) -))М ))Ф+~)~))). (А-26) Ус-\725 ю~ ")))) - Г)25 )).*'~)~))) 3 3 3 (А-27) Затем мы задаем значения и = О, и - 1 и и = 2 в (А-27) и получаем три значения корня из С. Следовательно, три корня равны 3)— 1-й корень -~ Ч С = 5 е/(75 + О 3ь(г)/3 - 5 е/Р~); 1Е = 5 е )(75 + 1 ' 360 )/3 = 5 е7(43г)/3= 5 е3( 14з=) 3 2-й корень- и 3 3-йкорень- 1(С = 5е1(7~+4 3ье )/3 = 5еу(735 )/3-5е1(4Е5"), А.З.В.
Натуральные логарифмы комплексных чисел Взятие натурального логарифма комплексного числа С = МеФ в экспоненциальной форме очевидно: 1пС = 1п(Ме7ф) = 1пМ + 1п(е7ф) - 1пМ ч-)ф, (А-28) где 0 < ф < 2л. К примеру, если С = 12еул/4, натуральный логарифм С равен 1пС -1п(12езк/4) - 1п(12) +/я/4 =2.485+30.785.
(А-29) Это значит, что е (2 485+хе 7а5) = е 2 485 ° еЖ 785 = 12е)к/4. А.3.9. Десятичные логарифмы комплексных чисел Мы можем вычислить десятичный логарифм комплексного числа С = МеФ, используя 1ой,оС = 1о81о(МеФ) = 1о8(оМ+ 1ой,о(еФ) = 1о81оМ +)ф 1о81о(е) . (А-30) Конечно, е является иррациональным числом, примерно равным 2.71828, логарифм которого по основанию 10 равен примерно 0.43429. Учитывая это, мы можем упростить (А-30) следующим образом 1о8 С = 1ой М+3(О.43429 ф) . (А-31) ) Для получения второго члена результата в (А-30) мы использовали соотношение 1оя (л") " и ° 1оя, к в соответствии со свойствами логарифмов.
п в (А-26) пробегает значения О, 1, 2, 3,..., к — 1, в результате чего мы получаем к корней числа С. Здесь необходимо привести пример! Допустим, мы хотим найти кубический корень из С = 1251(75 ). Для этого мы поступаем следующим образом: П иложениеА. А и метика комплекснык чисел Повторяя этот пример с С = 12е1л/4 и используя приближенное соотношение (А-31), получаем логарифм С по основанию 10 в виде 1о610С = 1оа)о(12ехк/4) = 1од10(12) +Я0.43429 л/4) = = 1.079 + у(0.43429 0.705) - 1.079 + у0341. (А-32) Результат (А-32) означает, что 10(1079~)034 7) 10а079 ° 1010341 12 ° (е 2302)1034 4 = 1201(2302 0341) 12е)0.785 = 12е)л/4 (А-33) А.3.10.
Вычисление десятичных логарифмов комплексных чисел через натуральные логарифмы (А-34) 1оя10(х) - 1п(х)/1и( 10) Используя эту формулу замены основания логарифмов, мы можем найти десятичный логарифм комплексного числа С - МеФ, т. е. 1о610~~ - 1пС/1п(10) = (1оя1ое)1п(С) . (А-35) Поскольку 1оя10(е) примерно равен 0.43429, мы используем (А-35) и получаем 1оя10С = 0.49429 ° (1пС) = 0.43429 ° (1пМ +ф) . (А-36) Повторяя снова приведенный выше пример с С - 12е7к/4, мы можем с помощью приближенного равенства (А-36) взять логарифм числа С по основанию 10 с помощью натуральных логарифмов как 1ои)0С = 0.49429 ° [1п('12) +17т/4] = = 0.49429 ° [2.485+10.785[ = 1.079+10З41, (А-37) что совпадает с результатом (А-32). А.4. Некоторые практические особенности использования комплексных чисел В начале раздела А.З мы говорили, что выбор формы представления комплексных чисел — алгебраической или показательной — зависит от того, какие операции мы собираемся выполнять.
Интересно заметить, что алгебраическая форма имеет практическое преимущество над экспоненциальной формой, когда мы рассматриваем представление чисел в компьютере. К сожалению, некоторые математические пакеты программ не содержат функции вычисления десятичных логарифмов и могут вычислять только натуральные логарифмы.
В этой ситуации для вычисления десятичного логарифма х мы используем соотношение А.4. Некого ые и актические особенности использования комплексных чисел 581 Например, допустим, что мы должны представлять комплексные числа, используя четырехбитный формат двоичных чисел в виде модуля со знаком. Это значит, что мы можем иметь целые числа в диапазоне от — 7 до +7, и доступный нам диапазон комплексных чисел при использовании алгебраической формы на комплексной плоскости представляет собой квадрат, показанный на рисунке А.4 (а). С другой стороны, если мы используем тот же формат для представления модуля и аргумента комплексных чисел, эти числа будут лежать в пределах круга радиуса 7, как показано на рисунке А.4 (Ь). Обратите внимание на четыре затененных угла на рисунке А.4 (Ь), которые соответствуют позициям допустимых комплексных чисел при использовании алгебраической формы, но находятся за иределани допустимой области при использовании экспоненциальной формы.
Иначе говоря, вычисления с комплексными числами, которые дают правильный результат в алгебраической форме, могут дать ошибку переполнения, если мы используем экспоненциальную форму. В алгебраической форме значение 7 +77 допустимо, а в экспоненциальной — нет, потому что модуль этого числа больше 7.
вительная ось вительная аь (а) <ь1 Рис. А.4. Комплексные числа в целочисленном формате, показанные как точки на комплексной плоскости при использовании четырехбитового формата модуля со знаком: (а) при использовании алгебраической формы; (П1 при использовании экспоненциальной формы Здесь мы не приводим более детальное обсуждение особенностей реализации комплексной арифметики в стандартных форматах данных, но это сложная и интересная тема. Для дальнейшего ее изучения мы рекомендуем любознательным читателям обратиться к имеющейся литературе. ввг П уложение А. и метике комплексных чисел Библиография 1. Р1аицег, Р. 1.
«Согпр1ех МагЬ Рипсг1опа», ЕтЬеЫег1 буксете Ртоагатттд Апас 1994. 2. КаЬап, Ж. «ВгапсЬ Сига 1ог Согпр1ех Е1епгепгагу Рипсг1опа, ог МисЬ Адо АЬоиг ХогЬ1пве 818п В1г», Ртосеейпр о/гЬе 1отг 1МА/51АМ Согуетепсе оп гЬе 8гаге о1 гЬе Атг т №тепса1Апа1уяе, С!агепдоп Ргеаа, 1987. 3. Р1аивег, Р. 1 «Сотпр1ех Майе Бппр1е»,ЕтЬе<ЫейууегетеРто8гаттшд3и1у 1994.
ПриложениеВ Сумма геометрической прогрессии В литературе по цифровой обработке сигналов мы частот встречаем выражения вида У-1 ;1.'ти = («Р — тМ)/(1- «), (В-1) и Р или Ф-1 ~~ е — 12лит/х = (.1 е — 12ит)/(1 е — 12ят/м) и-О (В-2) где и, 1т" и р — целые, а а и т — некоторые произвольные константы. Умножение (В-3) на «дает М вЂ” 1 5« = ~«~атп«1 = а«Р+1 + а«Р+2+а«Р+3 + „, + атм-1+ атх (В-л) и-Р Вычитая (В-4) из (В-З), мы получаем выражение 5 — 5т = 5(1 — 1) = атР— ата1, или 5 = а ° (тР— т ч)/(1 — т) . (В-5) Итак, вот цель, к которой мы стремимся.
Замкиу1иая форма суммы ряда имеет вид К сожалению, многие авторы часто заявляют «и мы знаем, что...» и выдают выражения (В-1) или (В-2) читдтелю, который должен принимать их на веру. Если у вас нет докторской степени по математике, то у вас может возникнуть желание узнать, какие математические выкладки приводят нас к (В-1) или (В-2).
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим общее выражение для геометрической прогрессии вида М вЂ” 1 5 -Я,а«П атР + атР+1+а«Р+2+ + ата1-1 (В-3) и Р 884 М вЂ” 1 ЗамкнУтаЯ фоРма сУммы геометРической Х л ° („Р гм)/(1 „) (В 6) прогрессии общего вида -+ (Под замкнутой формой мы понимаем сумму бесконечного ряда, преобразованную в более простое математическое выражение, не содержащее бесконечного суммирования.) При а=1 (В-6) приводит к (В-1). Мы можем быстро проверить (В-6) на примере. Задав Х = 5, р - О, а = 2 и г = 3, например, мы можем составить следующий список: 4 ,~,2'3" = 242. ь-0 Подставляя значения )т', р, а и г из нашего примера в (В-6), получаем М-1 ~г аг" = а ° (гР— гН)/(1 — г) = л=р = 2 (3а — 3з)/(1 — 3) = 2 (1 — 243)/( — 2) = 242.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
