LID. Усиление и генерация импульсного излучения в твёрдотельных лазерах (1095924), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Ïðè ðàâåíñòâå íóëþ Píåë è ïðîâîäèìîñòè ñðåäû σ ìû ïîëó÷àåì èç (2.43) õîðîøî èçâåñòíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà. Ðåøåíèþ åãî óäîâëåòâîðÿþò ïëîñêèå ìîíîõðîìàòè÷íûå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. Óðàâíåíèå ïëîñêîé áåãóùåé âîëíû èìååò ñëåäóþùèé âèäE ( z , t ) = 0 ,5 ⋅ ( E m ⋅ Exp ( j ( ωt − kz )) + ê.ñ. ) .(2.44) ýòîì ðåøåíèè àìïëèòóäà ïîëÿ E m íå ìåíÿåòñÿ â ïðîöåññå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû.33Óñèëåíèå è ãåíåðàöèÿ èìïóëüñíîãî èçëó÷åíèÿâ òâåðäîòåëüíûõ ëàçåðàõ.Ìåòîäû àíàëèçà ïðîöåññîâ â ëàçåðíûõ ñèñòåìàõ.Ðåøåíèå (2.43) áóäåì èñêàòü â âèäåE ( z , t ) = 0 ,5 ⋅ ( E m ( z , t ) ⋅ Exp ( j ( ωt − kz )) + ê.ñ. ) ,(2.45)ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî â ïðîöåññå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû ìîãóò èçìåíÿòüñÿ êàê àìïëèòóäà, òàê èôàçà âîëíû.

Àíàëîãè÷íî (2.45) îïðåäåëèì ðåøåíèÿ äëÿ ïîëÿðèçîâàííîñòè ñðåäûPíåë ( z , t ) = 0 ,5 ⋅ ( Pm ( z , t ) ⋅ Exp ( j (ωt − kz )) + ê.ñ. ) .(2.46)Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ íå íàêëàäûâàåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà E m ( z , t ) è Pm ( z , t ) , íîîïðåäåëÿåò, ÷òî îòêëèê ñðåäû ïðîèñõîäèò íà òîé æå ÷àñòîòå, ÷òî è âîçáóæäàþùåãî ïîëÿ ω.Íàøåé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ ïîëó÷åíèå óêîðî÷åííûõ óðàâíåíèé äëÿ àìïëèòóäû ïîëÿ E m ( z , t ) . Çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ ïî z è t îò (2.45).∂E∂ 2 E ( z , t ) 1  ∂ 2 E m=  2 − j 2 k m − k 2 E m  ⋅ Exp ( j (ωt − kz )) + ê.ñ. ,2∂z2∂z ∂z(2.47)∂E ( z , t ) 1  ∂E m= + j ωE m  ⋅ Exp ( j (ωt − kz )) + ê.ñ. ,2∂t ∂t(2.48)∂E m∂ 2 E ( z , t ) 1  ∂ 2 E m2jωωEExpjωtkz2=+−⋅((−))+ê.ñ.,m2∂t2∂t 2 ∂t(2.49)∂Pm∂ 2 P( z , t ) 1  ∂ 2 Pm2ê.ñ.jPExpjtkz=+2ω−ω⋅((ω−))+. 2m2∂t∂t 2 ∂t(2.50)Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íåëèíåéíîñòü ìàëà è àìïëèòóäà ïîëÿ E m ( z , t ) ìåäëåííî èçìåíÿåòñÿ âîâðåìåíè è ïî êîîðäèíàòå z.

Ìàëîñòü èçìåíåíèÿ îïðåäåëÿåì íà ïåðèîäå êîëåáàíèé è äëèíåâîëíû èçëó÷åíèÿ∂ 2 Em∂E∂ 2 Em∂E m<<ωè<< k m .22∂z∂z∂t∂t(2.51)Ïðèìåì, ÷òî äëÿ ïîëÿðèçîâàííîñòè ñðåäû âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ∂ 2 Pm∂P<< ω m << ω 2 Pm .2∂t∂t(2.52)Ïîäñòàâëÿÿ (2.47)-(2.50) â (2.43) ñ ó÷åòîì (2.51), (2.52) è k = ω / υ ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíî∂E m 1 ∂E m βω++ Em = − jPm .22nc∂zυ ∂t(2.53)ãäå ó÷òåíî, ÷òî υ = c / n = 1 / εε 0 µ0 è ââåäåíî îáîçíà÷åíèå ïîòåðü β = µ 0 συ .34Óñèëåíèå è ãåíåðàöèÿ èìïóëüñíîãî èçëó÷åíèÿâ òâåðäîòåëüíûõ ëàçåðàõ.Ìåòîäû àíàëèçà ïðîöåññîâ â ëàçåðíûõ ñèñòåìàõ.Óðàâíåíèå äëÿ îïòè÷åñêîãî ðåçîíàòîðà. Ïîäðîáíî ñâîéñòâà îòêðûòûõ îïòè÷åñêèõðåçîíàòîðîâ áóäóò ðàññìîòðåíû â ðàçäåëå 13.

Íà ýòîì ýòàïå íàì íåîáõîäèìî çíàòü òîëüêîîäíî ñâîéñòâî, èçâåñòíîå èç êóðñà ëèíåéíîé ýëåêòðîäèíàìèêè - ïîëå â ðåçîíàòîðå ÿâëÿåòñÿñóïåðïîçèöèåé äâóõ âñòðå÷íî ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ âîëí è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòîÿ÷óþ âîëíó(íîðìàëüíûé òèï êîëåáàíèé). Ðåøåíèå äëÿ íîðìàëüíûõ òèïîâ êîëåáàíèé ïîëó÷àåòñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè ïîëÿ â ðåçîíàòîðå ñ ó÷åòîì êðàåâûõ óñëîâèé íà ñòåíêàõ ðåçîíàòîðà. Òàíãåíöèàëüíàÿ êîìïîíåíòà ïîëÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü íà ïîâåðõíîñòè ðåçîíàòîðà.  ðàññìàòðèâàåìîìïëîñêîâîëíîâîì ïðèáëèæåíèè íóëþ ðàâíî ïîëå E . Ïîëíîå ðåøåíèå äëÿ ïîëÿ â ðåçîíàòîðåïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íûé äèñêðåòíûé íàáîð íîðìàëüíûõ òèïîâ êîëåáàíèé(ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ðåçîíàòîðà) Fn ( z ) .

Ýòè íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ îáðàçóþò îðòîãîíàëüíûé áàçèñ, òàê êàê âñå òèïû êîëåáàíèé îðòîãîíàëüíû1L∫ F ( z)FL01Lnm( z ) dz = 0 ïðè n≠m,L∫ F ( z)Fnn( z ) dz = a n ïðè n=m.0Ïðîèçâîëüíîå ïîëå â ðåçîíàòîðå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçëîæåíèÿ (ñóììû) ïî íîðìàëüíûì òèïàì ðåçîíàòîðàE( z, t) =∑ A (t) ⋅ F ( z) .nn(2.54)nÄëÿ çàïîëíåííîãî ëèíåéíîé, îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäîé ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ε ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ ïî äëèíå ðåçîíàòîðà èìååò âèäF n ( z ) = sin( k n z ) .(2.55)Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ðåøåíèå äëÿ ðåçîíàòîðà, çàïîëíåííîãî ñðåäîé ñ íåëèíåéíîñòüþ,ìû èùåì ïðè ðàçëîæåíèè ïîëÿ â ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì ïóñòîãî ðåçîíàòîðà.

Ïðèíöèïèàëüíî âîçìîæíîñòü ýòîãî îáåñïå÷èâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîñòüþ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé. Ïðèýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ An ( t ) îò ïðîäîëüíîé êîîðäèíàòû z íåçàâèñÿò.  ïðåäïîëîæåíèè ìàëîé íåëèíåéíîñòè ñðåäû ìîæíî ïðèíÿòü, ÷òî àìïëèòóäà ïîëÿ âðåçîíàòîðå ñëàáî ìåíÿåòñÿ ïî äëèíå è íå ìåíÿåòñÿ â ïðîöåññå ðàçâèòèÿ ãåíåðàöèè.

Ðåøåíèå(2.43) áóäåì èñêàòü â âèäå (2.54). Ïîäñòàâëÿÿ (2.54) â (2.43) ñ ó÷åòîì (2.55) ïîëó÷àåì∑ k An sin (kn z )+ ε0 µ0 ∑ ε n2nnn∂ 2 An∂An∂ 2 Píåë+=−sin (k n z ) µ0 σ ∑sin (k n z )ε 0 µ0.∂t∂t 2∂t 2n(2.56)Çäåñü ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ε n çàäàåòñÿ íà ÷àñòîòå, ñîîòâåòñòâóþùåé n-é ìîäå ðåçîíàòîðà. Óìíîæèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.56) íà sin( k m z ) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî äëèíå ðåçîíàòîðà.Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî îðòîãîíàëüíîñòè ïîëó÷èì2∂ 2 Ank n2σ ∂An2 ∂ Pn++A=−,nε n ε 0 ∂tε n ε 0 µ0ε n ∂t 2∂t 2(2.57)35Óñèëåíèå è ãåíåðàöèÿ èìïóëüñíîãî èçëó÷åíèÿâ òâåðäîòåëüíûõ ëàçåðàõ.Ìåòîäû àíàëèçà ïðîöåññîâ â ëàçåðíûõ ñèñòåìàõ.ãäå1Pn =LL∫Píåësin k n zdz .0Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ2ω n2 =α=knε n ε 0 µ0- ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà n-é ìîäû ðåçîíàòîðà,σ= βn υn - êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ n-é ìîäû ðåçîíàòîðà.ε n ε0(2.58)(2.59)Ñ èõ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèå (2.57) ïðèìåò âèä2∂ 2 An∂An2 ∂ Pn2αωA++=−.nnn∂tε n ∂t 2∂t 2(2.60) ðÿäå ñëó÷àåâ, îïðåäåëÿÿ äîáðîòíîñòü äëÿ n-é ìîäû ðåçîíàòîðà Q n = ω n / α n , óðàâíåíèå(2.60) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå2∂ 2 An ω n ∂An2 ∂ Pn2++ ω n An = −.Q n ∂tε n ∂t 2∂t 2(2.61)Ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåò ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð, èìåþùèé ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó ω n , êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ α n , âîçáóæäàåìûé èñòî÷íèêîì Pn .2.5.

Óðàâíåíèÿ äëÿ ïîëÿðèçîâàííîñòè è èíâåðñíîé íàñåëåííîñòè ñðåäû.Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ îïèñûâàþò èçìåíåíèå ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ïëîòíîñòè äëÿ îäíîé÷àñòèöû, èìåþùåé äâà óðîâíÿ. Àêòèâíàÿ ñðåäà õàðàêòåðèçóåòñÿ N Σ ÷èñëîì àêòèâíûõ öåíòðîââ îäíîì êóáè÷åñêîì ñàíòèìåòðå. Óìíîæèâ N Σ íà ρ11 è ρ22 ïîëó÷èì, ñîîòâåòñòâåííî, êîëè÷åñòâî ÷àñòèö, íàõîäÿùèõñÿ íà ïåðâîì è âòîðîì ýíåðãåòè÷åñêîì óðîâíå â îäíîì êóáè÷åñêîì ñàíòèìåòðå.

Èíâåðñèÿ íàñåëåííîñòè (ðàçíîñòü íàñåëåííîñòåé óðîâíåé), ðàâíà∆N = N 2 − N1 = N Σ ( ρ 22 − ρ11 ) .Àíàëîãè÷íî,ïîëÿðèçîâàííîñòüñðåäûîïðåäåëÿåòñÿP = N Σ p = N Σ ( d 21 ρ12 + d 12 ρ21 ) . Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì∂Pm 1p2+Pm = e ∆NE m ,∂tT2d ∆Ndt+∆N − ∆N 0T1=−1Pm E m .(2.70)(2.71)36Óñèëåíèå è ãåíåðàöèÿ èìïóëüñíîãî èçëó÷åíèÿâ òâåðäîòåëüíûõ ëàçåðàõ.Ìåòîäû àíàëèçà ïðîöåññîâ â ëàçåðíûõ ñèñòåìàõ.2.6.

Ïåðåõîä îò ïîëóêëàññè÷åñêèõ ê áàëàíñíûì óðàâíåíèÿì.Çàïèøåì åùå ðàç ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ àìïëèòóä ïîëÿ, ïîëÿðèçîâàííîñòèñðåäû è èíâåðñíîé íàñåëåííîñòè∂E m 1 ∂E m βω++ Em = − jPm .∂zυ ∂t22nc(2.72)∂Pm 1p e2+Pm =∆NE m ,∂tT2(2.73)d ∆Ndt+∆N − ∆N 0T1=−1Pm E m .(2.74)Âûäåëèì íåçàâèñèìî èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû è ôàçû äëÿ E m ( z , t ) è Pm ( z , t ) ñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìèE m ( z , t ) = E a ( z , t ) cos( ϕ ( z , t )) è Pm ( z , t ) = Pa ( z , t ) cos(ψ ( z , t )) .(2.75)Ïîäñòàâëÿÿ (2.75) â (2.72)-(2.74) ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì∂E a 1 ∂E a βω++ Ea =Pa ⋅ sin Ô .22nc∂z υ ∂t(2.76)2∂Pap1+ Pa = e ∆N ⋅ E a ⋅ sin Ô ,∂t T2(2.77)d ∆Ndt=−∆N − ∆N 0T1−1Pa E a ⋅ sin Ô , p 2 ∆N ⋅ E aωPa = (ω ë − ω p ) −  e+ cos Ô ,dtPa2 εε 0 E a dÔ(2.78)(2.79)ãäåÔ = ψ - ϕ - ðàçíîñòü ôàç.Ïðîöåññ âçàèìîäåéñòâèÿ íà÷èíàåò ðàçâèâàòüñÿ ïðè Ô(t = 0) = π / 2 . Íî ïðè íåñîâïàäåíèè÷àñòîò âîçáóæäàþùåãî èçëó÷åíèÿ ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé ïåðåõîäà ïðîèñõîäèò èçìåíåíèåðàçíîñòè ôàç, êàê ýòî ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ (2.79).

Ïðè òî÷íîì âîçáóæäåíèè ñðåäû íà ÷àñòîòåïåðåõîäà (ω ë − ω p = 0 ) â òå÷åíèè âñåãî ïðîöåññà Ô(t) = π / 2 .  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (2.76)(2.79) áóäóò èìåòü âèä∂E a 1 ∂E a βω++ Ea =Pa .∂z υ ∂t22nc(2.80)37Óñèëåíèå è ãåíåðàöèÿ èìïóëüñíîãî èçëó÷åíèÿâ òâåðäîòåëüíûõ ëàçåðàõ.Ìåòîäû àíàëèçà ïðîöåññîâ â ëàçåðíûõ ñèñòåìàõ.∂Pap21+ Pa = e ∆N ⋅ E a ,∂t T2d ∆Ndt∆N − ∆N 0=−T1−1(2.81)Pa E a .(2.82)Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òî÷íûé ðåçîíàíñ. Äàëüíåéøåå óïðîùåíèå îñíîâàíî íà òîì, ÷òî ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü óñèëåíèå áåãóùåé âîëíû, øèðèíà ñïåêòðà ( ∆ω ë ) êîòîðîé ìíîãî ìåíüøåøèðèíû êîíòóðà óñèëåíèÿ ( 1 / T2 ) ∆ω ë ⋅ T2 << 1 . Òîãäà â (2.81)∂Pm1<<Pm .∂tT2(2.83)Èç óðàâíåíèÿ (2.81) ìîæíî çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäû ïîëÿðèçîâàííîñòè ñðåäû2Pm =T2 p e∆N ⋅ E m ,(2.84)Ïîäñòàâëÿÿ (2.84) â (2.80) è (2.82) ïîëó÷àåì∂E m 1 ∂E m  ωT2 pe2β+=∆N −  E m .∂zυ ∂t2 2ncd ∆Ndt∆N − ∆N 0=−T1(2.85)2−T2 p e( )2∆N ( E m ) 2 .(2.86)Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿσs =ωT2 p e22 nc- ïàðàìåòð, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü [ñì2] è ïîëó÷èâøèé íàçâàíèå ñå÷åíèå ïå-ðåõîäà,-1k = σ s ⋅ ∆N - êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ ñðåäû, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü [ñì ],ω- ïàðàìåòð, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü [Äæ/ñì2] è ïîëó÷èâøèé íàçâàíèå ïëîòíîñòüσsýíåðãèè íàñûùåíèÿ.Qs =Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòèõ îáîçíà÷åíèé (2.84)-(2.86) ïðèìåò âèä∂E m 1 ∂E m  k β +=  −  Em . 2 2∂zυ ∂tdkdt=−k − k0T1−k( E m )Qs(2.87)2.(2.88)38Óñèëåíèå è ãåíåðàöèÿ èìïóëüñíîãî èçëó÷åíèÿâ òâåðäîòåëüíûõ ëàçåðàõ.Ìåòîäû àíàëèçà ïðîöåññîâ â ëàçåðíûõ ñèñòåìàõ.Òàê êàê ìû îïóñòèëè â ðàññìîòðåíèè ôàçîâûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó âçàèìîäåéñòâóþùèìè âîëíàìè (ïîëÿðèçîâàííîñòè ñðåäû è ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ), ïîëàãàÿ, ÷òî îïòèìàëüíàÿ ðàçíîñòüôàç àâòîìàòè÷åñêè îáåñïå÷èâàåòñÿ â òå÷åíèè âñåãî ïðîöåññà, òî â (2.87) è (2.88) öåëåñîîáðàçíî ïåðåéòè îò íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ê ïëîòíîñòè ìîùíîñòè èçëó÷åíèÿ, òàê êàê èìåííî ýòîòïàðàìåòð îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü óìåíüøåíèÿ èíâåðñíîé íàñåëåííîñòè.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)